Physik EI01 Thermodynamik - Wärmetransport Seite 6

Physik EI01
Thermodynamik - Wärmetransport
Seite
10_Thermodynamik_Waermetransport_BAneu.doc - 1/11
6. Wärmetransportphänomene
Wärmetransport tritt in einem System immer dann auf, wenn es Orte mit unterschiedlicher Temperatur
gibt, d.h., wenn es sich nicht im thermodynamischen Gleichgewicht befindet. Energietransport von
Orten hoher Temperatur zu Orten niedriger Temperatur findet solange statt, bis das System das
thermodynamisches Gleichgewicht erreicht hat.
Grundsätzlich gibt es drei verschiedene Arten, Wärme zu übertragen:
- Wärmeleitung (Gase, Flüssigkeiten, Festkörper)
Wärmeleitung ist die unmittelbare Übertragung von Wärme zwischen benachbarten, mikroskopischen Teilchen durch Materie hindurch und beim Kontakt von verschiedenen Stoffen.
Die Wärmeleitung spielt daher beim Wärmeaustausch zwischen Festkörpern eine wichtige Rolle.
Mikroskopisch: Atome oder Moleküle geben ihre Energie durch Stoß oder Schwingungskopplung
an die unmittelbaren Nachbaren weiter.
- Konvektion, Materietransport (Gase, Flüssigkeiten)
Konvektion ist der Transport von Wärme in und mit einem Stoff.
Die Moleküle transportieren die Wärme mit sich.
- Wärmestrahlung (Gase, Vakuum)
Übertragung von Wärme durch elektromagnetische Strahlung. Das ist ein wichtiger Mechanismus
zum Wärmetransport, da er nicht an Materie als Träger gebunden ist und auch im Vakuum
stattfindet. Der Wärmeaustausch in verdünnten heißem Gasen beruht hauptsächlich auf Strahlung.
6.1 Wärmekonvektion
a) Freie Konvektion
Treibende Kraft ist die Gravitation:
Lokale Temperaturdifferenzen  lokale Dichteunterschiede  Auftrieb  Strömung
Beispiele: Energie- und Wassertransport in der Atmosphäre
Heatpipes - effiziente Kühlung thermisch hoch belasteter Bauteile in der Elektronik
Störend z.B. beim Kristallwachstum - Entmischen von Legierungsschmelzen
b) Erzwungene Konvektion
Mechanische Hilfsmittel (Pumpen) zum Transport
Beispiele: Warmwasserheizung, Kühlkreisläufe, Blutkreislauf
Vorteil: leicht steuerbar
Beispiel: Im Wärmerohr (“heatpipe“) wird Konvektion in Verbindung mit Phasenübergängen
zur Wärmeableitung ausgenutzt.
Das Kältemittel verdampft am wärmeren Ende und kühlt dabei
z.B. einen Prozessor. Der Dampf strömt zum kälteren Ende und
gibt die Wärme durch Kondensation wieder ab. Das Kondensat
wird schließlich von einem Dochtmaterial aufgesaugt und durch
Kapillarkraft zurücktransportiert.
Physik EI01
Thermodynamik - Wärmetransport
Seite
10_Thermodynamik_Waermetransport_BAneu.doc - 2/11
6.2 Wärmeleitung (stationär)
hohe Temperatur
Transport von Energie aufgrund eines
Temperaturgradienten.
Temperaturen T1 und T2 werden konstant
gehalten (stationärer Zustand).
Wärmebad
T1
A(T2  T1 )
Q
 
l
t
dQ
T
 A
dt
x
niedrige Temperatur
Wärmestrom
ΔQ/dt
Wärmebad
T2
Wärmestrom
Wärmestrom (differentiell)
 heißt Wärmeleitfähigkeit und ist eine temperaturabhängige
Materialkonstante. [] = W/(mK)
Der Wärmestrom (Energietransport) verläuft immer in Richtung abnehmender Temperatur.
Wärmetechnische Stoffwerte
Physik EI01
Thermodynamik - Wärmetransport
Seite
10_Thermodynamik_Waermetransport_BAneu.doc - 3/11
Metalle:
Die große Wärmeleitfähigkeit  der Metalle ist auf die Wärmeleitung durch freie
Metallelektronen zurückzuführen. Sie steht damit in enger Beziehung mit der guten
elektrischen Leitfähigkeit.
Wiedemann-Frantz-Gesetz:
a = Lorentzzahl

