pdf 395 kB
Werbung
22 22. Netzwerke II 4. Maschenstromanalyse 5. Knotenpotentialanalyse emg GET 22 4. Netzwerkberechnungsverfahren Das Maschenstromanalyse Paul, Elektrotechnik 2, Seite 68 ff. Unbehauen, Grundlagen der Elektrotechnik 1, S. 178 ff Pregla, Grundlagen der Elektrotechnik 1, S. 222 ff Der Vorteil des Maschenanalyseverfahrens liegt darin, dass an Stelle von z Gleichungen (für die Anzahl der Zweige) nur m Gleichungen (für die Anzahl der Maschen) aufgestellt und gelöst werden müssen. Dadurch wird der Rechenaufwand für die Lösung des linearen Gleichungssystems erheblich verringert. emg GET 1 22 Lösungsalgorithmus für das Maschenstromanalyse 1. Alle Stromquellen in äquivalente Spannungsquellen umwandeln 2. Jeder Masche wird ein unabhängiger Maschenstrom zugeordnet. Die Richtung des Maschenstromes ist beliebig wählbar, die angenommene Zählrichtung gilt als positiv. Die Maschenwahl ist zweckmäßig so zu treffen, dass durch den besonders interessierenden Zweig nur ein Maschenstrom fließt. 3. Aufstellung der Beziehungen zwischen den Maschen- und Zweigströmen. 4. Aufstellung der Maschengleichungen. 5. Verknüpfung der Zweigspannungen und der Maschenströme. 6. Lösung des Gleichungssystems für die Maschenströme. 7. Berechnung der Zweigströme aus den Maschenströmen nach Punkt 3. emg Berechnung der Zweigspannungen nach Punkt 5. GET 22 Vorteile des Maschenanalyseverfahrens gegenüber der Netzwerkanalyse nur mit Kirchhoffschen Regeln An Stelle von z Gleichungen für die z Zweige eines Netzwerkes werden nur m Gleichungen für die Anzahl der m Maschen aufgestellt und gelöst. So werden k-1 Gleichungen eingespart! Wichtig: Die Anzahl der Maschen muß richtig gewählt werden m = z -(k-1) emg GET 2 22 Wahl der Maschen Pregla, Grundlagen der Elektrotechnik 1, S. 221 ff Für die richtige Wahl der Maschen muss im Allgemeinen die Topologie des Netzwerkes analysiert werden. Hier ein Rezept für die Wahl der Maschen: 1. Wähle die erste Masche beliebig. 2. Beginne jedesmal an einem bereits verwendeten Knoten die nächste Masche. 3. Führe jede neue Masche über mindestens einen noch nicht benutzten Zweig. 4. Stößt man auf einen schon benutzten Knoten, schließe die Masche über die schon benutzen Zweige ohne Überkreuzung. 5. Baue neue Maschen an, bis jeder Zweig mindestens einmal emg durchlaufen ist. Prüfe die Zahl der Maschen: m = z -(k-1). GET 22 UQ3 R3 M1 Falsche Maschenwahl! R5 R2 R6 FALSCH R1 R4 M2 Wenn man auf einen schon benutzten Knoten stößt, muss man den schon benutzten Zweigen folgen ! und m = z -(k-1) 3 = 6 - (4-1) emg GET UQ1 3 22 Bei der Wahl von zu wenigen Maschen m < z -(k - 1) erhält man ein Gleichungssystem, das zwar lösbar ist, dessen Ergebnisse aber physikalisch falsch sind! Bei der Wahl von zu vielen Maschen m > z -(k - 1) erhält man ein Gleichungssystem, das u.U. nicht mehr linear ist und unbestimmt sein kann! emg GET 1. Beispiel: Maschenstromanalyse 22 UQ3 U3 R3 I3 1 U2 3 U5 R5 U4 R4 R2 I2 U1 emg GET R1 I1 UQ1 0 Gesucht sind die Spannungen U1 bis U6 und die Ströme I1 bis I6. 