Version - Plarthin!

Was ist Plarthin - KOMPAKT?
Es ist das Gefühl des Glückes, dass einem beim Essen von Schokolade überkommt.
Es ist wie ein langersehntes Wiedersehen mit tot geglaubten Verwandten.
Es ist die Zusammenfassung (und teilweise Erklärung) der Quantenphysik.
Hier kommt nur das allerwichtigste vor. Dafür mit ein, zwei Sätzen Erklärung.
Immer dran denken, die wichtigsten Leute in der Quantenphysik fanden selbige grausam - also keine
Sorge, wenns einem selbst so geht.
- Plarthin im Januar 2010 (?),
bevor er seiner langjährigen
Melancholie erlegen ist
(nach semi-verlässlichen Quellen)
IT'S DANGEROUS TO GO ALONE!
TAKE THIS.
Vorsicht: Je nachdem, was schöner ist, wird wild zwischen h und Z (sprich: "h-quer" oder "hacke")
gewechselt, ebenso zwischen Kreisfrequenz und richtiger Frequenz (auch oft f). Also vorsicht. Es
gilt:
und
IT'S A SECRET TO EVERYBODY
Werden komplexe Zahlen konjugiert, so kennzeichnen wir das mit einem Stern. Also: Falls
, dann
.
Das Kronecker-Delta ist eine Abfrage, ob zwei Zahlen gleich sind. Es ist 1, falls sie es sind, und null
sonst:
.
Aber WARUM nur, Plarthin - WARUM!?!
Sowohl das, was man als Teilchen kennt - Elektronen, Protonen und überhaupt - als auch das Licht
selbst - zeigen sowohl Teilchen- (z.B. in der Wechselwirkung), als auch Welleneigenschaftene (bei
der Ausbreitung).
Daher beschreiben wir nun alles mit Wellenfunktionen. Die sind alles Lösungen der
Schrödingergleichung, die linear ist - daher gilt das Superpositionsprinzip, d.h. man kann praktisch
alles als Überlagerung vieler Wellenfunktionen darstellen.
Und das ist der Großteil der Quantenphysik: Alles umformulieren in diesem neuen Modell der
Wellen. Außerdem freuen wir uns auf einzelne, stabile Zustände und überhaupt.
Bereit?
Klassisches und historische Vermutungen, die
Richtung Quantenphysik gehen.
Planck'sches Strahlungsgesetz (auch: Hohlraumstrahlung,
Schwarzer Körper)
Ein Schwarzer Körper ist ein Modell, mit dem Planck den Intensitätsverlauf der abgegebenen
Strahlung ableiten wollte. Die Idee: In einem Objekt liegt Energie vor, da selbiges eine
Temperatur T>0 aufweist. Bspw. ein Würfel mit verspiegelten Flächen - und einem winzigen
Loch, durch das Strahlung austreten kann, dass aber das thermodynamische Gleichgewicht nicht
verändert.
Natürlich gibt es in der Realität keine echten solchen Schwarzen Körper, aber es ist erstaunlich,
wie gut die Näherung ist.
Der Verlauf der Energiedichte ergeben sich nach unangenehmer Rechnung zu:
oder, wenn wir isotrope Ausstralung (= in alle Richtungen gleich) Ausstrahlung annehmen:
.
Dabei ist
eine Energie pro Frequenz pro Strahlerläche pro Zeit, oder auch Leistung pro
Strahlerfläche und Frequenz.
Um also die gesamte abgestrahlte Energie zu erhalten, muss der Ausdruck noch über das
betrachtete Frequenzintervall und die Strahlerfläche integriert werden.
Eine schöne Herleitung nach Einstein findet man im Haken & Wolf. Psst, Haken&Wolf... wir lieben dich!
Ein weiteres Gesetz, dass die gesamte Intensität eines Hohlraumstrahlers beschreibt ist das Stefan-
Boltzmann-Gesetz (nach Herrn Stefan Boltzmann):
Hierbei ist
die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur des
Hohlraumstrahlers.
