Konstruktion der Minimalbasis für spezielle Diophantische Systeme

Matbematics. - Konstruktion der Minimalbasis {ür spezielIe Diophan~
tische 8ysteme von linear~homogenen Gleichungen und Unglei~
chungen. Von J. G. VAN DER CORPUT.
(Communicated at the meeting of April 25. 1931).
Es bezeichne m eine natürliche Zahl. X einen Gitterpunkt (x'. x"•...• rml)
im m~dimensionalen Raum: ist p eine ganze Zahl. so bedeute px den
Punkt (px ' • px"• .... px(m)); sind x und ~ zwei Gitterpunkte (x'. x" •.... ~m))
und W. ~" ..... ~(m)). so möge x
~ den Punkt (x'
x"
x(m) +
~(m)) bezeichnen. In dieser Mitteilung ist 8 ein System von I Glei~
chungen und r Ungleichungen
+ e. + e .....
+
+
8 ... f,. (x)
= 0 (l = 1. 2•...• 1);
gl' (x) =- 0 (e
= 1. 2•...• r).
wo I und r =- 0 sind und nicht beide verschwinden. ti (x) Linearformen.
gl' (x) ganzzahlige Linearformen in x'. x" • .... x(m) bezeichnen; mit 8 0
meine ich stets das Gleichungssystem
80
, ••
ti (x) = 0 (l = 1. 2•... • 1);
gl' (x)
=0
(e
= 1. 2•...• r).
leh sage dass s ganzzahlige Lösungen XI' X2 • •••• x. von 8 ei ne ganz~
zahlige Basis von 8. kurz eine Basis von 8 bilden. wenn jede ganzzahlige
Lösung x von S auf die Gestalt
x
= PI + P2 + ... + p. x.
XI
X2
mit ganzzahligen nicht~negativen Koeffizienten pIT gebracht werden kann.
Eine Basis von 8 mit der Eigenschaft. dass keine Basis von 8 mit
weniger Elementen existiert. nenne ich eine Minimalbasis von 8. Eine
Minimalbasis von 8 besteht dann und nur dann aus Null Elementen.
wenn der Koordinatenursprung die einzige ganzzahlige Lösung von 8 ist.
In einer vorigen Mitteilung I) habe ich bewiesen. dass 8 stets eine end~
liche Basis besitzt. und ausserdem dass 8 dann und nur dann eine ein~
deutig bestimmte Minimalbasis hat. wenn der Koordinatenursprung die
einzige ganzzahlige Lösing von 8 0 ist; ist das der FalI. dann ist die
Minimalbasis von 8 Teilmenge jeder Basis von 8. Ich werde nun
beweisen
Satz 1. [st der Koordinatenursprung die einzige ganzzahlige Lösung
von 8 0 , so ist die Minimalbasis M (8) von 8 die Menge der ganzzah~
I) p. 372-382.
516
=
ligen Lösungen x
(x'. x" • ...• x(m)) :;i:- (O.O ....• 0) von S. mit derBigen~
schaft. dass kein Gitterpunkt ~
W. ~"..... ~(m)) -=f (0. O•...• 0) und
=j=. (x'. x" . .... x(m)) existiert. der den Beziehungen
=
genügt.
Beweis. Ist r = O. so sind S und So dieselben Systeme. sodass der
Koordinatenursprung dann die einzige ganzzahlige Lösung von Sist.
also die Minimalbasis M (S) von S leer ist; dann existiert kein Gitter~
punkt ~
W.
~(m)) -=f (O.O •.... 0). die dem System S. also auch kein
Gitterpunkt ~ -=f (0. O•...• 0) der den Beziehungen (1) genügt. sodass
Satz I im Spezialfall mit r
0 klar ist. leh darf also r =- 1 annehmen.
leh wende nun Satz 3 der vorigen Mitteilung an. In diesem Satz bezeichnet
n die Dimensionszahl des Moduls. gebildet durch die ganzzahligen
Lösungen von So. Da der Koordinatenursprung hier die einzige ganzzah~
lige Lösung von So ist. ist somit n = O. Nach der fünften Behauptung
von Satz 3 der vorigen Mitteilung enthält die Minimalbasis M (S) von
S genau n. also Null Lösungen von So. M (S) enthält also nicht den
Koordinatenursprung.
Ist x irgend ein Gitterpunkt mit
e .....
=
=
f;. (x) = 0
und wird
(J. = 1. 2....• f).