1. Schritt: Stromquellen durch Spannungsquellen ersetzen. Achtung: Richtung umgekehrt I5 I6 2. Schritt: Knoten nummerieren 3. Schritt: Zweige nummerieren Zweigspannungen und 2 U6 R6 Zweigströme eintragen Unter Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze I4 sind k-1 Knotengleichungen und m Maschengleichungen aufzustellen: k=4 z=6 m = z - (k-1) = 3 Bezugsknoten 4 1. Beispiel: Spannungen werden Ströme 22 UQ3 U3 I3 R3 U5 U2 R5 R2 1 R1 I1 U6 R6 I4 R4 UQ1 emg GET 0 U1 = I1R1 U2 = I2R2 U3 = I3R3 U4 = I4R4 U5 = I5R5 U6 = I6R6 Bezugsknoten 1. Beispiel: Unabhängige Ströme 22 UQ3 R3 3 M2 I3 R5 R2 1 R1 I1 M1 UQ1 Betrachtung des Knotens 1: ΣI = 0 = I1 - I2 - I3 I5 I6 2 I2 emg GET Uz1 = I1R1 - UQ1 Uz3 = I3R3 + UQ3 2 U4 I6 I5 I2 U1 4. Schritt: Verknüpfung der Zweigspannungen und Zweigströme über das Ohmsche Gesetz: 3 R4 M3 I4 0 Bezugsknoten Sind z.B. I1 und I3 bekannt (durch Messung), dann ist I2 durch die Knotengleichung eindeutig bestimmt. R6 Man kann I1 und I3 als unabhängig und I2 als von I1 und I3 abhängig bezeichnen. Es erscheint daher sinnvoll, I2 in den Gleichungen nicht mehr mitzuführen, sondern von vornherein durch I1 und I3 darzustellen. 5 1. Beispiel: Maschenströme 22 UQ3 M2 I3 R3 R5 R2 1 I1 emg GET I5 I6 M3 M1 UQ1 R4 I4 Strom über Knoten 0 1 2 0 1 3 2 1 0 3 2 0 I1 I3 I6 0 Bezugsknoten IM1 IM2 IM3 1. Beispiel: Maschenumlaufsinn 22 UQ3 U3 R3 I3 IM2 U2 3 5. Schritt: Einführung von Maschenströmen IM3 U5 I5 R5 R2 1 2 I2 U1 emg GET Die als unabhängig bezeichneR6 ten Ströme I1 , I3 und I6 fließen in den geschlossenen Stromschleifen der Maschen. 2 I2 R1 Betrachtung des Knotens 0: ΣI = 0 = - I1 - I4 - I6 Wird neben I1 und I3 auch I6 als weiterer unabhängiger Strom gewählt, dann ist I4 eindeutig bestimmt. 3 R1 I1 UQ1 IM1 U4 0 I6 U6 I4 R4 Zusammenhang zwischen den Zweigströmen und den Maschenströmen: R6 I1 = IM1 I2 = IM1 - IM2 I3 = IM2 I4 = -IM1 - IM3 I5 = -IM2 - IM3 I6 = IM3 Bezugsknoten 6 22 1. Beispiel: Maschengleichungen Aufstellung der Maschengleichungen: Zweigspannungen U1 U2 U3 U4 U5 U6 Masche 1: Masche 2: Masche 3: U1+ U2 -U2 +U3 Quellen UQ -U4 = UQ1 -U5 -U4 -U5 +U6 = -UQ3 =0 Spannungen durch Maschenströme ausdrücken: U1 = I1R1 = IM1R1 emg GET 22 U2 = I2R2 = IM1R2 - IM2R2 U4 = I4R4 = -IM1R4 - IM3R4 1. Beispiel: Bestimmungsgleichung Bestimmungsgleichung für die Maschenströme: Zweigspannungen U1 U2 U3 U4 U5 U6 Quellen UQ Masche 1: IM1(R1 + R2 + R4) - IM2R2 + IM3R4 = UQ1 Masche 2: -IM1R2 + IM2(R2 + R3 + R5) +IM3R5 = -UQ3 Masche 3: IM1R4 + IM2R5 + IM3(R4 + R5 + R6) = 0 emg GET 7 1. Beispiel: Matrixschreibweise 22 (R1 + R2 + R4) -R2 -R2 +(R2 + R3 + R5) R4 +R5 +R4 UQ1 +R5 • IM2 = -UQ3 +(R4 + R5 + R6) Koeffizientenmatrix der Zweigwiderstä Zweigwiderstände IM1 IM3 0 Spaltenmatrix Spaltenmatrix der unbekannten der bekannten Maschenströ Maschenströme Quellen Aus der Struktur der Koeffizientenmatrix lassen sich folgende allgemeingültige Eigenschaften emg bzw. Regeln für die Aufstellung dieser Matrix ablesen: GET 22 1. Die Widerstandsmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Alle Elemente der Hauptdiagonalen sind positiv. 2. Jede Zeile der Widerstandsmatrix beschreibt eine Masche und ihre Kopplung zu den anderen Maschen. 3. Jedes Hauptdiagonalelement wird aus der Summe der Widerstände in der Masche gebildet. 