,,Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie” 6.¨Ubungsblatt

Institut für Angewandte Mathematik
WS 2011/12
Prof. Patrik Ferrari, Dr. Sebastian Andres
,,Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie”
6. Übungsblatt
Abgabe bis Dienstag 29.11.2011 in der Vorlesungspause
Aufgabe 1
Sei A eine symmetrisch positiv definite N × N Matrix. Sei p : RN → R durch
!
N
1X
1
exp −
xi A−1
p(x1 , . . . , xN ) =
i,j xj
ZN
2 i,j=1
[5 Pkt ]
definiert, mit ZN ∈ R, und sei P das Maß auf RN mit Dichte p (bezüglich des Lebesgue
Maßes).
1. Zeigen Sie, dass für geeignete ZN das Maß P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf RN ist,
und berechnen Sie die entsprechenden Werte ZN .
2. Zeigen Sie, dass für alle endlichen m und (i1 , . . . , im ) ⊂ {1, . . . , N }m , gilt:
!  X
m

E(xiσ(1) xiσ(2) ) · · · E(xiσ(m−1) xiσ(m) ), falls m ∈ 2N,
Y
E
xi k =
σ
 0,
falls m ∈ 2N − 1,
k=1
wobei E(xi xj ) = A−1
i,j . Die Summe wird hier gebildet über alle Paarungen von
{1, . . . , m} (d.h. Permutationen σ von {1, . . . , m} mit σ(2i − 1) < σ(2i), σ(2i − 1) <
σ(2i + 1)).
Beispiel m = 4:
E(xi1 xi2 xi3 xi4 ) = E(xi1 xi2 )E(xi3 xi4 ) + E(xi1 xi3 )E(xi2 xi4 ) + E(xi1 xi4 )E(xi2 xi3 ).
Hinweis zu Punkt 1: Diagonalisieren Sie die symmetrische Matrix A.
P
Hinweis zu Punkt 2: Berechnen Sie zuerst E(exp( N
i=1 bi xi )) und dann die Ableitungen
hiervon bzgl. der Komponenten von b. Betrachten Sie dann den Grenzwert b → 0.
Der Erwartungswert berechnet sich in dieser Situation wie folgt:
Z
E[f (x1 , . . . , xN )] =
f (x1 , . . . , xN )p(x1 , . . . , xN ) dx1 . . . , dxN .
RN
1
Aufgabe 2
[3 Pkt ]
X und Y seien zwei unabhängige Zufallsvariablen. Das Wahrscheinlichkeitsmaß von X sei
absolut stetig und das von Y diskret. Zeigen Sie, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß von
X + Y absolut stetig ist.
Aufgabe 3
[4 Pkt ]
PN
Seien Xi i.i.d. Zufallsvariablen mit P (Xi = 1) = p = 1−P (Xi = −1). Es sei SN = i=1 Xi .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit
P ({inf{n : Sn = −100} < inf{n : Sn = 100}}).
Hinweis: Betrachten Sie zuerst das Problem Sn = Sn−1 + Xn mit S0 = x. Man definiert
h(x) = P ({inf{n : Sn = −100} < inf{n : Sn = 100}}|S0 = x) mit Randbedingungen h(−100) =
1 und h(100) = 0. Zum Lösen benutzt man eine rekursive Gleichung für g(x) := h(x +
1) − h(x).
Aufgabe 4
Die Dichte der Cauchy Verteilung mit Parameter u > 0 ist gegeben durch
cu (x) =
π(u2
u
,
+ x2 )
[3 Pkt ]
x ∈ R.
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichte cu .
Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable (X1 + · · · + Xn )/n dieselbe Dichte hat.
Hinweis: Sie können ohne Beweis verwenden, dass cu ∗ cv = cu+v für alle u, v > 0 gilt.
Aufgabe 5
[5 Pkt ]
1. Es seien X und Y unabhängige standard normalverteilte (d.h. Gauss verteilt mit
Parametern m = 0 und σ 2 = 1) Zufallsvariablen. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable
(
X
: Y 6= 0
Z= Y
0 :Y =0
Cauchy verteilt mit Parameter 1 ist.
2. Es sei U eine auf (− π2 , π2 ) gleichverteilte Zufallsvariable. Zeigen Sie, dass tan(U )
Cauchy verteilt mit Parameter 1 ist.
2