Ferienkurs Quantenmechanik Drehimpuls, Spin und H - TUM

Drehimpuls, Spin und H-Atom
Tag 3
(Theoretische Physik III)
16. September 2015
Seite 1
Ferienkurs Quantenmechanik
Sommersemester 2015
Fabian Jerzembeck und Sebastian Steinbeiÿer
Fakultät für Physik
Technische Universität München
16. September 2015
Drehimpuls, Spin
und
H-Atom
Häug hängt unser Potential in der Schrödingergleichung nur vom Abstand unseres
Teilchens, zum Beispiel zu einem Atomkern, ab. Dann nimmt unsere stationäre Schrödingergleichung in 3 Dimesnsionen die folgende Form an:
~2
∆ + V (r) Ψ(~r) = EΨ(~r)
−
2m
mit r = x2 + y 2 + z 2 und ∆ = ∇2 . Diese Symmetrie können wir nutzen, indem wir
das Problem in Kugelkoordinaten betrachten. Für den Laplaceoperator ergibt sich:
p
1 ∂
∆= 2
r ∂r
1
∂
∂
1
∂2
2 ∂
r
+ 2
sin ϑ
+ 2 2
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ2
Das sieht zugegebenermaÿen (noch) nicht besser aus. Durch Einführung des quantenmechanischen Drehimpulsoperators können wir es aber weiter vereinfachen.
Anschlieÿend führen wir eine allgemeine Diskussion der Drehimpulsalgebra durch und
verwenden diese, um die Ergebnisse des Stern-Gerlach-Experiments zu interpretieren. Dazwischen schieben wir eine sehr knapp gehaltene Darstellung des WasserstoProblems ein. Zum Abschluss werfen wir einen kurzen Blick auf die Kopplung von
Drehimpulsen.
1 Drehimpuls
Analog zum klassischen Drehimpuls denieren wir uns den (hermiteschen) Drehimpulsoperator:
1
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Denition 1
~ ≡ ~r × p~ = −i~(~r × ∇) = L
~†
L
Li = ijk xj pk
mit den Komponenten:
∂
∂
Lx = ypz − zpy = −i~ y
−z
∂z
∂y
∂
∂
Ly = zpx − xpz = −i~ z
−x
∂x
∂z
∂
∂
−y
Lz = xpy − ypx = −i~ x
∂y
∂x
Das Betragsquadrat lautet:
Beispiel 1
L2 = L2x + L2y + L2z
Für die Komponenten können wir Vertauschungsrelationen ausrechnen:
[Lx , Ly ] = [ypz − zpy , zpx − xpz ] = [ypz , zpx ] − [zpy , zpx ] − [ypz , xpz ] +[zpy , xpz ]
| {z } | {z }
0
0
= y[pz , zpx ] + [y, zpx ] pz + z [py , xpz ] +[z, xpz ]py
| {z }
| {z }
0
0
= yz [pz , px ] +y [pz , z] px + x [z, pz ] py + [z, x] pz py = i~(xpy − ypx ) = i~Lz
| {z }
| {z }
| {z }
| {z }
−i~
0
0
i~
[Lx , Lz ] = · · · = −i~Lz
[Ly , Lz ] = · · · = i~Lx
Satz 1
In kompakter Notation:
[Li , Lj ] = ijk i~Lk
Daraus folgt dann direkt:
[L2 , Li ] = 0
Weiterhin haben wir:
[Li , xj ] = ijk i~xk
[Li , pj ] = ijk i~pk
wobei wir verwenden, dass gilt:
ijk imn = δjm δkn
ijk ijn = δkn
2
ijk ijk = 6
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Wir können nun gemeinsame Eigenfunktionen von Lz und L2 konstruieren (die Operatoren vertauschen → Tag 1), die, wie wir im Folgenden sehen werden, auch Eigenfunktionen vom Hamiltonoperator mit einem radialsymmetrischen Potential sind.
1.1 Drehimpuls in Kugelkoordinaten
In Kugelkoordinaten, d.h. mit:
x = r sin ϑ cos ϕ
y = r sin ϑ sin ϕ
z = r cos ϑ
können wir zB die Lz -Komponente des Drehimpulses ausdrücken als
∂
∂
Lz = −i~ x
−y
=
∂y
∂x
∂r ∂
∂ϑ ∂
∂ϕ ∂
∂ϑ ∂
∂ϕ ∂
∂r ∂
−i~ x
+
+
+
+
−y
=
∂y ∂r
∂y ∂ϑ
∂y ∂ϕ
∂x ∂r
∂x ∂ϑ
∂x ∂ϕ
∂r
∂
∂ϑ
∂ϑ
∂
∂ϕ
∂ϕ
∂
∂r
−y
+ x
−y
+ x
−y
−i~ x
∂y
∂x
∂r
∂y
∂x
∂ϑ
∂y
∂x
∂ϕ
{z
}
{z
}
{z
}
|
|
|
(I)
(II)
(III)
p
Mit r = x2 + y 2 + z 2 folgt
x
∂r
= ,
∂x
r
Aus cos ϑ =
z
r
∂r
y
= ,
∂y
r
y
r
x
r
also (I) = x − y = 0.
folgt
z z ∂ϑ
∂ϑ
∂
∂
