Referent: Arnold Weiler (WiMa) Thema: Schubfachprinzip

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Thema: Schubfachprinzip
Das Schubfachprinzip (Dirichletsches Schubfachprinzip)
(von Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), 1863 veröffentlicht)
Als erstes zwei ganz einfache Beispiele, um die Einfachheit des Prinzips zu zeigen und die
allgemeine Formel daraus zu erkennen.
1.) Unter drei Personen sind mindestens zwei vom gleichen Geschlecht.
2.) Unter (mindestens) 13 Personen haben mindestens zwei im gleichen Monat
Geburtstag.
Satz: Werden n+1 Perlen auf n Schubfächer verteilt, so beinhaltet wenigstens ein Fach mehr
als eine Perle.
Wenn man also den Satz auf die Beispiele oben anwendet, so kann man die zwei Geschlechter
bzw. die 12 Monate als Schubfächer sehen und die Personen als Perlen.
Man sieht hier auch, dass es beides Mal genau eine Person mehr gibt als Fächer.
Am nächsten Beispiel sieht man, dass der Satz etwas erweitert werden muss.
3.) Eine Schule mit 733 Schülern hat mindestens drei Schüler, die am selben Tag
Geburtstag haben (Schaltjahr), denn 2366+1 = 733.
Hier werden wiederum die Tage als Fächer betrachtet.
Erweiterter Satz: Werden kn+1 Perlen auf n Fächer verteilt, so gibt es wenigstens ein
Schubfach mit mehr als k Perlen.
Oder formal ausgedrückt:
Ist f: XY eine Abbildung und gilt |X| > |Y|, so gibt es ein y  Y mit |f 1 (y)|  2.
Für eine Schule mit z.B. 900 Schüler würde dieselbe Aussage wie oben gelten. Erst ab
1099 Schüler könnte man sagen, dass vier am selben Tag Geburtstag haben (3663+1 =
1099).
Die Schwierigkeit ist dabei, grad für später, wenn die schwierigeren Beispiele kommen,
herauszufinden, was die Schubfächer und was die Perlen sind. Erst dann kann man leicht
die Aufgaben beweisen.
Der Beweis dieses Prinzips kann mit einem Widerspruch geführt werden:
Falls das Prinzip nicht stimmt, so ist nach der Verteilung der Perlen in jedem Fach
höchstens eine Perle, was zur Folge hat, dass es höchstens so viele Perlen wie Fächer
gibt. Das gibt aber ein Widerspruch, denn es sind mehr als n Perlen.
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Schubfachprinzip mit Hilfe von Graphen:
4.) In jedem Graphen existieren immer zwei Knoten mit dem gleichen Grad (Anzahl der vom
Punkt ausgehenden Kanten zu anderen Punkten).
Lösung: Wir haben n Knoten und nehmen n Schubfächer an, gekennzeichnet mit den Zahlen
0 bis n-1, die den Grad des Knotens angeben. Wenn man die Knoten auf die Fächer
verteilt, merkt man, dass es nur n-1 Fächer geben kann, denn es gibt keinen Knoten
vom Grad 0 und gleichzeitig vom Grad n-1. Damit sind immer zwei Knoten vom
gleichen Grad.
n 1
.
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Zeigen Sie, dass G zusammenhängend (für jedes Paar von Knoten existiert ein Kantenzug)
ist.
5.) Sei G ein Graph mit n Knoten. Jeder Knoten habe einen Grad von mindestens
Lösung: Betrachten wir die Punkte A und B und nehmen an, dass diese nicht direkt miteinander verbunden sind. Insgesamt gibt es mindestens n-1 Kanten, die von A und B
ausgehen und n-2 andere Knoten. Da es mindestens eine Kante mehr gibt als die von
A und B verschiedenen Punkte, gibt es immer einen Punkt, in den sich zwei Kanten
treffen (Schubfachprinzip) und somit A und B verbinden.
6.) (Ramsey-Problem) Beweisen Sie, dass es unter sechs Menschen entweder drei gibt, die
sich alle gegenseitig kennen, oder drei gibt, die alle einander unbekannt sind.