= up (e = 1.2..... r)
nur u = (UI.
u eindeutig
gp (x)
gesetzt. so ist nicht
U2 • •••• r )
durch x. sondern
auch umgekehrt x eindeutig 'durch u bestimmt; denn gäbe ich es noch
einen zweit en Gitterpunkt X mit
f;. (X)
=0
(J.
= 1. 2..... I);
gp (X)
= up
(e
= 1. 2..... r).
dann wäre X - x eine ganzzahlige Lösung von So. Nach der sechsten
Behauptung von Satz 3 der vorigen Mitteilung gehört die ganzzahlige
Lösung x -=f (0. O..... 0) von S dann und nur dann der Minimalbasis
M (S) von S an. wenn jeder Gitterpunkt ~ mit
fA (~) = 0
(J.
= 1. 2....• I) ;
0 .:= g p (~)
-c
up
(e
= 1. 2..... r)
entweder den Beziehungen
6. (~) = 0
(J.
= 1. 2.... . I);
gp (~)
=0
(e
= 1. 2..... r).
. (2)
gp (~)
= up
(e
= 1. 2..... r).
.
oder den Beziehungen
fd~)
=0
(J.
= 1. 2..... f);
(3)
genügt. Die Relationen (2) geiten dann und nur dann. wenn ~ mit dem
Koordinatenursprung zusammenfällt; die Beziehungen (3) sind dann und
nur dann erfüllt. wenn ~ mit x zusammenfällt. Aus der sechsten Be~
hauptung von Satz 3 der vorig en Mitteilung geht also hervor. dass eine
517
x"*
ganzzahlige Lösung
(0. O•...• 0) von 5 dann und nur dann der
Minimalbasis M (5) von 5 angehört. wenn jeder Gitterpunkt ~ mit (1)
entweder mit dem Koordinatenursprung oder mit x zusammenfällt. Hier~
mit ist Satz 1 bewiesen.
Satz 2. Ist der Koordinatenursprung die einzige ganzzahlige Lösung
von 5 0 , und geht 5 durch eine ganzzahlige unimoduläre Transformation
x(·)
=
m
I
(ft
C,.r ç(-)
r=1
= 1. 2..... m)
(4)
.
in ein 5ystem
I ... gh
(~)
= 0 (À. = 1. 2..... i);
Xp (~)
::=-
0
(e = 1. 2. " .. r)
über. dann verwandeit die Minimaibasis M (5) von S sich durch diese
Transformation in die Minima/basis M (I) von I.
Beweis. Ist die Minimalbasis M (I) von I leer. dann ist der Koor~
dinatenursprung die einzige ganzzahlige Lösung von I. also auch von
5. sodass dann auch die Minimalbasis M (5) von 5 leer ist. Ich darf
also annehmen. dass M (I) nicht leer ist. Bezeichnen ~I' Ç2 ••••• ;. die
Punk te voo M (I). und werden die Punkte XI.X2 ••••• X. durch
m
x~l.()
= I
C,ur ;~T)
(ft
= I. 2..... m;
0=
1. 2.... , 5)
.
(5)
=1
deflniert. dann bilden die Punkte XI' X2' ••.• x. eine Basis von 5. Denn
es sei X irgend eine ganzzahlige Lösung von 5. Der durch (4) festgelegte
Gitterpunkt ~ genügt dann dem System I. kann also auf die Gestalt
(6)
mit ganzzahligen Koefflzienten
(6) folgt
p~ ::=-
X=
0 gebracht werden. Aus (4). (5) tind
I
p~ x~.
=1
sodass die Punkte XI' X2 • •• .• x. in der Tat eine Basis von 5 bilden.
Sie bilden sogar die Minimalbasis von 5. Denn sonst existiert eine Mini~
malbasis von 5 mit s' Elementen. wo s'
sist. Vertauscht man im
Obigen 5 und I. so würde man eine Basis von I mit 5' Elementen
flnden. und das kann nicht. da die Minimalbasis von 5 genau s. also
mehr als s' Elemente enthält. Die Punkte XI' Xl' •• •• x. bilden also eine
Minimalbasis von 5. womit Satz 2 bewiesen ist.
Ich werde jetzt für einen sehr speziellen Fall die Minimalbasis von 5
konstruieren.
<
518
Satz 3. Es mögen a. b. e und d ganze Zahlen mit ad - be ~ 0
bezeiehneTl. wobei a und b teiler{remd. und aueh e und d teiler{remd
1 existieren.
sind. sodass zwei ganze Zahlen u und v mit av - bu
[eh setze
q=ad- be.
p=ud-ve.
=
und ieh entwiekie E.- in einen Kettenbrueh. und zwar {olgendermassen
q
p
il 1I
-- g - - - - q-
I
Ig2
Ig3
...