Photon & Friends
Das Licht als elektromagnetische Welle transportiert Energie in Energiepaketen der Größe , die
man Photonen nennt. Diese Photonen zeigen sowohl Teilchen- (z.B. bei der Wechselwirkung), als
auch Welleneigenschaften (bei der Ausbreitung). Jedes dieser Photonen trägt einen Impuls
(Teilcheneigenschaft), den man sich analog zum klassischen Impuls vorstellen kann. Der Impuls
eines sich ausbreitenden Photons (Welleneigenschaften) hat die Größe . bezeichnet hier die
Wellenzahl des Photons:
.
Dass ein Photon einen solchen Impuls trägt wurde im Compton-Effekt gezeigt, bei dem Photonen
an Elektronen streuen. Hier gilt mit dem Streuwinkel
ist die sog. Compton-Wellenlänge bei Streuung am Elektron.
Bei der Streuung am Kristallgitter (Bragg-Streuung) gilt die Bragg-Bedingung:
Das heißt konstruktive Interferenz tritt genau dann auf, wenn der Gangunterschied
, wobei d den Abstand der Gitterebenen und den Ablenkwinkel beschreibt,
einem Vielfachen der Wellenlänge entspricht.
Bohr und seine Atome
Um das Spektrum des Wasserstoffatoms zu erklären ging Bohr von den folgenden Hypothesen
aus:
1. Das Elektron kann sich nur auf bestimmten stabilen Kreisbahnen um den Kern bewegen. Die
innere Energie eines Atoms kann daher nur diskrete Werte annehmen.
2. Der Übergang zwischen zwei Kreisbahnen
wird die Energiedifferenz eines Photons
der Energie
geben.
3. Die erlaubten Bahnen sind durch quantisierte Werte des Bahn-Drehimpuls
gekennzeichnet.
Damit ergeben sich für das Atom folgende mögliche Energieniveaus:
Diese stimmen für Wasserstoff sehr gut mit den Beobachtungen überein.
DeBroglie
So wie wir eben Wellenphänomenen Teilcheneigenschaften zugeordnet haben (nämlich dem
Licht Impuls) ordnen wir nun Teilchen Welleneigenschaften - nämlich eine Wellenlänge und
Frequenz - zu. Wie das geht, sagt uns DeBroglie.
Ein Teilchen mit der kin. Energie
Kreisfrequenz
und dem Impuls p ordnen wir die Wellenzahl k und die
zu:
und
Ihre Dispersionsrelation lautet für nicht-relativistische Teilchen:
und für relativistische
(folgt aus der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung)
Und das wars bis hier. Jetzt kommt Quantenphysik. Aber keine Sorge. Ist eigentlich nur die
Schrödingergleichung.
Materiewellen, Fouriertransformation und Heisenberg'sche
Unschärferelation
Um die Welleneigenschaften von Teilchen zufriedenstellend zu beschreiben, führt man
Materiewellen ein. Das heißt, einem Teilchen wird nun nicht mehr ein klarer Ort und Impuls zu
jedem Zeitpunkt zugeordnet, stattdessen gibt es eine Wellenfunktion, deren Wert an jeder Stelle ein
Maß für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist. Mehr sagt die Wellenfunktion nicht aus!
Für die Wellen gilt das Superpositionsprinzip: Da die zugrundeliegende Differentialgleichung - die
Schrödingergleichung - linear ist, ist die Summe zweier Lösungen auch eine Lösung. Aber aufpassen:
Im Regelfall muss man dann die Koeffizienten anpassen, denn: Damit die Interpretation als
Aufenthaltswahrscheinlichkeit Sinn macht, muss die Wellenfunktion normiert sein. Logischerweise
muss die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo zu finden 1 sein, also gilt:
bzw.
Dabei sind die Wellenfunktionen i.d.R. nicht reell - da nur das Betragsquadrat physikalische
Relevanz hat* sind auch komplexe Wellenfunktionen akzeptabel. Die "Standardwellenfunktion" ist
daher die komplexwertige Exponentialfunktion. (man beachte: Die Wellenfunktion liegen alle im
Schwartz'schen Raum.)
