Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

Fachwissenschaftliches Seminar
zur Zahlentheorie
Vortragsunterlagen zu:
„Schubfachprinzip und Dirichlets Approximationssatz“
Das Schubfachprinzip von Dirichlet, auch bekannt unter dem Namen Taubenschlagprinzip, besagt in seiner einfachsten Form: Sitzen n + 1 Tauben in n Taubenschlägen, so
befinden sich in mindestens einem Taubenschlag mindestens zwei Tauben. Dieses simple
kombinatorische Argument hat vielfältigste Anwendungen in der Mathematik. Wir zeigen damit eine Aussage über die Approximierbarkeit von Irrationalzahlen mit Hilfe von
Brüchen.
SchubfachPrinziP
und doppeltesAbzählen
Prinzipicn,so wie die beidenim Titel diesesKapiManchcmathematische
classman denkenkönnte,sie würdennur ebenso
tels.sinclso oll'ensichtlich.
ofl'ensichtlicheResultatenach sich ziehen.Um die Leser zu übetzeugen,
dasscliesnicht immer der Fall sein muss,illustrierenwir dieseMethoden
mit einigenBeispiclen,clielaut Paul Erd6sunbedingtin das BUCH aufwerden sollten.Wir werden diesenMethodenauch noch in
_qenommen
weiterenKapitclnbegegnen.
SchubfachprinziP.
Werclenrt Objekte in y Fächer gegeben,wobei r
enthiilt nrintlestenseinesclerFcichermehr als einesder Objekte.
In der Spracheder Abbildungenliest
ol-fensichtlich.
Das ist nun tarsaichlich
sichdasPrinzrpwie folgt: Sind l/ r.rnd-Rzwei endlicheMengenmit
'r:
] A " l: t t >
ll?1,
- t
--------+
1?eine Abbildung,clanngibt es ein a e A mit I.f (t')l
r-rncl
/: $
es existiertein a
Wir könnendicseUngleichungsofort verschärf-en:
mit
lf
r(")l-
| r' I
( 1)
t( ,r) l
W e nn nic h t, c l a n nw ür d. l/
, a s a bs u r dis t .
n : t 1. / - t ( , r) l < ,' , " : ?r 'w
uelf
1.Zahlen
Behuupttutg.Wir betruchtendie Zahlen L,2, . . . ,'2'n und nehmen
rt I L vrtn ihnen' Donn gibt es unter clen n * 1
irgenrltt'ek'he
inmter :v'ei, die keinengemeinsnmen Teiler
Zuhlen
trLt.vsex'tiltlten
Itubert.
ist nahezuoffensichtlich.Es muss ja schliefJlichzwei
Auch cliescAussa-ee
und diese müssen dann
Zal'len geben.die sich nur um 1 unterscheiden,
r ela ti vpr i m s c in .
Nu n dr e hc nw ir di e Be d in g un gh er u m.
Mehr objekte als Fächer
Schubfachprinzip und doppeltes Abz,cihlen
Behattptung.Nehmenv;ir yviecler
eineMengeA c {7,2. . . . ,2r}
'rL
:
rnit lAl
* I. Dann gibt es immer ztveiZuhlen in A, so cluss
eine die andereteilt.
Das ist nun keineswegsmehr klar. Wie Erd6suns erzählte,stellteer dieses
Problemdem jungcn Lajos PoSawährendeinesAbendessens,
unclals das
Essenbeendetwar, hatteLajos die Antwort. Das Problemblieb zeit seincs
Lebenseine der Lieblings-,Jnitiations"-Fragen
von Erd6s. Die (positive)
gclicl'crt.Man schreibe
Antwort wird wieder durch das Schubt'achprinzip
Bcide Ergcbnisscblcibcn nicht richtig, jedeZahl a € ,4 in der Form a : 2knt, wobei rri eine ungeradeZahl
wenn /l * 1 dLrrchn ersetztwird: Dazwischen1 und 2rt - 1 ist. Da es n * 1 Zah\en in Ä gibt, aber nllr n
z u b e t r a c h tm
c a n { 2 , , 1 . 6 .. . . , 2 n . } b z w . verschiedene
ungeradeAntcile, müssenzwei der Zahlenvon Ä clenselhen
1
.
r
t
l
'
2
.