4. Die weiteren Elemente einer Zeile enthalten diejenigen Widerstände, über die die Maschen miteinander gekoppelt sind. Fließen die Maschenströme in gleicher Richtung durch den/die Kopplungswiderstände, dann ist das Vorzeichen des Matrixelementes positiv. 5. Die Quellenspannungen in der Spaltenmatrix der rechten Seite des Gleichungssystems sind mit einem negativen Vorzeichen einzusetzen, wenn der Zählpfeil der Spannungsquelle in Richtung des Maschenstromes zeigt. emg GET 8 22 5. Netzwerkberechnungsverfahren Das Knotenpotentialanalyse Paul, Elektrotechnik 2, Seite 81 ff. Unbehauen, Grundlagen der Elektrotechnik 1, S. 197 ff Pregla, Grundlagen der Elektrotechnik 1, S. 226 ff Der Vorteil des Knotenpotentialverfahrens liegt darin, daß an Stelle von z Gleichungen (für die Anzahl der Zweige) nur k-1 Knotengleichungen aufgestellt und gelöst werden müssen. Dadurch wird der Rechenaufwand für die Lösung des linearen Gleichungssystems erheblich verringert. emg GET 22 Lösungsalgorithmus fü für das Knotenpotentialverfahren 1. Umwandeln aller Spannungsquellen in äquivalente Stromquellen 2. Wählen eines Bezugsknotens, dem das Bezugspotential zugeordnet wird. 3. Festlegung der Knotenspannungen. 4. Zweigspannungen durch Knotenspannungen ausdrücken. 5. Zweigströme durch Knotenspannungen und Widerstände bzw. Leitwerte ausdrücken. 6. Aufstellung der k-1 Knotengleichungen und Lösung des Gleichungssystems für die Knotenspannungen. 7. Berechnung der Zweigspannungen nach Punkt 3. Berechnung der Zweigströme nach Punkt 4. emg GET 9 2. Beispiel: Knotenpotentialverfahren 22 In einer Schaltung läßt sich jedem Knotenpunkt ein Potential - das Knotenpotential zuordnen. R4 R5 R2 R3 R1 R6 IQ6 UQ1 0 = Bezugsknoten: Bezugspotential ϕ0 = 0 Volt Dafür wird ein Knoten als Bezugsknoten ausgewählt, dem ein willemg kürlich festgelegtes Bezugspotential zugeordnet wird. Meistens GET wird das Bezugspotential ϕ0 zu ϕ0 = 0 Volt gewählt. 2. Beispiel: Knotenspannung 22 Die Spannung zwischen einem beliebigen Knoten des Netzwerkes und dem Bezugsknoten ist die Differenz der Potentiale beider Knoten. Diese Potentialdifferenz wird als Knotenspannung bezeichnet. U10 = ϕ1 - ϕ0 R4 1 ϕ1 R1 2 R2 U20 U10 R3 ϕ2 3 ϕ3 U20 = ϕ2 - ϕ0 R5 U30 = ϕ3 - ϕ0 U30 R6 IQ6 UQ1 emg GET 0 = Bezugsknoten : Bezugspotential ϕ0 = 0 Volt 10 2. Beispiel: Vorgehensweise 22 Gesucht sind: die Ströme I1 bis I6 und die Spannungen U1 bis U6 R4 1 ϕ1 2 ϕ2 R5 R2 R1 3 ϕ3 R3 IQ1 R6 IQ6 0 ϕ0 1. Schritt: Ersetzung aller Spannungsquellen durch äquivalente Stromquellen. Achtung: Richtung kehrt sich um! 2. Schritt: Nummerierung der Knoten von 0 bis k-1. Der Bezugsknoten, dem emg das Bezugspotential '0 Volt' zugeordnet wird, sollte die Knotennummer 0 GET erhalten. 2. Beispiel: Nummerierung der Zweige 22 R4 I4 1 I2 2 U1 3. Schritt: emg GET R5 R2 I1 R1 U4 U5 I6 U2 IQ1 R3 I3 3 I5 R6 U3 IQ6 U6 0 ϕ0 Nummerierung der Zweige von 1 bis z. Für jede Zweigspannung und jeden Zweigstrom wird ein Bezugspfeil in die Schaltung eingetragen (Index = Zweignummer). 