 aT
a = 2,4510-8 V2/K2 für fast alle Metalle

Isolatoren: Die Wärmeleitfähigkeit der Isolatoren beruht auf der Leitung durch Gitterschwingungen,
sog. Phononen.
Die Wärmeleitfähigkeit der Gase ist proportional zur Zahl der Teilchen, die pro s und m2
einen Querschnitt senkrecht zur Richtung des Temperaturgradienten in beiden Richtungen
durchströmen, multipliziert mit der freien Weglänge über die die Teilchen ihre kinetische
Energie bis zum nächsten Stoß transportieren.
 für Gase ist proportional zur Wurzel aus der Temperatur.
Gase:
  n   v2   l
wegen
 v2  
3kT
T
 
m
m
Flüssigkeiten: schwache Kopplung zu Nachbarmolekülen  Wärmeleitung gering
Def.: Wärmestromdichte
jQ 
Wärmestrom
Q

Flächeneinheit At
jQ  
T
x

jQ    grad T
Fouriersches Gesetz der Wärmeleitung oder
1. Ficksches Gesetz
Gilt auch für andere Gradienten, z.B.:
• Dichtegradienten bei der  Diffusion
• Ladungsträgergradienten im pn-Übergang einer Diode
Wärmeübergang (konvektiver Wärmeübergang)
Die Trennschicht zwischen Gas und Festkörper stellt auch einen Widerstand für den Wärmefluss dar.
Konvektionsströme in der Grenzschicht erzeugen eine Temperaturdifferenz mit einem Wärmefluss.
dQ
 A(T2  T1 )
dt
Wärmestrom
 heißt Wärmeübergangszahl
T1
ΔQ/dt
W
[] = 2
konvektive
m K
Grenzschicht
T2
Die Wärmeübergangszahl hängt von der Beschaffenheit der Oberfläche und der Art der Stoffe ab.
Zimmer
Wand
Beispiel: konvektiver Wärmeübergang in der
Grenzschicht Luft/Betonwand
 = 5 W/m2K
Physik EI01
Thermodynamik - Wärmetransport
Seite
10_Thermodynamik_Waermetransport_BAneu.doc - 4/11
Wärmedurchgang (stationär)
1. Wärmestrom durch A1
dQ1
 1 A(T1 'T1 )
dt
2. Wärmeleitung durch Wand
dQ2
(T 'T ' )
  2 2 1 A
dt
d
3. Wärmestrom durch Fläche A2
dQ3
  3 A(T2  T2 ' )
dt
A1
A2
Grenzschicht
T1
ΔQ1/dt
ΔQ2/dt
Konvektion
ΔQ3/dt
T2
innen
Bedingung:
außen
dQ1 dQ2 dQ3 dQ



dt
dt
dt
dt
Addition der drei Wärmeströme ergibt
dQ
dt
dQ
dt
(
1
1

d
2

1
3
)   A(T2  T1 )
  kA(T2  T1 )
1
1 d
1
( 
 )
k 1 2  3
oder
mit
k = Wärmedurchgangskoeffizient
k (nach neuer Notation u)ist keine Materialkonstante,
sondern ergibt sich aus dem Aufbau der Wand.
Ein sog. Niedrigenergiehaus hat einen k-Wert k < 0,2 W/(m2K) gemittelt über das ganze Haus.
Ein sog. KfW-Effizienzhaus 40 (EnEV 2009) hat einen Primärenergiebedarf (Kohle, Gas, etc. also
ohne Verluste bei der Erzeugung) von Qa  40 kWh/(m2a).
Aufgabe: Der Heizwärmebedarf für ein Niedrigenergiehaus ist nach EnEV 2002 Qa  70 kWh/(m2a).
Welche mittlere Temperaturdifferenz (innen - außen) ergibt sich daraus ?
Physik EI01
Thermodynamik - Wärmetransport
Seite
10_Thermodynamik_Waermetransport_BAneu.doc - 5/11
Wärmewiderstand
Man kann den Wärmestrom in Analogie zum elektrischen Strom in Form eines
“ohmschen Gesetzes“ darstellen.
l
1
(U  R  I , R   ,   )
A