- -
1I
Igk-I
e11_ _ _11
g +1l __
qIg2
Ig3
...
!gk-I
{alls q >0.
{alls q
< 0.
J
wo die Zahlen g2' g3' .... gk-l alle ganz ~ 2 sind und gl ganz ist. soda ss
die Kettenbruehentwieklung bei gegebenen p und q eindeutig bestimmt ist.
Bezeiehnen QP' (x = 1. 2... ,. k-l) die Näherungsbrüehe vonE.-. sodass
,
q
PI=gJ' QI=1. P2=glg2~ 1. Q2=g2.....
~. (7)
Pk-I=p. Qk-I=q {allsq > O. Pk-J=-p. Qk-I=-q (allsq<O I) ~
ist. und wird
{alls q > 0.
Po=+ 1.
Po=- L {allsq < O.
Qo=o
gesetzt. so besteht die Minimalbasis M (S) des Systems
S ... ax + by =- 0.
aus den k Punkten
(-bP.
+ vQx • aP, -
uQ.)
(8)
(x=O. 1. ...• k-l) .
Vorbemerkung. leh werde also u. a. beweisen. dass jede ganzzahlige
Lösung (x. y) von S auf die Gestalt
k-I
k-I
x= ~ p. (-bP,
vQ,). y = ~ p. (aP. - uQ,)
.=0
,=0
+
mit ganzzahligen nicht~negativen Koeffizienten p. gebracht werden kann.
Diese Koeffizienten p, brauchen bei gegebenem (x. y) nicht eindeutig
bestimmt zu sein. Im Gegenteil. ich werde zeigen. dass jede ganzzahlige
Lösung (x. y) von S eine eindeutig bestimmte Schreibweise
=
+
+
+
+
x
A (-bP,
vQ.)
B (- bP'+1 VQ'+I ) ~
y = A (aP. - uQ. ) B (aPx+I - UQ.+I)
.
(9)
I) Um (7) zu beweisen. beachte man. dass p und q teilerfremd sind. da ein gemeinsamer
Teiler von p und q In
c = uq - ap und d = vq - bp
vorkommen würde.
519
besitzt. wo 0 -= x -= k - 2 ist. und A und B ganzzahlige Koeffizienten
=- 0 bezeichnen.
Beweis von 5atz 3.
Ers ter Se h rit t. Durch die ganzzahlige unimoduläre Transformation
x= v~- b'7.
y= -
u~
+ a'7.
d. h. dureh die Transformation
~=ax+by,
1]
== ux+ vy
verwandelt 5 sich in
x ... ~ ~ O,
und werden die k in (8) genannten Punk te in die Punkte (Q" P,) (x =
= 0, I, .... k - 1) übergeführt. Für den Beweis. dass die in (8) erwähnten
Punk te der Minimalbasis M (5) von 5 angehören, genügt es naeh Satz 2
zu zeigen, dass die Punkte (0" P,) (x = 0, I, ... , k - 1) der Minimalbasis
M (X) von X angehören.
Zweiter Sehritt. Ist q>O, 50 gehören die Punkte (Q"P,) (x=
1) der Minimalbasis M (X) von X an.
= 0, 1. ... , k -
Be wei s. Der Punkt (0,1) genügt dem System X wegen q > 0, fällt
nicht mit dem Koordinatenursprung zusarnrnen, und genügt der Bedingung,
dass für jeden Gitterpunkt (~. 1]) mit
entweder ~ = 0, 1] = 0 oder ~ = 0, I) = 1 ist, sodass naeh Satz 1 der
Punkt (00 , Po) = (0,1) der Minimalbasis M (X) angehört.
Ein Punkt (0" P,) mit 1 <::: X -=:: k - 1 genügt dem System X wegen
0, > 0 und
- pQ,
+ qP, =
P,
qQ, ( Q, -
p)
q >
O.
Der Punkt (0" P,) fällt nicht rnit dem Koordinatenursprung zusammen.
Urn zu zeigen, dass (Q" P,) (1 -== x -= k - 1) der Minirnalbasis M (X)
angehört, brauehe ieh naeh Satz 1 nur zu zeigen, dass jede ganzzahlige
Lösung (~, 17) von X rnit
o-= ~ -== Q, •
0 :=:= -
p~
+ q1] -= -
pQ,
+ qP,
(10)
entweder rnit dem Koordinatenursprung oder mit dem Punkt (0", P,)
zusammenfällt. leh unterseheide zwei versehiedene Fälle:
1. Es sei
(11 )
520
=
!st ~
O. so folgt aus (10). dass 1] =-- 0 ist. aus (11). dass 1] -= 0 ist.
sodass 1J dann verschwindet. also (~. 1]) mit dem Koordinatenursprung
zusammenfäll t.