.
.
.
.
'
2
r
}
.
ungeraden
Anteil
haben.Also ist eineein Vielfachesder anderen.
I
{nf
3. Summen
Paul Erd6s schreibt die folgende eleganteAnwcndung des SchubfachprinzipsAndrew Vdzsonyiund Marta Svedzu:
Zohlen (t'tt ' . . , (rn.,clienicht
Behauptung. Gegeben'seienTLgcLnze
Dann gibt e.simmer einenAbschnittt'on
verschiedensein rnüs,sen.
atLfeinander
folgenclenZohlen ok+r, (lk 12,. , a'{, clerenSttttune
von rt i'st'
Ii:ou , ai ein VielfcLches
Z u m B e w e i ss e t z e nw i r l / : { 0 , o y , a v* a ' 2 , . . , o r I u z l . . . + r r , }, , u n d
-- 'R,
A : {0,1, . . . jn, - 1}. Wir betrachtennun die Abbildung ,f : l/
bei der f (r")jeweils der Rcst von n? bei Division durch n ist. Aus lA | :
n * 7 ) r L: l Ä l f o l g t ,d a s s e sz w e iS u m f i l e or 1 + . ' . t a k , a , r* . . ' t a r
(k < l) mit dentselbenRest gibt, wobei die erstc Summe auch die leere
haben.Also hat
Summeseinkann,die wir mit 0 bezeichnet
(.
(.
t/ L ( t ; : f , , .
rl:4.* L
bei Division durchn den Rest0 -
i,:7
A
\ - , ., " ,
/
.;-1
EndedesBeweises'
T
Nun wenden wir uns dem zweiten Prinzip zü: Doppeltes Abzählen.
Darunter verstehen wir das Folgende.
DoppeltesAbzählen.
Angenommen,wir haben zwei endlicheMengen R und C gegeben
Lmdei n eTei l mengSe C R x C .l mnt€r w* €fttt(p ,q)€ ,S i sr,clan rt
sagenvvit classp und c1inzident sind.
Wennyvir rnit r'r,die AnZ,ohlder Elementebezeichnen,die At'1t€ R.
inziclentsincl,untl co die Anzahl der Elemente,die z.uq € C inz,ident
sintl,so gilt
L,'r:
p €R
l s l: D q .
qec
(3)
cltprinzip und doppeltesAbzöhlen
Schtrbfa
lVieder gibt es fast nichts zu bcweisen.Die erste Summe klassifiziertdie
Paarein ,5 gemäßder erstenKoordinate,währenddie zweite Summe dieselbenPaarenachder zweitenKoordinateeingruppiert.
Es ist sehrnätzlich. die Menge ,5 mit einer Matrix darzustellen.Dafür bevon,S, wobej die
(apq),die Inziclenzmatrix
trachtetrnan die Matrix A:
J?
r-rnd
von
C indiziert werElemente
die
von
,4
durch
Zetlenund Spalten
den .m it
fa ll s (p ,,/ ) € S
li
Qpq:
\
lu
^
fa1ls(p, q) e S.
Mit clieselDarstellungsehenwir sofort,dassr, die Summederp-tenZelle
von -.1ist, und c..,die Summe der q-ten Spalte.Mit anderenWorten, die
ersreSummein (3) addiertdie Einträgevon A (zähltalsodie Elcmentein .9)
zeilenweise,und die zweite Summe zähltdieselbenElementespaltenweise.
klar machcn.Es sei It :
Das folgendeBeispielsolltedieseKorrespondenz
C l : { L 2 , . . . . 8 } u n d S : { ( l , j ) , i t e i l t i } . A u f d i e s eW e i s ee r h a l t e n
haben.
wir clieMatrix am Rand,wobei wir nur die Einseneingezeichnet
163
+B
Kapitel 7
Diophantische Approximation
und Kettenbrüche
Die diophantische Approximation beschäftigt sich mit der Lösbarkeit von diophantischen Ungleichungen, d.h.