T   RW
RW 
Die Temperaturdifferenz stellt die Kraft (Spannung) dar,
die den Wärmestrom dQ/dt über den Widerstand RW treibt.
dQ
dt
RW = Wärme(durchlass)widerstand
1/RW heißt Wärmeleitwert
1 l
 A
Für das obige Beispiel des Wärmedurchgangs durch eine Wand ist der Wärmewiderstand gleich der
Summe der Wärmewiderstände von innerer Grenzschicht, Wand und äußerer Grenzschicht.
d
1
1


RW  R1  R2  R3 
1 A 2 A  3 A
Wärmeleitung* (nichtstationär - eindimensional)
T
1 Q
)
; ( jQ 
x
A t
a) Die Rate, mit der Wärme vom Volumenelement V aufgenommen wird, ist gleich
dem Nettowärmetransport durch den
Querschnitt A.
jQ
jQ  jQ ( x  x)  jQ ( x) 
x
x
jQ
dQ
  A  jQ   A
(1)
x
dt
x
jQ  
jQ(x)
jQ (x+x)
T(t)
x+x
x
jQ (x)
b) Um die Temperatur des Massenelementes
m = V = Ax um T zu erhöhen,
benötigt man die Wärmemenge:
 2T
T(x)
Q  (cV )T
V
Wärmestrom
Für die zeitliche Änderung gilt dann:
Q
T
(2)
 (cV )
t
t
0
x 2
T
0
x


Setzt man (1) und (2) gleich und verwendet das 1. Ficksche Gesetz (Fourier-Gesetz)
erhält man die allgemeine Wärmeleitungsgleichung oder Temperaturleitungsgleichung:
jQ
T

T
(cV )
)
 A
x   Ax (
t
x
x
x
T
  2T

t c x 2
Temperaturleitungsgleichung
2. Ficksches Gesetz
a

heißt Temperaturleitfähigkeit
c
Physik EI01
Thermodynamik - Wärmetransport
Seite
10_Thermodynamik_Waermetransport_BAneu.doc - 6/11
Beispiel 1:
Wärmeleitung durch einen homogenen Stab, wobei die
Enden auf konstanter Temperatur T1 und T2 gehalten
werden und eine stationäre Temperaturverteilung im
Stab ( T / t  0 ) vorliegen soll (stationärer Zustand).
T T
Lösung: T ( x)  T1  1 2 x
l
T1
T2
Beispiel 2: (schwierig)
Abkühlung eines Körpers mit der Anfangstemperatur
T0 über eine Wärmebrücke. Die Wärme wird nach
außen, an ein Wärmebad mit der konstanten
Temperatur T2 abgegeben. Die Abkühlung soll so
langsam sein, dass in der Wärmebrücke immer ein
linearer Temperaturabfall vorliegt.
A
Lösung: T (t )  (T0  T2 )e t  T2 ;  
cml
Isolation
A
T (t)
(c, m )
(l, )
Wärmebrücke
Wärmebad
T2
Physik EI01
Thermodynamik - Wärmetransport
Seite
10_Thermodynamik_Waermetransport_BAneu.doc - 7/11
6.3 Wärmestrahlung
Jeder Körper strahlt in Abhängigkeit von seiner Temperatur T und seiner Beschaffenheit Energie in
Form elektromagnetischer Strahlung ab. Ursache dieser Strahlung ist die thermische Energie der
Materieteilchen. Da die thermische Energie kontinuierlich verteilt ist (Boltzmannverteilung), hat auch
die ausgesandte Strahlung ein kontinuierliches Spektrum ( Plancksches Strahlungsgesetz).
Versuch: Messung der Intensität der abgestrahlten Wärmestrahlung mit dem “Leslie Würfel“.
Absorbierte Strahlung erwärmt in
Reihe geschaltete Thermoelemente
und erzeugt eine Spannung.
Definition:
Strahlungsfluss 
übertragene Strahlungsenergie
Zeiteinheit
J
[ ]   W
s