Ist ~ > O. so ist wegen (10) und (11)
e -= ~ -= p,
q == ~ =-= Q, .
p,
p
ein Näherungsbruch von - ist. dass (~. 1])
Q,
q
(Q,. P,) oder ~
Q, ist; ç> Q, ist wegen (10) ausgeschlossen. sodass
jetzt (~. 17) mit (Q,. P,) zusammenfällt.
2. Es sei
~P, - 1]Q,
O.
also
~ (1J-P,) - 1] (~- Q,)
o.
=
Hieraus folgt. da -
>
=
<
>
Wegen (10) ist
O-=Q,
-~ -= Q,.
O-= -p(Q,
-~)+q(P, -1])-=::_pQ~ +qP~.
Die Beziehungen (10) und (11) sind hier also mit Q~ - ~ statt ç und
mit p, - 1] statt 1J erfüllt. sodass nach 1. mit Q, - ~ statt ç und mit
p, -1] statt 1] angewendet. der Punkt (Q, -~. p, -1]) entweder mit
dem Koordinatenursprung oder mit (Q,. P,) zusammenfällt. sodass (~. 1])
mit (0.0) oder mit (Q,. P,) zusammenfällt.
>
D rit ter Sc h rit t. Ist q
O. so besitzt jede ganzzahlige Lösung (t
von I die eindeutig bestimmte Schreibweise
1]
= AP, + BPx+J.'
.
1])
(12)
wo 0 -= " -= k - 2 ist. und A und B ganzzahlige nicht-negative Zahlen
.bezeichnen.
Be wei s. Ist
~
= O. so ist. da
(~. 1])
eine Lösung von I ist.
= 0 = 1] Qo und 1] = 1]Po.
mit" = O. A = 1]. B = 0 gilt. Ist ~ = O.
1] :;::,..
O. also
~
sodass dann (12)
dann ist. da QI' Q2' ...• Qk-I positiv sind.
B = O.
"
= O.
A
und gilt (12).
= 1].
soda ss dann die in (12) angegebene Schreibweise eindeutig bestimmt ist.
Es werde nun weiter der Fall mit ~ > 0 behandelt. sodass ~:;::,..: ist.
Da
~:
die Näherungsbrüche von :
sind. hat man
eP
< P < < PI < P o _
q - Qk-I Qk-2 ... QI Qo k- I
k- 2
00.
521
sodass bei geeignet gewähltem x (0
~
P'+l -= 17
Q'+l
=t
ist. Da -
p,
x -= k - 2)
<
p,
Q,
PZ+l
und -- - zwei aufeinander (olgende Näherungsbrüche sind.
Q,
Q'+l
gilt also (12) bei geeignet gewählten ganzzahligen nicht~negativen Koef~
fizienten A und B.
Um die Eindeutigkeit der in (12) angegebene Schreibweise zu beweisen.
nehme ich an. dass nicht nur (12). sondern auch
1/
-= 7: -= k -
gilt. wo 0
= CPT + DP-:+
1 •
(13)
2 ist. und C und D ganzzahlig =-- 0 sind. Fällt
; mit einem der Näherungsbrüche
~
von :
zusammen. dann folgt
aus (12) B=O. Q , = Q. p, = P. oder A=O. Q,+l=Q. P,+l=P.
aus (13) D=O. Q.,.=Q. P.=P. oder C=O. QT+l=Q. PT+l=P.
soda ss sowohl (12). wie auch (13) das Resultat
ç = KQ
liefert. Fällt
%nicht
und
1}
= KP
mit einem der Näherungsbrüche von ~ zusammen.
dann folgt aus (12) und (13)
und
also
l
= x.
sodass (13) sich verwandelt in
'Y)
= CP,
+ DP,+l.
und hieraus folgt mit Rücksicht auf (12) wegen Q, P'+l - Q'+1 P .. ~ O.
dass A = C und B = D ist. sodass die in (12) angegebene Schreibweise
eindeutig bestimmt ist.
o.
Vierter Schritt. Ist q>
50 besitzt jede ganzzahlige Lösung (x. y)
von S die eindeutig bestimmte Schreibweise (9). wo 0 -= x -= k - 2 ist,
und A und B ganzzahlige nicht~negative Zahlen bezeichnen.
Beweis. Nach dem dritten Schritt besitzt der durch die Beziehungen
y=- uç
definierte Punkt (ç.
