Technische Universität Dortmund Wintersemester 2016/17 Institut

Technische Universität Dortmund
Institut für Angewandte Mathematik
Lehrstuhl VIII - Approximationstheorie
Prof. Dr. Joachim Stöckler
Wintersemester 2016/17
11. Januar 2017
Wavelet Analysis
11. Übungsblatt
Abgabetermin: 19.01.2017, 10.00 Uhr, Briefkasten 38
Aufgabe 36
Gegeben sei die Skalierungsmaske p des quadratischen B-Splines N3 . Dabei ist das Folgenglied
p0 eingerahmt.
1
. . . , 0, 1 , 3, 3, 1, 0, . . .
p=
4
(a) Verwenden Sie die Skalierungsgleichung von N3 , um die Funktionswerte von N3 in allen
ganzen Zahlen j ∈ Z zu berechnen (Hinweis: Hinschreiben der Verfeinerungsgleichung
für N3 (k), k = 0, 1, 2, 3 und Verwendung von supp N3 = [0, 3] führt auf eine EigenwertGleichung.)
(b) Berechnen Sie die Funktionswerte von N3 in Z/2 und Z/4.
Aufgabe 37
Die Skalierungsmaske (pk )k∈Z habe endlichen Träger und erfülle die Beziehungen
X
p2k+1 = 1.
p0 = 1, p2k = 0 für k ∈ Z \ {0},
k∈Z
Weiterhin konvergiere der Kaskadenalgorithmus zur Startfunktion η0 = N2 (·−1) (zentrierter
linearer B-Spline) gegen die Funktion φ : R → R.
Zeigen Sie, dass die Funktion ηj des Kaskadenalgorithmus bereits die Funktionswerte φ|2−j Z
der Skalierungsfunktion φ liefert.
Tipp: Zeigen Sie zunächst per Induktion ηn+1 (x) = ηn (x) für alle x ∈ 2−n Z.
Aufgabe 38
In der Vorlesung wird der Teil (b) dieser Aufgabe benutzt. Zeigen Sie
(a) Für f, g ∈ L2 (R) gilt
Z1
|[fˆ, fˆ](ω) − [ĝ, ĝ](ω)|dω ≤ kf − gk2 (kf k2 + kgk2 ).
0
(b) Aus der starken Konvergenz fn → f in L2 (R) folgt die Konvergenz von [fˆn , fˆn ] gegen
[fˆ, fˆ] in der Norm von L1 (0, 1).
Aufgabe 39
In der Vorlesung wurde die Menge
M = {f ∈ L2 (R) : supp f kompakt, fˆ(0) = 1}
(5.3)
definiert. Wir betrachten die Teilmenge
M0 = {f ∈ M |fˆ(k) = 0 ∀k ∈ Z \ {0}}.
(5.18)
Zur Skalierungsmaske (pk )k=N1 ,...,N2 definieren wir den linearen Operator
2
2
R : L (R) → L (R),
R(f ) =
N2
X
k=N1
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
P
P
p2k+1 = 1.
p2k = 1 und
(a)
k∈Z
(b) P (0) = 1 und P
k∈Z
1
2
= 0.
(c) R(f ) ∈ M0 für alle f ∈ M0 .
pk f (2 · −k).