(II) = x
−y
= x arccos
−y
arccos
=
∂y
∂x
∂y
r
∂x
r
1
1z
1
1z
xyz
xyz
− 3 2y − y q
− 3 2x = √
− √
=0
x q
2
2
2
2
2r
2r
r r −z
r r2 − z 2
− 1 − zr2
− 1 − zr2
Mit tan ϕ =
y
x
folgt
(III) = x
x
∂ϕ
∂y
1
1+
y2
x2
−y
∂ϕ
∂x
1
1
−y
2
x
1 + xy 2
y
y
∂
∂
= x arctan
−y
arctan
=
∂y
x
∂x
x
y
1
y2
− 2 =
1+ 2 =1
2
x
x
1 + xy 2
3
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Insgesamt erhalten wir für die Lz -Komponente des Drehimpulses in Polarkoordinaten:
Lz = −i~
∂
.
∂ϕ
Ähnliche Rechnungen ergeben:
∂
∂
− cot ϑ cos ϕ
Lx = −i~ sin ϕ
∂ϑ
∂ϕ
∂
∂
Ly = −i~ cos ϕ
− cot ϑ sin ϕ
∂ϑ
∂ϕ
und somit erhalten wir:
2
2
L = −~
1 ∂
sin ϑ ∂ϑ
∂
sin ϑ
∂ϑ
1 ∂2
+
sin2 ϑ ∂ϕ2
Dies entspricht, bis auf den Vorfaktor, dem Winkelanteil des Laplaceoperators in Kugelkoordinaten. Wir können also den Hamiltonoperator für das radialsymmetrische
Potential schreiben als:
~2 ∂
H=−
2mr2 ∂r
∂
r
∂r
2
+
L2
+ V (r)
2mr2
Da L2 und Lz nur auf den Winkelanteil der Wellenfunktion wirken, sehen wir dass
0 = [H, L2 ] = [H, Lz ]
Da [L2 , Lz ] = 0 gilt, gibt es einen Satz von simultanen Eigenvektoren von H ,L2 und
Lz ! Sind diese bekannt, so lässt sich ein radialsymmetrisches Problem mittels Separationsansatz auf eine noch zu lösende Radialgleichung reduzieren.
1.2 Drehimpulsalgebra
Um diese Eigenvektoren zu bestimmen, könnten wir im Ortsraum verbleiben und die
erhaltenen Dierentialgleichungen lösen 1 Im Hinblick auf die zugrunde liegende grundsätzliche Struktur werden wir eine abstrakte, basisunabhängige Diskussion in DiracSchreibweise durchführen.
Zu diesem Zweck setzen wir einen beliebigen Drehimpulsoperator J~ voraus, der die kanonischen Vertauschungsrelationen [Jx , Jy ] = i~Jz und [J~2 , Jz ] = 0 erfüllt. Unser Ziel
1 Dies
muss auch getan werden, um eine explizite Darstellung der Kugelächenfunktionen zu erhalten.
4
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ist es, das Spektrum (d.h. alle möglichen Eigenwerte) von J~2 und Jz zu bestimmen.
Damit lautet unser Ansatz für die gemeinsamen (normierten) Eigenvektoren |λ, mi:
J~2 |λ, mi = ~2 λ |λ, mi
Jz |λ, mi = ~m |λ, mi ,
wobei λ und m reell angenommen werden können (→ Hermitizität).
Als erstes erklären wir sog. Auf- und Absteigeroperatoren durch
J+ = Jx + iJy = J−†
J− = Jx − iJy = J+†
(1)
Es gelten die Kommutatorrelationen:
[J+ , J− ] = 2~Jz ,
[Jz , J± ] = ±~J± ,
[J 2 , J± ] = 0.
Auÿerdem lässt sich J 2 = Jx2 + Jy2 + Jz2 ausdrücken als:
J2 =
1
(J− J+ + J+ J− ) + Jz2 .
2
Nun beobachten wir, dass J± die Auf- und Absteigeoperatoren für die z -Komponente
des Drehimpulses sind:
Jz (J± |λ, mi) = J± Jz |λ, mi ± ~J± |λ, mi = (m ± 1)~(J± |λ, mi)
J 2 (J± |λ, mi) = J± (J 2 |λ, mi) = λ(J± |λ, mi),
Das heiÿt J± |λ, mi ist wieder ein Eigenzustand zu den Eigenwerten (m ± 1)~ und λ
(unverändert, zweite Rechnung), ist also ein Vielfaches von |λ, m ± 1i. Diese Feststellung rechtfertigt die Namensgebung von J± .
Werfen wir weiter einen Blick auf
!
hλ, m| Jx2 + L2y |λ, mi = hλ, m| J~2 − Jz2 |λ, mi = ~2 (λ − m2 ) ≥ 0,
folgt sofort die Einschränkung m2 ≤ λ.
Halten wir λ fest, so muss ein max m =: j und ein min m =: j 0 geben. Ein weiteres Aufsteigen von einem EV mit maximaler z -Komponente ist nicht möglich, was
J+ |λ, m = ji = 0 bedeutet. Durch eine geschickte Umformung:
J− J+ = Jx2 + Jy2 −i (Jy Jx − Jx Jy ) = J 2 − Jz2 − ~Jz
{z
}
| {z } |
J 2 −Jz2
[Jy ,Jx ]=−i~Jz
erhalten wir:
0 = J− J+ |λ, m = ji = J 2 − Jz2 − ~Jz |λ, m = ji = ~(λ − j 2 − j) |λ, m = ji ,
5
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was λ = j(j + 1) bedeutet.
Die selbe Rechnung mit j 0 und J+ ↔ J− führt auf λ = j 0 (j 0 − 1). Gleichsetzen unter
Berücksichtigung von j 0 < j bedingt, dass j 0 = −j .
Nun benötigen wir einen letzten cleveren Kni: Den EV |λ, m = −ji können wir durch
ganzzahliges Anwenden des Absteigeoperators J− auf |λ, m = ji erzeugen. Insgesamt
brauchen wir j − j 0 = 2j Schritte. M.a.W. impliziert dies, dass 2j eine (positive) ganze
Zahl sein muss, was nur durch j = 0, 21 , 1, 23 , 2, . . . erfüllt wird. Gleichzeitig sind damit
auch die möglichen m zu m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j festgelegt.
Zu guter Letzt benennen wir die EV um zu |j, mi mit λ = j(j + 1) und fassen zusammen:
Satz 2
Die Eigenwerte eines beliebigen Drehimpulsoperators (also alle Operatoren, die die geforderte Kommutatorrelationen erfüllen) sind diskret und können die
folgenden Werte annehmen:
ˆ ~2 j(j + 1)
ˆ ~m
für J~2 mit j = 0, 12 , 1, 23 , 2, . . .,
und
für Jz mit m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j , d.h. (2j + 1) Werte.
Die zugehörigen Eigenvektoren sind die Zustände |j, mi.
Die Auf-/Absteigeoperatoren wirken wie:
p
J± |j, mi = ~ (j ∓ m)(j ± m + 1) |j, m ± 1i
(2)
Speziell führt eine etwas konkretere Betrachtung im Ortsraum auf die Kugelächenfunktionen :
6
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Satz 3
Die Drehimpulseigenzustände im Ortsraum sind die Kugelächenfunktionen hϑ, ϕ|l, mi = Ylm mit
L2 Ylm (ϑ, ϕ) = ~2 l(l + 1)Ylm (ϑ, ϕ)
Lz Ylm (ϑ, ϕ) = ~mYlm (ϑ, ϕ).
In expliziter Darstellung können sie (bereits korrekt normiert) als
s
Ylm (ϑ, ϕ) =
(l − m)!
(l + m)!
r
2l + 1 m
P (cos ϑ)eimϕ
4π l
geschrieben werden, wobei die Plm (cos ϑ) die zugeordneten/assoziierten Legendrepolynome sind.
Als normierte Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten von hermiteschen Operatoren bilden sie ein vollständiges Orthonormalsystem auf der Zwei-Sphäre S 2 :
ˆ
∗
dΩYlm
(ϑ, ϕ)Yl0 m0 (ϑ, ϕ) = δll0 δmm0
∞ X
l
X
∗
Ylm
(ϑ0 , ϕ0 )Ylm (ϑ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ0 )δ(cos ϑ − cos ϑ0 )
l=0 m=−l
Ylm (π − ϑ, π + ϕ) = (−1)l · Ylm (ϑ, ϕ) (Parität: ~r → −~r)
∗
Yl,−m (ϑ, ϕ) = (−1)m · Ylm
(ϑ, ϕ)
Dabei ist l = 0, 1, 2, ... die Drehimpuls-/Orbitalquantenzahl und m = −l, .., 0, ..l die
Magnetquantenzahl.
Explit lauten die ersten Kugelächenfunktionen
1
Y00 (ϑ, ϕ) = √
4π
r
3
cos ϑ
Y10 (ϑ, ϕ) =
4π
r
3
Y1,±1 (ϑ, ϕ) = ∓
sin ϑe±iϕ
8π
r
5
Y20 (ϑ, ϕ) =
(3 cos2 ϑ − 1)
16π
r
15
Y2,±1 (ϑ, ϕ) = ∓
sin ϑ cos ϑe±iϕ
8π
r
15
Y2,±2 (ϑ, ϕ) =
sin2 ϑe±2iϕ
32π
7
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2 Matrixexponential und Drehungen
Es sei H ein hermitescher Operator. Dann wissen wir, dass U = eiH unitär ist. Um U
∞ n
P
x
zu bestimmen, verwenden wir, analog zur Exponentialreihe ex =
das sogenannte
n!
n=0
Matrixexponential:
eA =
∞
X
An
n=0
n!
wobei An das n-fache "normale"Matrixprodukt meint.
Lässt sich nun A diagonalisieren (jede hermitesche Matrix ist unitär diagonalisierbar!),
so besteht die Hauptdiagonale aus den Eigenwerten und es gilt:


eA = exp 
a11

...

ea11
 
=

...
eann
ann


was insbesondere in der Quantenmechanik von Bedeutung ist, z.B. wenn die hermitesche Matrix A = Ĥ der Hamiltonoperator ist. Dann nämlich entsprechen die Diagonalelemente von Ĥ den gesuchten Energieeigenwerten En des Problems.
Eine mögliche Anwendung des Matrixexponentials sind die Erzeugung von Drehungen,
die wir uns jetzt anschauen wollen:
Drehungen sind lineare Transformationen, die sich somit durch Matrizen mit Determinante 1 darstellen lassen. Da sie normerhaltend sind, lässt sich einfach zeigen, dass für
eine Drehmatrix R gelten muss Rt R = 1 (⇒ spezielle orthogonale Matrizen!).
Am intuitivsten ist wohl die Euler Parametrisierung, welche eine Drehung um die z Achse um den Winkel θ wie folgt darstellt:

 

cos θ − sin θ 0
0
Rz3×3 (θ) =  sin θ cos θ 0 =  Rz2×2 (θ) 0
0
0
1
0
0
1
Insbesondere ist Rz (0) = 1 (Analoges gilt und ähnliche Darstellungen ndet man für
Drehungen um die x-/y -Achse).
Eine alternative (und mathematisch vorteilhaftere!) Darstellung von Drehungen um
die Achse ~n und den Winkel ϕ bekommen wir mit Hilfe der Denitionen:


⇒
0

Λ1 = 0
0

Λ1
~ = Λ2  ,
ϕ
~ = ϕ~n,
Λ
Λ3


0 0
0 0


0 −1 , Λ2 =
0 0
1 0
−1 0
8
(Λi )jk = −ijk

1
0 ,
0


0 −1 0
Λ3 = 1 0 0 
0 0 0
(3)
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Eine Drehung bekommen wir nun via:
~x 7→ R(ϕ)~x
(4)
~
R(ϕ) = eϕ~ Λ
Die hermiteschen Operatoren iΛi sind die Erzeugenden (Generatoren) von Drehungen,
~ die Drehimpulsalgebra erfüllt:
da i~Λ
[i~Λi , i~Λj ] = ijk (i~)2 Λk
Drehungen der Ortswellenfunktion werden durch R erzeugt, wenn wir die Substituti~ → L
~ vornehmen (zur genauen Herleitung, siehe Skript zur Vorlesung!). Der
on i~Λ
i
Operator D(R) = e− ~ ϕ~ L~ ist normerhaltend, unitär und erfüllt innitesimal die Drehimpulsalgebra. Somit sind die Operatoren ~1 Li Erzeugende von Drehungen (analog zu
den Operatoren ~1 pi , welche Erzeugende von Translationen sind!).
~ A] =
Ist nun ein quantenmechanischer Operator A invariant unter Drehungen, so gilt [L,
~
0 und L und A sind simultan diagonalisierbar. Gilt nun A = H , so existieren nach dem
~ 2 und Lz , sofern das PoEhrenfest'schen Theorem simultane Eigenfunktionen von H , L
tential V (~x) invariant unter Drehungen ist (für V = 0 ist das trivial gegeben und somit
ist die freie Schrödingergleichung ein einfacher Sonderfall!).
3 Das Wasserstoatom
Wir betrachten jetzt die Schrödingergleichung für ein gebundenes Elektron (d.h.: E <
2
0) in einem radialsymmetrischen Potential V (~r) = V (r) = − Zer , dem Coulombpotential. In Kugelkoordinaten lautet sie:
~2 ∂
−
2mr2 ∂r
∂
r
∂r
2
L2
Ze2
+
−
Ψ(~r) = EΨ(~r)
2mr2
r
Da gilt:
~ 2 ] = [L
~ 2 , Lz ] = 0
[H, Lz ] = [H, L
ist eine sinnvolle Basis gegeben durch |E, l, mi. Wir machen einen Separtionsansatz
der Form:
Ψ(~r) = REl (r)Ylm (ϑ, ϕ).
Mit der zusätzlichen Substitution REl (r) =
uEl (r)
r
erhalten wir:
~2 d2 uEl
l(l + 1)~2 Ze2
−
+
−
uEl (r) = EuEl (r)
2m dr2
2mr2
r
9
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Da die Wellenfunktion Ψ(~r) normiert sein muss, gilt:
ˆ
1=
ˆ
ˆ
r
2
∗
(ϑ, ϕ)Ylm (ϑ, ϕ)
dΩYlm
∗
(r)REl (r)
drREl
|
{z
=1
=
dru∗El (r)uEl (r)
}
Wir können also uEl (r) als 1-dimensionale Wellenfunktion in dem eektiven Potential
Vef f (r) = −
Ze2 l(l + 1)~2
+
r
2mr2
interpretieren. Falls l 6= 0 kommt dadurch eine Drehimpulsbarriere zustande:
Vef f
r
Auÿer für s-Zustände (d.h.: l = 0) ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen in der Nähe des Ursprungs anzutreen sehr klein. Dies ist auch der Grund dafür, dass nur sZustände eine Fermi-Kontaktwechselwirkung erfahre können.
3.1 Asymptotisches Verhalten
Wir wollen jetzt die Funktion uEl (r) bestimmen. Schauen wir uns zunächst das asymptotische Verhalten an:
r → 0: Für r → 0 dominiert der 1/r2 -Term und die Dierntialgleichung reduziert sich
auf:
d2 uEl
l(l + 1)
=
uEl (r)
2
dr
r2
10
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Die allgemeine Lösung lautet u(r) = Arl+1 + Br−l . Da die Wellenfunktion normierbar bleiben muss, kommt nur
uEl (r) ∼ rl+1
(r → 0)
in Frage.
r → ∞: Für r → ∞ reduziert sich unsere DGL auf:
d2 uEl
= κ2 uEl
dr2
κ2 ≡ −
2mE
>0
~2
Unsere Denition von κ macht Sinn, da wir von gebunden Zuständen (dh E < 0)
sprechen. Die allgemeine Lösung dieser DGL ist u(r) = Ceκr + De−κr . Zwecks
Normierbarkeit kommt diesmal nur
uEl (r) ∼ e−κr
(r → ∞)
in Frage.
3.2 Lösung und Hauptquantenzahl
n
Wir führen die folgenden dimensionslosen Gröÿen ein:
r
ρ ≡ κr =
2m|E|
r
~2
2
2
Ze κ
e ~cκ
=Z
= Zα
|E|
~c |E|
ρ0 ≡
s
2mc2
|E|
Die Gröÿe α = ~ce 2 wird Feinstrukturkonstante genannt. Unter Beachtung von dρ = κdr
wird die DGL nach Umformung zu:
2
l(l + 1) ρ0
d2
−
+
− 1 uEl (ρ) = 0
dρ2
ρ2
ρ
Zur Lösung machen wir einen Ansatz der Form
uEl (ρ) = ρl+1 e−ρ w(ρ)
der das bekannte asymptotische Verhalten berücksichtigt. Damit bekommen wir für