A
Strahlungsintensität I
Strahlungsfluss
Energie

Flächeneinheit Fläche  Zeiteinheit
W
[I ]  2
m
I
6.3.1 Das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz
a) Jeder beliebige Körper in einem äußeren Strahlungsfeld 0 reflektiert einen Teil und absorbiert
einen Teil der einfallenden Strahlung. Ist der Körper transparent, wird auch ein Teil transmittiert.
b) Außerdem emittiert der Körper aufgrund seiner Temperatur Wärmestrahlung.
Physik EI01
Thermodynamik - Wärmetransport
Seite
10_Thermodynamik_Waermetransport_BAneu.doc - 8/11
Für nicht transparente Körper gilt:
Im stationären Zustand (thermisches Gleichgewicht) muss der Körper die gesamte absorbierte
Strahlung wieder emittieren, denn sonst würde er sich aufheizen.
Emission = Absorption (ab = em).
Schwarzer Körper
Einen idealen Absorber nennt man schwarzer Körper. Die gesamte auftreffende Strahlung wird
unabhängig von der Wellenlänge und von der Temperatur vollständig absorbiert. Es gibt keine
Reflexion. Annähernd perfekt ist dieser Idealfall
in einem geschwärzten Hohlraum durch

Vielfachabsorption zu realisieren.
Temperatur T
 1
 0
 0
absorbierende
Beschichtung
Umgekehrt muss die gesamte Strahlung als
Wärmestrahlung wieder emittiert werden.
Schwarzer Körper - Hohlraumstrahler
Emissionsvermögen eines Temperaturstrahlers

Strahlungsfluss bei der Temperatur T und Wellenlänge 
Strahlungsfluss eines schwarzen Körpers bei gleicher Temperatur T und Wellenlänge 

 ( , T )
 S ( , T )
Emissionsvermögen
(spektraler Emissionsgrad)
Die Wellenlängenabhängigkeit der Emission gibt das
 Plancksche Strahlungsgesetz wieder.
Für einen schwarzen Körper gilt nach Def. unabhängig von  und T:     1 .
Reale Strahler mit  < 1 werden als “graue“ Körper bezeichnet.
Für die Absorption und Emission eines grauen Körpers im stationären Gleichgewicht gilt:
Physik EI01
Thermodynamik - Wärmetransport
Seite
10_Thermodynamik_Waermetransport_BAneu.doc - 9/11
 (  , T )   ( , T )
Kirchhoffsches Strahlungsgesetz
Für einen Schwarzen Strahler ist der spektrale Emmissionsgrad (T,) bei einer bestimmten
Temperatur und Wellenlänge gleich dem spektralen Absorptionsgrad (T,) für eine Strahlung,
die in umgekehrter Richtung einfällt.
Beweis:
Thermisches Gleichgewicht:
 S ,ab   S ,em ;  S  1
(1)
Für die Absorption der vom grauen Körper reflektierten und
emittierten Strahlung gilt
 S ,ab   S (1   G ) S ,em   S G ,em
(2)
Aus (1) und (2) folgt mit S = 1
G ,em   G S ,em
wegen der Def. von  folgt damit:
 