'Y))
+ ar}
die eindeutig bestirrimte Schreibweise (12).
>
F ü n ft erS c h rit t. Schluss des Beweises. Ist q
0, 50 folgt die
Behauptung des zu beweisenden Satzes aus dem zweiten und vierten Schritt.
522
Ist q < O. dann führe ich S durch die ganzzahlige unimoduläre Transformation x = x'. y = - y' in
S' . .. ax' - by'
~
ex' - dy' =- 0
O.
über. Die Voraussetzungen von Satz 3 bleiben nun erfüllt. wenn man
S. b. d. u. q. gl und p, durch S'. - b. - d. - u. - q. - gl und - Pz ersetzt.
Nach dem zu beweisenden Satz (mit - q statt q angewendet) bilden
also die Punkte
(" = O. 1. .... k-l)
die Minimalbasis von S'. sodass nach Satz 2 die in (8) genannten Punkte
eine Minimalbasis von S bilden. Nach dem vierten Schnitt. wiederum
mit - q statt q angewendet. besitzt jede ganzzahlige Lösung (x. - y)
von S' die eindeutig bestimmte Schreibweise
+ vQ,) + B (- bPz +1+ VQZ+l)
y = A (-aP, + uQ,) + B (- aPz+l + uQx+d.
x = A (- bP,
-
wo 0 -=:::: " -=:::: k - 2 ist. und A und B ganzzahlige Koeffizienten =- 0
bezeichnen. Hieraus folgt die Richtigkeit der Vorbemerkung auch für
negatives q. womit Satz 3 vollständig bewiesen ist.
Numerisehe Beispieie.
1.
Wegen
69 _ 2
37-
1
11
I
11
-18-12-13
besteht die Minimalbasis des Systems
S ... x =- O.
- 69 x
+ 37 y =- 0
aus den fünf Punk ten (0.1). (1.2). (8.15). (15.28) und (37.69). und besitzt
jede ganzzahlige Lösung (x. y) von S die eindeutig bestimmte Schreibweise
x=B+8C+ 15D+37 E.
y=A+2B+ 15 C+28D+69E.
wo die Koeffizienten A. B. C. D. E ganzzahlig? 0 sind. und C = D =
=E=O. oder D=E=A=O. oder E=A=B. oder A=B=C=Oist.
2.
Wegen
::- 69 _ 1
- 37 -
+ _11_ _
1 1_
12
i2
JJ __
1 1_ JJ __
11
_1 1_ _1 1_
12
12
I2
12
14
12
besteht die Minimalbasis des Systems
S ... x=-O.
69x- 37 y~O
aus den zehn Punkten
(0. -1). (1. 1). (2. 3). (3. 5). (4. 7). (5. 9). (6.11). (7.13). (22. 41) und (37.69)
523
und kann jede ganzzahlige Lösung (x. y) von S auf die Gestalt
x
+PI +2P2+3p3+ 4 P" + 5ps+ 6P6+ 7 P7+ 22 ps+37 P9
y = - Po + PI + 3 P2 + 5 P3 + 7 Pi + 9 Ps + 11 P6 + 13 P7 + 41 Ps + 69 P9
gebracht werden mit ganzzahligen nicht~negativen Koefflzienten p" die
alle. bis auf höchstens zwei konsekutiven. verschwinden.
3. Urn die parametrische Darstellung der ganzzahligen Lösungen des
Systems
S ... - tOO x
+ 37 y == O.
10522 x - 3893 y :==:- 0
zu finden. bestimme ich zwei ganze Zahleo u ~nd v mit - 100 v
- 37 u = 1. Ich wähle v = - 10. u = 27. In der Bezeichnung von Satz 3
ist dann
q = (- 100) (- 3893) -- 37 . 10522 = - 14;
P = 27 . (- 3893) - (- 10). 10522 = 109.
sodass hier der Kettenbruch
t09 =_8+ _ 1_
-14
1
5-3
mit den Näherungsbrüchen
- 8
-1-'
-39 -109
-5-'
14
auftritt. Nach Satz 3 besteht dann die Minimalbasis von Saus den
vier Punkten
(37. tOO). (286.773). (1393.3765) und (3893.10522).
soda ss jede ganzzahlige Lösung (x. y) von S auf die Gestalt
x = 37 A + 286 B + 1393 C + 3893 D.
y = 100 A
773 B + 3765 C + t0522 D
+
gebracht werden kano mit gaozzahligeo
A. B. C. D mit der Nebenbedingung
C=D=O.
oder D=A=O.
nicht~negativen
Koefflzienten
oder A=B=O.