Zur Überlagerung vieler Wellenfunktionen nutzt man die Fouriertransformation. Mehr dazu in
Plarthin-KOMPAKT! zu Mathematik III.
Die Grundidee ist, dass jede Welle darstellbar ist als Überlagerung vieler "Exponentialwellen"
, dabei ist dann die Transformierte die Verteilung im "k-Raum", also die
Verteilung der Impulse.
Direkt aus der Überlagerung durch Fouriertransformation folgt die Heisenberg'sche
Unschärferelation. Die lautet unterschiedlich, je nachdem wenn man fragt (hängt davon ab, wie man
"unscharf" definiert). Eine schöne anschauliche Interpretation bei Interferenz am Doppelspalt gibts
im Haken&Wolf.
Fouriertransformierte sind i.d.R. aber nur nötig, wenn die betrachtete Basis im Hilbertraum der
Materiewellen - also dem Raum aller möglichen Wellenfunktionen - selbst überabzählbar ist. Für
abzählbare bzw. endliche Basen, wie sie sehr häufig vorkommen (Zwei-Niveau-System: Basis hat
zwei Elemente, harmonischer Oszillator: Basis ist abzählbar), muss das i.d.R. nicht getan werden
(schon gar nicht in Klausuren). Da ist die Diracnotation der beste Freund des Physikers.
* - das ändert sich später bei Operatoren, soll aber erstmal nicht so dramatisch sein.
Hilberträume und Skalarprodukt
Die oben genannten Wellenfunktionen liegen in einem Hilbertraum. Hilberträume sind spezielle
Vektorräume, nämlich die, die bzgl. der vom Skalarprodukt induzierten Metrik vollständig sind. Was
das genau bedeutet, ist für uns erstmal nicht wichtig - es heißt, dass wir zahlreiche Sätze der
Mathematik auf unsere Wellenfunktionen anwenden können. Genauer bilden unsere
Wellenfunktionen einen speziellen Raum, der nicht unwichtig ist (siehe
, sowie
Darstellungssatz von Riesz / abstrakter Riesz-Satz in Plarthin-KOMPAKT! für Mathematik III).
Das in diesem Raum gegebene Skalarprodukt zweier Wellenfunktionen bildet, wie man das von
Skalarprodukten kennt - zwei Vektoren - hier Wellenfunktionen - auf eine Zahl ab - hier eine
komplexe Zahl. Es ist definiert als:
Achtung: In der Mathematik konjugiert man i.d.R. die zweite Wellenfunktion.
Das Skalarprodukt erfüllt einige Eigenschaften, die nicht unwichtig sind!
1. Das Skalarprodukt einer Wellenfunktion mit sich selbst (
) ist reell und positiv - entspricht
nämlich genau dem Betragsquadrat. Handelt es sich um eine "reale" Materiewelle, d.h. ist die
Funktion normiert, so ist der Ausdruck 1:
.
2. Das Skalarprodukt ist linear im zweiten, und konjugiert linear im ersten Argument:
und
. Das folgt
direkt aus der Definition, und wird später sehr hilfreich.
3. Das Skalarprodukt ist konjugiert-symmetrisch: Dreht man die Argumente um, muss man den
Ausdruck konjugieren:
.
Operatoren I: Motivation & Erwartungswerte
Operatoren sind zunächst nichts weiter als Schreibweisen für Ableitungen oder Multiplikationen. Sie
dienen u.a. dazu, das, was klassisch selbstverständlich war - z.B. den Ort eines Teilchens anzugeben auch in der Quantenphysik zu ermöglichen. Wir haben soeben gesagt, dass wir Teilchen mit
Wellenfunktionen beschreiben. Von der Deltadistribution abgesehen, ergibt sich im Regelfall an
mehreren Orten eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit > 0 des Teilchens - wo genau können wir das
Teilchen denn nun finden?
2
4
x
6
8
Beispiel einer Wellenfunktion: Der Funktion C*sin(x)/x (rot) ist eine zulässige Wellenfunktion. Ihre
Aufenthaltswahrscheinlichkeit (grün) zeigt, dass es nicht klar ist, wo sich das zugehörige Teilchen
aufhält.
