Diskrete Mathematik für Informatiker, WS12/13

Fakultät IV ¨ Mathematik
Hannes Diener
Diskrete Mathematik für Informatiker, WS12/13
Übungsblatt 5, Besprechung in den Übungen vom 21.–27. Nov.
Aufgabe 1 (Schubfachprinzip - knifflig). Auf einem 5 ˆ 5 Schachbrett befindet sich in jedem Quadrat
ein Floh. Irgendwann springt jeder dieser Flöhe gleichzeitig in ein benachbartes (links, rechts, oben,
unten) Feld. Ist es möglich, daß wieder in jedem Feld genau ein Floh sitzt?
Aufgabe 2 (Schubfachprinzip). Beweisen Sie: Unter 51 der Zahlen von 1 bis 100 gibt es zwei aufeinanderfolgende.
Aufgabe 3 (Schubfachprinzip). Seien px1 , y1 q, . . . , px5 , y5 q P Z2 fünf Punkte in der Ebene mit ganzen
Zahlen als Eckpunkten. Zeigen Sie, daß der Mittelpunkt von zumindest zweien dieser Punkte wieder
ganze Zahlen als Eckpunkte hat.
b`d
(Der Mittelpunkt zwischen zwei Punkten pa, bq und pc, dq ist der Punkt p a`c
2 , 2 q).
Aufgabe 4. Sei R die Relation aus Aufgabe 6 ÜB 4 und T der transitive, reflexive und symmetrische
Abschluss (in dieser Reihenfolge).
Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von T .
Wiederholen Sie ausserdem die Aufgabe mit
R “ tpa, bq, pb, aq, pc, aq, pd, equ .
Aufgabe 5. Welche der folgenden Mengenfamilien sind Partitionen von A “ t1, 2, 3, 4u?
(a) tt1, 2u, t3uu
(b) tt1, 2u, t2, 3u, t4uu
(c) tt1, 2u, t3, 4u, Hu
(d) tt1, 3u, t2, 4u
Wie sieht die zugehörige Äquivalenzrelation aus?
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Aufgabe 6. Was bedeutet:
(a) nicht injektiv
(b) nicht surjektiv
(c) nicht bijektiv
Aufgabe 7. Zeigen Sie Teile 5 und 6 von Satz 3.6.
Aufgabe 8. In der Vorlesung haben wir durch ein Beispiel gesehen, daß für eine Funktion f : M Ñ N
und A, B Ď M im allgemeinen nicht gilt, daß
f pAq X f pBq Ď f pA X Bq .
Zeigen Sie, daß diese Inklusion jedoch gilt wenn f injektiv ist.
ENDE
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