Ungleichungen in ganzzahligen Variablen bzw. Unbekannten. Ein grundlegendes Resultat dieses Gebiets
starnnrt von Dirichlet (1842).
Lu Folgeudensei p nicht mehr prim.
Satz7.L (7.L)
S e i e nr v € l R u n d Q € R r t . D a n n g i b t e s p , q €Z n t i t ( p , q ) : 1 ,
1
t p t-
l"
0 <q<
1
b z \ vl 1 q , l .
tl. ,e
Q und
O
Beweis
Ist die Ungleichung überhaupt lösbar, so erst recht mit (p,q) : 1. Wir setzen zuerst Q € N voraus. Betracht e d i e Q * 1 Z a h l e n0 , r c v r , { 2 a } , { 3 c r } , . . , { Q o } ( w o b e i t a r :
c r - t c y t i s t ) , a l l ei m I n t e r v a l l1 0 , 1 .1
U n t e r t e i l e 1 0 , 1 1i n Q T e i l i n t e r v a l l e
2
,
s
o
wie
ttt Tauben in 10 Taubenhäu,
[a,f ) ,r:O,...,Q
[f,,t]
schen). Nach Dirichlets Schubfachprinzip (Taubenscbiagprinzip) liegen in mindestens einem Teilintervall zwei
der Q * 1 Zahlen. Die Differenz dieser beiden Zahlen (in der richtigen Reihenfolge) hat offenbar die Fornr
qe p fürein 0<q<Q
u n d g e e i g n e t eps ( { k a l - { l o } = ( k - l ) a - ( l k a l
llq))::qa -p) und erftillen außerden
1
lqn_pt<
e.
Für Q € IR>r \N beliebig lielbrt die obige Uberlegung Init [8] +1 anstelle von Q das Gewünschte, denn aus
(da q e Z) und aus
0<q<[Q]*1
lblgt 0<q<Q
pl
I
I
l^-tl 's(tot-1)
folgt
pl
I
I
!
l" il' oq
Als I{orollar ergibt sich ...
Satz 7.2 (7.2) (Dirichletscher Approximationssatz)
S e i c v €R \ Q .
D a n n g i b t e s u n e n d l i c hv i e l e f , € Q r n i t 1 p , q ; - 1 , q > 0
I
I
t)t
und
l" cl'V
Beweis
p,q mit (p,(t>:1,0<g<Q
S e i Q > 1 b e l i e b i gN. a c hS a t z7 . 1e x i s t i e r e n
l"
I
Welien a / tQ ist lo-#l
> 0
2 1. 1 . ] 1 1 .
ql
qtt
Hieraus folgt l(!q-
q'
1ö,"ung;.
pl> 0. Defiruere
q :- -_1-
> 1.
taq pl
Nach Satz 7.1 existieren p1,q1mit (4,4r ) - 1, 0 < qr < Q und
und
I
Pr|
ln -"1(
{rl
|
1
|
^ <lo--l
QtQt I
Pl
gl
.
also ist
lL=?(2.Losung).
Qtq
Induktiv
T
erhalten tr,'it unendlich viele Lösungen'
Bemerkung 7.3
(i) Der diricirletsche Approximation ssaLz(7.2) ga.rantiert Näherungen an eine gegebene Zahl cv, die viel genauer sind als wir es z.B. von Dezima,lzahlnäherungen erwarten können:
1
^ 5 -:oool" roool tooö6
I
-
31411
Nach Dirichlet existiert ein NZiJrerungsbruchvon ?r mit Nenner unterhalb 1000 derart, dass der Fehler
höchsiens 10 " ist.
(ii) Fär o e Q gilt Satz 7 2 nlcht, wir haben sogar:
d €Q + e s g i b t n u r e n d l i c hv i e l e - t s r ü c h e? = c r m i t l a - i lqt Il ' q '
s
I
denn sei cv : f. Für { = rv folgt
o'1.aL"o-?l t >
o < l " - zq ll -lon,
l,'
:o q +
ql
qbq
|
I
I
|
für q 2 b. Ftir q < b existieren aber nur endlich viele geeignete Zählet p
Bemerkung 7.4
Satz 7.2 ist fiir rationales a falsch.