Es ist daher nicht mehr möglich, anzugeben, wo sich das Teilchen genau aufhält - genausowenig, wie
es beim Würfeln möglich ist, genau vorherzusagen, was gewürfelt wird. Es ist aber möglich, den
Erwartungswert anzugeben: Den Mittelwert, der sich bei unendlich vielen Messungen ergeben
würde. Beim Würfeln hat jedes Ereignis die Wahrscheinlichkeit
der Erwartungswert zu
, und entsprechend berechnet sich
, d.h. formal rechnen wir: "zugehörige
Wahrscheinlichkeit mal zugehöriges Ereignis". Hier ist es ähnlich: Die Wahrscheinlichkeit, dass
Teilchen am Ort zu finden, ist
, wenn die zugehörige Wellenfunktion bezeichnet. Also
müssen wir formal Ausdrücke der Form
addieren (das Betragsquadrat
lässt sich als Produkt der konjugierten mit der eigentlichen Wellenfunktion darstellen). Da wir hier
über alle möglichen x integrieren müssen, entspricht dem "Ortserwartungswert" dann ein Integral:
Man sieht, dass es sich dabei tatsächlich um das Skalarprodukt handelt:
Grundlage der Dirac-Notation (siehe nächsten Eintrag).
. Das ist die
Dieser Operator, mit dem wir z.B. den Erwartungswert des Ortes erhalten, heißt Ortsoperator. Er ist
einer der grundlegensten Operatoren - aber im Grunde genommen ist es nichts weiter, als ein x (bzw.
im dreidimensionalen ein ) ranzumultiplizieren.
Ein weiterer wichtiger Operator ist der Impulsoperator. Er ist definiert als:
eindimensionalen
, bzw. im
. Anders als der Ortsoperator wird beim Impulsoperator nicht "nur" ein
Wert an die Wellenfunktion dranmultipliziert, sondern noch zusätzlich die Ableitung gebildet. Völlig
analog ergibt sich dann der Impulserwartungswert zu:
Man beachte, dass nur eine Wellenfunktion abgeleitet wird.
Operatoren sind aber noch allgemeiner, als nur Erwartungswerte, wie wir später sehen werden (z.B.
beim harmonischen Oszillator). Daher machen sie allgemein auch ohne Skalarprodukt Sinn, und
können insbesondere auch munter "gemischt" werden, d.h. Ausdrücke der Form
kommen
häufig vor! Mehr dazu in Operatoren- Teil II.
Führt man die Dirac-Notation ein (siehe unten), so ist es möglich, die Operatoren als Matrix zu
schreiben, falls die Basis endlich ist (z.B. Zwei-Niveau-Systeme).
Merke: Zeile zuerst - Spalte später.
Dirac-Notation
Die Dirac-Notation ist die angenehmste Variante, Wellenfunktionen in abzählbaren Basen
darzustellen. Eine Wellenfunktion als Element des Hilbertraums wird dann zum Ket-Vektor:
.
Dabei spielt die Notation auf die Schreibweise des Skalarprodukts an, d.h.
soll das
Skalarprodukt beider Wellenfunktionen ergeben. Daher wird der Bra-Vektor (wg. "Bra"+"Ket"=
"Bracket"... er war Physiker, kein Stand-up-Comedian) rein mathematisch zu einem "linearen
Funktional".
Aber das nur am Rande. Im Regelfall benutzt man die Dirac-Notation bei abzählbaren (oder
endlichen) Basen. Dann sind die Basiselemente gegeben durch
. Da diese ja nach
Vorraussetzung eine Basis bilden, gilt:
, d.h. das Skalarprodukt der Wellenfunktionen mit
sich selbst ergibt 1.
Dann besitzt jede Wellenfunktion eine eindeutige Darstellung als Überlagerung dieser
Wellenfunktionen, also z.B.:
.
Wir erinnern uns nun an die Eigenschaft des Skalarprodukts: Es ist linear im zweiten Argument (was
dem "Ket"-Vektor |$> entspricht) und komplex-linear im ersten. Daher müssen wir, wenn wir aus
dem "Ket" einen "Bra"-Vektor machen die Koeffizienten konjugieren. Also:
.