11 2. Beispiel: Knotenspannungen 22 U10 = ϕ1 - ϕ0 U20 = ϕ2 - ϕ0 U30 = ϕ3 - ϕ0 R4 1 2 3 R5 R2 R1 U20 IQ1 U10 R3 U30 R6 IQ6 0 ϕ0 4. Schritt: Eintragen der Knotenspannungen. Von jedem Knoten wird ein Spannungspfeil zum Bezugsknoten eingetragen. Die Knotenemg spannungen erhalten im Gegensatz zu den Zweigspannungen einen Doppelindex (1. Index = Ausgangsknoten, 2.Index = Bezugsknoten). GET 22 2. Beispiel: Ströme werden Spannungen 5. Schritt: Zweigspannungen durch Knotenspannungen ausdrücken. U1 = U10 U3 = U20 U5 = U20 - U30 U2 = U10 - U20 U4 = U10 - U30 U6 = U30 6. Schritt: Zweigströme durch Knotenspannungen und Widerstände bzw. Leitwerte ausdrücken. I1 = U1 /R1 = G1 U1 = G1 U10 I2 = U2 /R2 = G2 U2 = G2 (U10 - U20) I3 = U3 /R3 = G3 U3 = G3 U20 I4 = U4 /R4 = G4 U4 = G4 (U10 - U30) emg I5 = U5 /R5 GET I6 = G6 U6 = G5 U5 = G5 (U20 - U30) = G6 U30 12 2. Beispiel: Knotengleichungen 22 7. Schritt: Aufstellung der k-1 Knotengleichungen 4 Knoten: 3 Gleichungen Knoten 1 Knoten 2 Knoten 3 -I1 -I2 -I4 = -IQ1 I2 -I3 -I5 = 0 I4 +I5 -I6 = IQ6 In diesen Gleichungen werden die Ströme nun über das Ohmsche Gesetz durch die Produkte aus Leitwert und Spannung des jeweiligen Zweiges ersetzt und dann die Spannungen durch die Knotenspannungen ausgedrückt. Anschließend werden die Terme zur gleichen Knotenspannung zusammengefasst. Wenn in dem Gleichungssystem Gleichungen mit -1 multipliziert emg werden, ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Die 1. GET und 3. Zeile werden mit -1 multipliziert: Determinante ungeändert! 2. Beispiel: Matrixschreibweise 22 8. Schritt: Aufstellung und Lösung des linearen Gleichungssystems. (G1 + G2 + G4) -G2 -G2 +(G2 + G3 + G5) -G4 -G5 -G4 U10 IQ1 -G5 • U20 = 0 +(G4 + G5 + G6) U30 Spaltenvektor der bekannten Quellen -IQ6 Koeffizientenmatrix Spaltenvektor der Zweigleitwerte der unbekannten Knotenspannungen emg GET Aus der Struktur der Koeffizientenmatrix lassen sich folgende allgemeingültige Eigenschaften bzw. Regeln für die Aufstellung dieser Matrix ablesen: 13 22 1. Die Leitwertmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Alle Elemente der Hauptdiagonalen sind positiv, alle anderen Elemente sind negativ. 2. Jede Zeile der Leitwertmatrix beschreibt die Schaltungsstruktur in der Umgebung eines Knotens. 3. Jedes Hauptdiagonalelement wird aus der Summe der Leitwerte gebildet, die mit einem Pol am zugehörigen Knoten liegen. 4. Die weiteren Elemente einer Zeile enthalten diejenigen Leitwerte, die vom betrachteten Knoten zum jeweiligen Nachbarknoten führen. 5. Die Summe der Elemente einer Zeile ist Null, wenn kein Zweig vom betrachteten Knoten zum Bezugsknoten führt. Besteht ein Zweig zum Bezugsknoten, so ist sein Leitwert gleich dieser Summe. 6. Die Elemente der Spaltenmatrix auf der rechten Seite des Gleichungssystems werden von den Quellenströmen gebildet. Fließt in den betrachteten Knoten ein Strom hinein, so wird er positiv gezählt. Ein aus dem Knoten herausfließender Strom erhält ein negatives Vorzeichen. emg GET 22 emg GET 14 22 Zusammenfassung Maschenanalyseverfahren (wenige Maschen) Im Vergleich zur Lösung mit den Kirchhoffschen Gesetzen (m+(k-1)=z Gleichungen) sind nur so viele Gleichungen zu lösen, wie das Netzwerk Maschen hat (m = z - (k-1)). Problem: Falsche Maschenzahl führt zu falschen Lösungen Knotenpotentialverfahren (wenige Knoten) Im Vergleich zur Lösung mit den Kirchhoffschen Gesetzen (z Gleichungen) sind nur so viele Gleichungen zu lösen, wie das Netzwerk unabhängige Knoten hat (k-1). emg GET Nächste Vorlesung: Zeitabhängige Netzwerke 15