w(ρ):
ρ
dw(ρ)
d2 w(ρ)
+
2(l
+
1
−
ρ)
+ (ρ0 − 2l − 2)w(ρ) = 0
dρ2
dρ
Wir machen einen Potenzreihenansatz der Form:
w(ρ) =
∞
X
k=0
11
ak ρk
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Somit erhalten wir:
∞ X
ak k(k − 1)ρ
k−1
+ 2(l + 1)kρ
k−1
ak + ak (ρ0 − 2l − 2 − 2k)ρ
k
=0
k=0
Koezientenvergleich liefert:
ak+1 [(k + 1)k + 2(l + 1)(k + 1)] + ak (ρ0 − 2l − 2 − 2k) ρk = 0
oder
ak+1
2(k + l + 1) − ρ0
=
ak
(k + 2l + 2)(k + 1)
Für groÿe k gilt dann:
ak+1
2
∼
ak
k
Das entspricht also ungefähr dem Verhältnis der Koezienten der Exponentialfunktion:
∞
e2ρ =
X (2ρ)k
k!
k=0
Damit wäre aber
und somit wäre
w(ρ) ∼ e2ρ
(r → ∞)
uEl (ρ) ∼ eρ
(r → ∞)
nicht normierbar! Nur wenn unsere Potenzreihe abbricht bekommen wir keine Schwierigkeiten! Betrachten wir die Rekursionsgleichung:
ak+1 =
2(k + l + 1) − ρ0
ak
(k + 2l + 2)(k + 1)
Wir sehen, dass ein N existieren muss, sodass
s
2(N + l + 1) = ρ0 = Zα
2mc2
.
|E|
Das Problem ist nun prinzipiell gelöst.
Wir denieren nun die Hauptquantenzahl n zu:
Denition 2
n ≡ N + l + 1 = 1, 2, 3, ...
Damit gilt jetzt:
2mc2
ρ0 =
−E
mit l = 0, 1, ..., n − 1
1/2
12
Zα = 2n
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und wir nden:
Satz 4
Die Energieeigenwerte für das Wasserstoatom lauten:
Z 2 α2
1
En = − mc2 2
2
n
Da zu jedem n-Wert l die Werte 0 bis n − 1 annehmen kann und für jeden l-Wert m
die Werte −l bis l annehmen kann, ist jeder Energieeigenwert En entartet und zwar
n−1
P
(2l + 1) = n2 -fach.
l=0
Die zugehörigen Eigenfunktionen in der Ortsbasis bezeichnen wir mit:
Satz 5
Ψnlm (~r) = h~r|nlmi = Rnl (r)Ylm (ϑ, ϕ)
Die (normierten) Radialwellenfunktionen erhalten wir durch Rücksubstitution in die
Herleitung (siehe Vorlesungsskript!). Sie lauten in der allgemeinen Form:
Satz 6
Rnl (r) = −e
−κr
l
(2κr)
(n − l − 1)!(2κ)3
2n((n + l)!)3
1/2
L2l+1
n+l (2κr)
Hierbei verwenden wir die zugeordneten (assoziierten) Laguerre-Polynome :
n−(l+1)
L2l+1
n+l (2κr)
=
X
k=0
(−1)2l+1 ((n + l)!)2
(−2κr)k
k!(k + 2l + 1)!(n − (l + k + 1))!
~
Z
Mit dem Bohr'schen Radius aB = me
und mit der Substitution
2 nden wir κ = na
B
a0
~2
a = Z = Zme2 lauten die ersten Radialwellenfunktionen explizit:
2
r
R10 (r) = 2a−3/2 e− a
r −r
−3/2
R20 (r) = 2(2a)
1−
e 2a
2a
r
1
−3/2 r
√
R21 (r) =
(2a)
e− 2a
a
3
r
2r
2r2
−3/2
e− 3a
R30 (r) = 2(3a)
1−
+
2
3a 27a
√
r
4 2
r −r
R31 (r) =
(3a)−3/2
1−
e 3a
3√
a
6a
r 2 r
2 2
R32 (r) = √ (3a)−3/2
e− 3a
a
27 5
13
(n = 1, l = 0 : K-Schale, 1s-Orbital)
(n = 2, l = 0 : L-Schale, 2s-Orbital)
(n = 2, l = 1 : L-Schale, 2p-Orbital)
(n = 3, l = 0 : M-Schale, 3s-Orbital)
(n = 3, l = 1 : M-Schale, 3p-Orbital)
(n = 3, l = 2 : M-Schale, 3d-Orbital)
Drehimpuls, Spin und H-Atom
Tag 3
(Theoretische Physik III)
16. September 2015
Seite 14
4 Spin
Auÿer dem aus klassischen Systemen bekannten Bahndrehimpuls, besitzen quantenmechanische Objekte noch einen intrinsischen Drehimpuls, den Spin, ohne Entsprechung
in klassischen Systemen. Wir fordern für die Gröÿe Spin, dass der korrespondierende
Operator die gleiche Algebra erfüllt, die auch der Drehimpuls erfüllt2 .
~ folgende Relationen erDafür erinnern wir uns daran, dass ein Drehimpulsoperator L
füllt:
[Li , Lj ] = ijk i~Lk
~ 2 |ψi = ~2 l(l + 1) |ψi
L
(5)
ml = −l, . . . , l
4.1 Spin
1
Nun wollen wir einen Operator S~v konstruieren, der Spin 1 beschreibt ⇒ sv = 1 ⇒
msv = −1, 0, 1. Das bedeutet nun, dass gelten muss:
[Svi , Svj ] = ijk i~Svk
~v2 |ψi = ~2 2 |ψi
S
Dies wird, was leicht nachgerechnet werden kann, erfüllt durch den Operator:
~v = i~Λ
~
S
mit den Einträgen, deniert in (3). Durch nachrechnen veriziert man leicht, dass, wie
gefordert, die Eigenwerte zu Svz = i~Λ3 gegeben sind durch −1, 0, 1.