Wenn wir die Dirac-Notation so verwenden, ersparen wir uns nämlich das lästige rumgerechne mit
den Skalarprodukten - denn letzendlich rechnen wir nur Skalarprodukte von Basisvektoren
miteinander aus, und das ist dank der Normierung lediglich ein Kronecker-Delta.
Beispiel
Ein Beispiel gefällig? Wir führen die zwei Wellenfunktionen "A" und "B" ein:
und
.
Dann ist
. Damit ist das Skalarprodukt beider Funktionen schnell berechnet:
Desweiteren ist die Diracnotation bei Operatoren sehr praktisch. Wir hatten gesehen, dass die
Operatoren "ins Skalarprodukt hineinrutschen", und genau diesen Zusammenhang stellen wir in der
Dirac-notation dar. Bilden wir das Skalarprodukt der Funktion mit der Wellenfunktion, die sich
ergibt, wenn wir den Operator A auf anwenden, d.h.
, dann schreiben wir
. Das
heißt, der Operator in der Mitte wird immer auf die Funktion rechts angewandt - man könnte auch
schreiben, um dies zu verdeutlichen. Und was, wenn man den Operator lieber auf die andere
Wellenfunktion anwendet?
Operatoren II: Adjungierte Operatoren, Varianz, Eigenwerte
und -funktionen, Observable, Messungen und: wir präparieren
Schreibt man
, so wird der Operator A stets auf angewandt. Will man stattdessen lieber mit
hantieren, kann man den adjungierten Operator
benutzen. Dieser ist so definiert, dass gilt:
.
Sollten die Operatoren identisch sein, d.h.
, dann nennt man A selbstadjungiert. In der Regel
sind alle physikalisch relevanten Operatoren selbstadjungiert.
Die Matrizen selbstadjungierter Operatoren sind hermitisch, d.h. "konjugiert-symmetrisch", es gilt:
.
Operatoren sind schon ungewöhnliche Freunde auf unserem langen Marsch durch die
Quantenphysik. Aber immer steht die Frage im Raum, was Operatoren physikalisch bedeuten. Wir
haben schon gesehen, dass die Ortsoperatoren irgendwie mit dem Erwartungswert des Ortes - also wo
wir ungefähr die Wellenfunktion messen - zusammenhängen. Aber was bedeutet das genau?
Eine sogenannte Eigenfunktion
oder auch Eigenzustand zu einem Operator A erfüllt die
Gleichung:
. Dabei ist K eine Konstante, der sogenannte Eigenwert. Die triviale
Nullfunktion erfüllt die Gleichung zwar, aber da sie wenig aussagt, nehmen wir sie explizit heraus.
Beispiele
Ein Beispiel: Betrachten wir den Operator
. Er leitet die Funktion zweimal ab.
. Das c dient der Normierung, die uns hier
Dann ist eine mögliche Eigenfunktion zu diesem Operator
nicht weiter interessieren soll.* Wir probieren:
.
D.h. ist Eigenfunktion zum Operator G mit dem Eigenwert -1! Ebenso ist
auch Eigenfunktion, sogar
zum selben Eigenwert - wir sehen: Verschiedene Eigenfunktionen können den gleichen Eigenwert besitzen.
Zweites Beispiel: Wir betrachten den Operator:
. Er leitet ab, und bildet noch ein Produkt - es
kommt also fast alles in ihm vor, was ein Operator drauf hat.
Eine Eigenfunktion zu diesem Operator ist etwa durch
Normierung, und ist für uns nicht weiter wichtig). Probieren wir's aus!
D.h.
ist Eigenfunktion zum Operator G mit dem
gegeben (das c dient wieder der
Eigenwert 0.