6.3.2 Stefan-Boltzmann-Gesetz
Die gesamte (über alle Wellenlängen integrierte) Strahlung eines schwarzen Körpers ist gegeben
durch:
 = Stefan-Boltzmann-Konstante
 = 5,67 10-8 W/(m2K4)
 S  AT 4
 T
1
A = Fläche des Strahlers
Für den grauen Körper muss noch mit  multipliziert werden.
In der Regel muss auch noch berücksichtigt werden, dass
gleichzeitig auch Strahlung aus der Umgebung mit der
T2
Temperatur T 2 absorbiert wird. Dann gilt für die netto
abgestrahlte Leistung des grauen Körpers:
 S  1   2
 S  A(T14  T24 )
Emissionsgrad ε
einiger Materialoberflächen
in Abhängigkeit von der
Temperatur.
Physik EI01
Thermodynamik - Wärmetransport
Seite
10_Thermodynamik_Waermetransport_BAneu.doc - 10/11
6.3.3 Das Plancksche Strahlungsgesetz
Die Intensität und die Wellenlängenverteilung der emittierten Strahlung hängen in charakteristischer
Weise von der Temperatur ab. Max Planck berechnete 1900 die spektrale Verteilung und benutzte
dabei zum ersten Mal die Hypothese von der Energiequantelung.
Das war die Begründung der Quantenmechanik.
S ( ) 
4c 2
5
Plancksches Strahlungsgesetz
1
2c
e kT
(
)
1
Spektrale Strahlungsdichte pro m2 und
Wellenlängenintervall Δλ = 1 nm eines schwarzen
Körpers in den Raumwinkel Ω = 1.
[S] = W/(m2ּnmּsr)
Die bei einer Temperatur abgestrahlte
Gesamtleistung ist gleich der Fläche unter
der Kurve S(λ).
Das Maximum der Strahlungsemission
liegt auf einer Kurve, die das
Wiensche Verschiebungsgesetz
angibt.
maxT  b
b = Wiensche Konstante
b = 2,898ּ10-3 mּK
Je höher die Temperatur, desto kleiner die Wellenlänge der abgestrahlten Leistung
Beispiele:
• Die Oberfläche der Sonne hat eine Temperatur von T = 5900 K.
Das Maximum der Emission liegt dann bei λ = 550 nm.
• In der Phototechnik werden Farbtemperaturen ebenso definiert und sind an vielen
Digitalkameras für den Weißlichtabgleich einstellbar.
• Genormtes Glühlampenlicht entspricht der Emission einer glühenden Wolframwendel mit
der Temperatur von T = 3400 K.
• In der Messtechnik verwendet man Pyrometer zur berührungslosen Temperaturmessung.
• Mit der Thermografie (Photographie mit infrarotem Licht) können Wärmelecks von Gebäuden
aufgespürt werden oder in elektronischen Schaltungen thermisch überlastete Bauteile
identifiziert werden.
Physik EI01
Thermodynamik - Wärmetransport
Seite
10_Thermodynamik_Waermetransport_BAneu.doc - 11/11
Aufgabe: (Wärmestrahlung)
Das glühende, sehr dünne Wolframband einer
Wolframbandlampe hat eine Gesamt-Oberfläche A = 1,0 cm2
und eine Temperatur von T = 2800 K.
Die Lampe ist evakuiert und das Wolframband hat bei
T = 2800 K ein Emissionsvermögen von ε = 0,3.
a) Bei welcher Wellenlänge liegt das Maximum der Strahlung ?
b) Wie groß ist die gesamte emittierte Strahlungsleistung P.
(Die Temperatur der Umgebung soll dabei vernachlässigt
werden, d.h. T=0.)
c) Welche elektrische Leistung nimmt die Lampe auf ?
d) Wie ändert sich die Temperatur des Wolframbandes bei
gleicher Leistungsaufnahme, wenn:
1) die Temperatur der Umgebung steigt,
2) das Wolframband als grauer Körper angenähert wird,
3) Der Glaskolben mit Gas gefüllt wird ?
(Antworten begründen !)
e)* Welche Temperatur erreicht der kugelförmige Glaskolben mit einem Durchmesser d = 6 cm,
wenn 0,01% der Strahlung des Wolframbandes absorbiert werden ( = 0,01) und das
Emissionsvermögen für die Re-Emission 10% ist ( = 0,1).