Physikalisch realisiert wird Spin 1 von sogenannten Vektor-Teilchen (z.B. dem Photon,
den Eichbosonen Z 0 , W ± oder dem ρ-Meson)3 , was den Index v rechtfertigt.
4.2 Spin
0
Teilchen mit Spin 0 sind Skalare, wie z.B. das Higgs-Boson. Ihr Spin-Operator ist
trivialer weise gegeben durch:
Ss2
Ss = 1
|ψi = ~2 0 |ψi
2 Dies
liegt daran, dass Drehimpuls und Spin aus der Sicht des Noether-Theorems den gleichen Ursprung haben, nämlich die Invarianz physikalischer Systeme unter globalen LorentzTransformationen.
3 Diese Teilchen heiÿen Vektor-Teilchen, da sie unter globalen Lorentz-Transformationen wie Vektoren
transformieren.
14
Drehimpuls, Spin und H-Atom
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(Theoretische Physik III)
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was, wie gefordert, bedeutet ss = 0 ⇒ mss = 0.4
4.3 Spin
1
2
Im für uns wichtigen Fall besitzt ein Teilchen 2 Spinzustände, die wir mit Spin-up (|+i)
und Spin-down (|−i) bezeichnen. Dies bedeutet, in Anlehnung an obige Diskussion,
s = 21 ⇒ ms = ± 21 . Somit haben wir zwei Freiheitsgrade und können die Observablen
~ dementsprechend durch drei 2×2-Matrizen darstellen,
Sx , Sy und Sz des Spinvektors S
welche die geforderten Relationen (5) erfüllen5 .
4.3.1 Formalismus
Die Observable Sz besitzt also die zwei Eigenwerte − ~2 und + ~2 . Die zugehörigen orthogonalen Eigenvektoren werden mit |+i und |−i bezeichnet. Falls wir unseren SpinOperator als 2 × 2-Matrix darstellen wollen, lauten die Eigenvektoren:
1
|+i =
0
0
|−i =
1
Ein allgemeinerSpinor
ist im eine Superposition der beiden orthogonalen Eigenzustän
de, d.h. |χi =
c1
c2
= c1 |+i + c2 |−i mit der Normierungsbedingung |c1 |2 + |c2 |2 = 1,
wobei die Koezienten komplex sind.
Somit schreibt sich Sz zu:
~
Sz =
2
1 0
0 −1
Satz 7
Als eine Form des Drehimpulses gelten/ fordern wir für den Spin die Vertauschungsrelationen
[Si , Sj ] = ijk i~Sk
Damit können wir uns jetzt auch eine Darstellung für Sx und Sy konstruieren. Dies
kann zum Beispiel durch des Auf-/Absteiger-Formalismus geschehen. Man erhält:
~
Sx =
2
0 1
1 0
~
Sy =
2
4 Der
0 −i
i 0
Name entspringt wieder aus dem Verhalten unter globalen Lorentz-Transformationen. Es sei
noch angemerkt, dass das Verschwinden des Kommutators [Ssi = 1, Ssj = 1] = ijk (Ssk = 1) = 0
trivial gegeben ist, da i = j = k (die 1 hat keine Indizes!) dafür sorgt, dass ijk → iii = 0.
5 Im Skalaren-Fall hatten wir einen Freiheitsgrad und somit eine 1 × 1-Matrix, gegeben durch die
triviale 1 und im Vektor-Fall hatten wir drei Freiheitsgrade und somit eine Darstellung mit drei
3 × 3-Matrizen, gegeben durch die Λi .
15
Drehimpuls, Spin und H-Atom
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Seite 16
Das lässt sich mit den Pauli-Matrizen kompakt schreiben als:
~ = ~ ~σ
S
2
wobei
~σ = (σx , σy , σz )
t
0 −i
1 0
0 1
mit σx =
, σy =
, σz =
1 0
i 0
0 −1
Für die Pauli-Matrizen gilt:
σx2 = σy2 = σz2 = 1
[σi , σj ] = 2iijk σk
{σi , σj } = 2δij
{tr}σi = 0
{det}σi = −1
σi σj = δij + ijk σk
Wir sehen also, dass:
~ 2 = 3 ~2 · 1
S
4
In Analogie zum Drehimpuls können wir auch für den Spin Auf-/Absteiger konstruieren, deren Wirkung auf einen Zustand dem der Drehimpuls Auf-/Absteiger entspricht
(siehe (1) und (2)!):
S± = Sx ± iSy
p
S± |s, ms i = ~ (s ∓ ms )(s ± ms + 1) |s, ms i
4.3.2 Transformation von Spinoren unter Drehungen
Wir suchen die Eigenzustände von Spinprojektionen bezüglich beliebiger Raumrichtungen. Bisher haben wir nur diese in z -Richtung kennengelernt (das waren |+i und |−i
bzgl. σz ).
~ ±i die gesuchten Zustände. Dabei gibt Ω
~ eine beliebige
Wir bezeichnen nun mit |Ω,
Richtung im Ortsraum an und wir verwenden die Parametrisierung:


sin ϑ cos ϕ
~ =  sin ϑ sin ϕ 
Ω
cos ϑ
Die zu erfüllende Eigenwertgleichung lautet somit:
~ ·Ω
~ |Ω,
~ ±i = ± ~ |Ω,
~ ±i
S
2
⇔
16
~ |Ω,
~ ±i = ± |Ω,
~ ±i
~σ · Ω
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Es liegt nun nahe, beliebige Eigenzustände mittels Drehungen zu generieren, wobei
wir die Basis {|+i , |−i} des Spinorraums C2 festhalten. Allgemein wird durch Angabe
einer (normierten) Richtung ~n mit einem Winkel ϑ eine Drehung im Ortsraum vollständig festgelegt. Dies übersetzt sich in eine entsprechende Drehung im Spinorraum,
wo Drehungen Elemente der SU (2) sind und analog zum SO(3)-Fall (Drehungen im
Ortsraum, siehe (4)!) wie folgt parametrisiert werden6
~
θ
θ
D~n (θ) = e−i ~ ~n·S = e−i 2 ~n·~σ
Starten wir am Nord- oder Südpol (festgelegt durch unsere ursprüngliche Quantisierungsachse, also die z -Achse), so können wir mit einer Drehung um die z -Achse um den
Winkel ϕ und einer anschlieÿenden Drehung um die y -Achse um den Winkel θ jeden
Punkt auf der Oberäche der Einheitssphäre erreichen.
~ .
Das übersetzt sich im Spinorraum zu einer unitären Drehmatrix Dz (ϕ)·Dy (θ) =: D(Ω)
Damit können wir die Lösung formulieren:
Satz 8
Die Eigenzustände eines Spin- 21 Teilchens in einer beliebigen Raumrichtung
(Winkel θ und ϕ) sind gegeben durch:
~ ±i = D(Ω)
~ |±i
|Ω,
mit der unitären 2 × 2-Drehmatrix:
~ =
D(Ω)
cos
sin
ϕ
θ
e−i 2
2
ϕ
θ
e+i 2
2
ϕ
− sin 2θ e−i 2
ϕ
cos 2θ e+i 2
Alternativ kann das Resultat durch Einsetzen in die Eigenwertgleichung auch einfach
nachgerechnet werden.
Wir fassen zusammen: Drehen wir im Ortsraum die Quantisierungsachse (in dem
wir z.B. die Richtung des Gradienten des inhomogenen Magnetfeldes im SternGerlach-Experiment verändern, so müssen wir gleichzeitig eine Drehung im Spinorraum ausführen, um die korrekten Eigenzustände der Spinprojektion bzgl. der
neuen Achse zu erhalten.
4.3.3 Das Stern-Gerlach-Experiment
~
Das magnetische Moment eines geladenen Teilchens der Masse m mit Drehimpuls L
beträgt klassisch:
µ
~≡
~
eL
2mc
6 Es
gibt jedoch einen wichtigen Unterschied: SO(3)-Rotationen um 2π lassen die Wellenfunktion
invariant. SU (2)-Rotationen um 2π transformieren |αi → − |αi. Erst eine Rotation um 4π lässt
einen Spinor invariant! Dies liegt darin begründet, dass SO(3) und SU (2) nicht isomorph zueinander sind. (Es gilt für die Lie-Gruppen: SO(3) ∼
= SU (2)/Z2 . Für die zugehörigen Lie-Algebren
jedoch gilt die Isomorphie: so(3) ∼
= su(2)!)
17
Drehimpuls, Spin und H-Atom
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Die potentielle Energie Epot eines Teilchens mit dem magnetischen Moment µ
~ in einem
~ beträgt:
Magnetfeld B
~
−~µ · B
~ ortsabWenn wir ein inhomogenes Magnetfeld annehmen, wird das Potential −~µ · B
hängig. Durch solch ein inhomogenes Magnetfeld schicken wir nun einen Strahl aus
Silberatomen :
Eine Wechselwirkung der Atome mit dem Magnetfeld kann nun entweder durch das
magnetische Moment des Kerns, oder das der Elektronen geschehen. Das magnetische
Moment des Kerns ist aber vernachlässigbar da er viel schwerer ist als die Elektronen
und die Masse im Nenner das magnetische Moment sehr klein werden lässt. Von den
Elektronen spielt nur das 5s-Elektron eine Rolle. Die Momente der restlichen Elektronen heben sich gerade auf (abgeschlossene Schalen/Orbitale tragen nicht zu den
Quantenzahlen des Atoms bei!). Für die Quantenzahl l der 5s-Elektronen gilt aber
l = 0 und sie besitzen somit keinen Bahndrehimpuls!
Klassisch würden wir erwarten, dass das magnetische Moment der Elektronen deshalb
null ist und der Strahl somit geradlinig durch unser Magnetfeld iegt. Allerdings wird
gerade dies nicht beobachtet!
Die beobachteten 2 diskreten Werte von µz können durch Einführung eines intrinsischen halbzahligen Eigendrehimpulses, dem Spin, erklärt werden. Dieser ist ebenfalls
mit einem magnetischen Moment verknüpft und koppelt somit an das Magnetfeld. Der
Spin besitzt kein klassisches Analogon und ist somit ein komplett neues Quantenphänomen.
4.4 Addition von Drehimpulsen
Zum Schluss werden wir die Addition (Kopplung) von Drehimpulsen kurz skizzieren.
Dies ist wichtig, da z.B. Elektronen in Atomen sowohl einen Bahndrehimpuls als auch
einen Spin besitzen.
Betrachten wir nun zwei beliebige Drehimpulse J~1 und J~2 (und damit zwei verschiedene Hilberträume) mit ihren jeweiligen Eigenzuständen |ji , mi i, i = 1, 2. Denieren wir
nun einen Gesamtdrehimpuls J~ = J~1 + J~2 so kann der dazugehörige Gesamthilbertraum
durch die Produktzustände |j1 , m1 i ⊗ |j2 , m2 i aufgespannt werden7 . Da J~1 und J~2 vertauschbar sind, erfüllt der so denierte Gesamtdrehimpuls J~ die Drehimpulsalgebra,
d.h. [Ji , Jj ] = ijk i~Jk (so wie es sein sollte!).
Damit sind die möglichen Eigenwerte von J~2 und Jz bereits festgelegt. Gesucht sind
noch die zugehörigen Eigenzustände, ausgedrückt in der oben erwähnten Produktbasis.
Es kann nun gezeigt werden, dass insgesamt J~2 , Jz , J~12 und J~22 untereinander kommutieren. Deshalb identizieren wir die Eigenzustände mit |j1 , j2 , j, mi. Es muss an dieser
Stelle betont werden, dass m1z und m2z im Allgemeinen keine guten Quantenzahlen
mehr sind!
zugrunde liegende Struktur ist als Tensorraum bekannt. Die Vorlesung erlaubt aus Zeitgründen
jedoch nicht hierauf tiefer einzugehen. Auftretende Fragen können hierzu gerne in den Übungen
gestellt werden.
7 Die
18
Drehimpuls, Spin und H-Atom
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Ein wesentliches Resultat ist nun, dass für gegebene j1 und j2 für den Gesamtdrehimpuls die Werte |j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2 möglich sind und wie erwartet gilt auch
m ∈ {−j, . . . , j}.
Beispiel 2
Kopplung zweier
1
-Spins
2
zu Singlet (S = 0) und Triplet (S = 1):
Hier liegt es nahe, den Gesamtdrehimpuls als Gesamtspin S~ = S~1 + S~2 zu bezeichnen. In knapper aber übersichtlicher Notation |S, mS i erhalten wir:
S = 0 Singlet :
S = 1 Triplet :
1
|0, 0i = √ (|+, −i − |−, +i)
2
|1, 1i = |+, +i
1
|1, 0i = √ (|+, −i + |−, +i)
2
|1, −1i = |−, −i
Dabei ist zu erkennen, dass der Singlet-Zustand antisymmetrisch und die TripletZustände symmetrisch sind.
19
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Beispiel 3
Kopplung von Spin- 12 und Drehimpuls:
Wir schreiben die Spineigenzustande als:
1 1
|s, ms i = | , ± i
2 2
mit:
~ 2 | 1 , ± 1 i = ~2 3 | 1 , ± 1 i
S
2 2
4 2 2
~ 1 1
1 1
Sz | , ± i = ± | , ± i
2 2
2 2 2
Der Produktzustand aus Ort und Spin, sowie die Wellenfunktion ist dann gegeben
durch:
1 1
1 1
|~xi ⊗ | , ± i = |~x; , ± i
2 2
2 2
1 1
ψ± (~x) = h~x; , ± |ψi
2 2
X
1 1
1 1
1 1
=
h~x; , ± |n; l, m; , ± i hn; l, m; , ± |ψi
2 2
2 2
2 2
n,l,m
X
1 1
ψn,l,m (~x) hn; l, m; , ± |ψi
=
2 2
n,l,m
Nun entwickeln wir hier in einer physikalisch ungünstigen Basis (|l, m; s, ms i).
Sinnvoll wäre eine Entwicklung in der Basis |j, mj , l, si. Die beim Basiswechsel
auftretenden Entwicklungskoezienten
hl, m; s, ms |j, mj , l, si
nennt man Clebsch-Gordan Koezienten. Sie können - je nach Problem mit mehr
oder weniger Aufwand - berechnet werden und sind für praktische Anwendungen
tabelliert.
20