Dabei ist das mehr als nur mathematisches Herumgetrickse: Die Eigenwerte sind nämlich die
möglichen Messwerte. Einige (nicht alle) Operatoren sind nämlich das mathematische Gegenstück
zum Durchführen von Messungen:
Observable sind selbstadjungierte Operatoren, deren Eigenzustände eine orthonormale Basis bilden
(genauer: für die es eine orthonormale Basis aus Eigenzuständen gibt). In endlichdimensionalen
Hilberträumen ist jeder selbstadjungierte Operator eine Observable - das hängt mit der
Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen zusammen). Was heißt das? Nur Geduld!
Bei manchen Observablen ist es nicht offensichtlich, aber wer sich den Ortsoperator vor Augen führt,
kann sich vorstellen, dass es der Messung des Ortes entspricht. Bemerkenswert ist, dass es dann nicht
möglich ist, alle beliebigen, denkbaren Werte zu messen (obwohl sie rein mathematisch ggf. in der
Wellenfunktion in irgendeiner Art und Weise vorkommen), sondern eben nur die Eigenwerte.
Entsprechend misst man auch nur die zugehörigen Eigenzustände (d.h. ist das Ergebnis der Messung
Eigenwert A, dann hat man logischerweise Eigenzustand A gemessen - in diesem Moment weiß man
nicht, ob das Teilchen tatsächlich rein in Eigenzustand A vorlag, oder ob es evtl. eine Überlagerung
verschiedener Zustände gab).
Sobald aber eine Messung durchgeführt wurde, d.h. sobald wir gesagt haben "Alles klar,
Eigenzustand A", dann ist das Teilchen in diesem Zustand präpariert. Wiederholte Messungen
würden dann immer wieder diesen Eigenzustand ergeben (siehe auch: Schrödingers Katze).
Welcher Eigenzustand aber zuerst gemessen wird, das ist Zufall, und hängt davon ab, wie der
eigentliche Zustand aussieht. In Diracnotation mit endlichen Basen ist die Wahrscheinlichkeit, einen
bestimmten Zustand zu messen genau durch das Betragsquadrat des zugehörigen Koeffizienten
gegeben (liegt an der Normierung).
Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert r im Zustand zu messen gegeben durch:
Für Observable - also physikalisch mögliche Messungen - ist es nach Definition immer möglich, alle
möglichen Zustände als Überlagerung (Linearkombination) aller denkbaren Messwerte darzustellen.
Das ist anschaulich auch genau das, was man erwarten würde - auch, wenns erstmal nicht so klingt logisch ist es aber: Wir fassen zusammen. Es ist möglich, die verschiedenen Eigenwerte zu messen, d.
h. {EW1, EW2, ...}, und nichts anderes. Egal also, welche Wellenfunktion vermessen wird, es
kommt immer ein Eigenwert heraus. Die Eigenzustände sind die Wellenfunktionen, bei der mit
100%iger Wahrscheinlichkeit der zugehörige Eigenwert gemessen wird - für alle anderen
Wellenfunktionen kann man nur Wahrscheinlichkeiten angeben, und diese auf die versch. EW
aufteilen - also erscheint es sinnvoll, sie als Überlagerung dieser "garantierten Messwertfunktionen"
darzustellen, wobei die Koeffizienten irgendwie mit den Wahrscheinlichkeiten in Verbindung stehen.
Passend also, dass die Eigenwerte aller selbstadjungierten Operatoren reell sind - denn physikalisch
relevante Größen sind immer reell.
Der Erwartungswert (im Bezug auf ) eines Operators A ist wie oben beschrieben:
Die Varianz (=Unschärfe) ist gegeben durch:
vereinfacht sich zut:
. Dieser eklige Ausdruck
.
* - Die genannte Wellenfunktion über den gesamten Raum erfüllt die Normierung nicht, d.h. sie muss irgendwie auf ein bestimmtes Gebiet
eingeschränkt werden. Siehe dazu auch: Das Teilchen im lin. Potentialtopf.
Operatoren III: Kommutator und was er bedeutet
.
Keine Sorge, diesmal ists kurz.
Der Kommutator zweier Operatoren ist definiert als:
(ist selbst wieder ein
Operator), das ist im Folgenden Sinne zu verstehen:
, d.h. zuerst
wendet man B auf die Wellenfunktion an, dann A auf das Ergebnis, und davon zieht man das
umgekehrte ab.
Der Ausdruck ist in der Regel nicht null! Das liegt einfach an der nicht-vertauschbarkeit von
Differentiation und Multiplikation mit Funktionen (z.B. ist
nicht dasselbe wie
). Manchmal kann der Kommutator ganz nützlich sein, falls man z.B. die Reihenfolge
zweier Operatoren umdrehen möchte.
Kommutieren zwei Operatoren A, B, d.h. ist
, dann existiert eine Orthonormalbasis aus
gemeinsamen Eigenzuständen. Zunächst, was sind gemeinsame Eigenzustände? Das sind die
Wellenfunktionen , die mit 100%iger Wahrscheinlichkeit stets den gleichen Eigenwert liefern, und
zwar für beide Operatoren. Und nun ist die Aussage, dass es soviele davon gibt, dass jede beliebige
Wellenfunktion als Überlagerung solcher Funktionen existiert.
Das bedeutet anschaulich, dass man die zu A und B zugehörigen Messungen gleichzeitig durchführen
kann (d.h. mit einer Messung lässt sich das Verhalten der Wellenfunktion bzgl. beider
Operatoren/Messungen feststellen).
Für zwei selbstadjungierte Operatoren gilt die folgende Unschärferelation:
.
Sollten A,B kommutieren, d.h.
Unschärferelation.
Ort & Impuls ergeben im Kommutator
, so ergibt sich
, d.h. es gibt keine gemeinsame
, einsetzen gibt genau die bekannte Beziehung.
Die Schrödinger-Gleichung
Nun steht nach all dem die Frage im Raum: Wie kann ich denn nun die Wellenfunktion, die mein
System beschreiben, bestimmen? Dies ermöglicht am komfortabelsten die Schrödinger-Gleichung.
Sie enthält praktisch die gesamte Quantenphysik, und hat einen charmanten Merkspruch: "H-Psi
gleich E-Psi":
H und E sind dabei Operatoren. H ist der Operator der Gesamtenergie, der heuristisch aus der
klassischen Mechanik direkt übernommen werden kann, indem man in der Gesamtenergie
die Operatoren einfügt:
.
E ist gegeben durch
.
Will man die Schrödingergleichung lösen, bietet es sich in der Regel an, einen Produktansatz zu
wählen:
. Dann erhält man für sofort die Lösung, und für die sogenannte
stationäre Schrödinger-Gleichung.
und
.
Hat man die stationäre Schrödingergleichung gelöst, so gibt es die Zeitentwicklung, indem man den
Exponentialterm "hinten dran hängt".
Zeitentwicklung beliebiger Zustände
Leider ist die Zeitentwicklung eines beliebigen Zustandes zunächst nicht so trivial.
Sagen wir, zum Zeitpunkt t=0 ist der Zustand gegeben als Überlagerung zweier anderer Zustände:
. Wären und nun Lösungen der Schrödingergleichung zu den
Energien
, dann kennen wir ihre Zeitentwicklung:
. Da
und
zu jedem Zeitpunkt eine solche Überlagerung beider
Zustände ist, folgt damit:
D.h. die Zeitentwicklung ist relativ einfach, wenn man die Zeitentwicklung der Zustände kennt, die
man zum Überlagern benutzt hat.
Daher muss man für die Zeitentwicklung in eine Basis wechseln, in der diese für die Basiszustände
bekannt ist. Das Vorgehen lautet also:
1. Finde die Lösungen
der Schrödingergleichung, und bestimme deren Eigenwerte
2. Finde die Koeffizienten für die Überlagerung
3. Schreibe die Wellenfunktion in der neuen Basis:
4. Setze die Zeitentwicklung hinten dran
5. Versuche ggf., umzuformen.
Alternativ ist es natürlich immer möglich, die allgemeine zeitabhängige Schrödingergleichung zu
lösen, und die Koeffizienten in der allgemeinen Lösung (=Linearkombination aller Lösungen) so
anzupassen, dass bei
der gegebene Zustand entsteht. Meist ist aber obiges Vorgehen weit
effizienter.