Vor.: Symmetrie, d.h. A kennt B und B kennt A.
Lösung: Betrachtet man die Person A, von wo aus 5 Kanten (Beziehung zu anderen Person)
zu den anderen Knoten gehen, und die zwei Bekanntheitsgrade (Fächer), so müssen
mindestens 3 Kanten zu einem Bekanntheitsgrad gehören. Wenn jetzt die drei
Personen, die A kennt, sich nicht kennen, folgt die Behauptung, genauso wenn sich
zwei von den dreien kennen.
Satz: Das unendliche Schubfachprinzip besagt, dass wenn man unendlich viele Perlen in
endlich viele Fächer verteilt, dann gibt es mindestens ein Fach, das unendlich viele
Elemente enthält.
7.) Unter 5 Punkten innerhalb eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 2 gibt es stets
zwei, deren Abstand  1 ist. Wie sieht es bei 17 Punkten aus?
Beweis: Man kann das Dreieck in vier gleichgroße gleichseitige Dreiecke verteilen, die dann
eine Seitenlänge von 1 haben. Nach dem Schubfachprinzip sind dann in einem
Dreieck mindestens 2 Punkte mit Abstand  1. Bei 17 Punkten teilt man die 4
Dreiecke wiederum und erhält so 16 gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge 0,5.
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8.) Auf einem 1m x 1m großem Fenster sitzen (willkürlich) 51 Fliegen. Zeigen Sie, dass man
mit einer kreisförmigen Fliegenklappe mit einem Radius von 15cm gleich 3 Fliegen
erschlagen kann.
Lösung: Man kann hier erkennen, dass die Fliegen die Perlen sind und jetzt nur noch die
Anzahl der Fächer errechnet werden muss. Es soll gelten: 51 = 2n+1  n = 25.
Also kann man 25 quadratische Fächer der Größe 20cm x 20cm erhalten. Nach dem
Schubfachprinzip gibt es mindestens ein Quadrat, auf dem mindestens 3 Fliegen
sitzen. Jetzt muss man nur noch nachweisen, dass die Klappe das ganze Quadrat
abdeckt. Da die halbe Diagonale des Quadrats 2 10cm < 14,5cm < Radius
Klappe(15cm), ist das Quadrat abgedeckt.
Deswegen nennt man das Schubfachprinzip auch Taubenschlagprinzip.
Wiederholung zur Restklassenarithmetik
Es gilt n/a = q, Rest r oder n = aq + r mit 0  r  a-1
kurz: n  r (mod a)
Also z.B.: 17  2 (mod 3) und 19  1 (mod 3)
Außerdem gilt dann: 17+19  2+1  3  0 (mod 3)
9.) Von n+1 Zahlen haben sicher zwei davon eine Differenz, die durch n teilbar ist.
Lösung: Man hat dann also n Restklassen (Fächer) und nach dem Schubfachprinzip hat
mindestens eine Restklasse mindestens 2 Zahlen (Perlen).
z.B.: n = 5 mit den Zahlen: 2,6,13,15,19,27
Restklasse:
Zahlen:
0
15
1
6
2
2;27
3
13
4
19
Bei der Restklasse 2 sind hier zwei Zahlen. Nimmt man die Differenz 27-2 = 25, so
ist das Ergebnis durch n = 5 teilbar.
10.) Sei A eine Teilmenge von {1,2,...,32}und enthalte 17 Elemente. Zeige: Es gibt a,b  A
mit a + b = 33.
Lösung: Man unterteilt die Menge in 16 Mengen:{1,32},{2,31},...,{16,17}. Da A 17
Elemente enthält, kommen zwei Elemente aus derselben Menge. Diese ergeben
zusammen 33.
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11.) Sei n eine ungerade Zahl, die nicht durch 5 teilbar ist. Außerdem sei m = a1 ...al eine
beliebige natürliche Zahl. Beweisen Sie, dass es eine Zahl mit der Dezimaldarstellung
a1 ...al a1 ...al ...a1 ...al gibt, die durch n teilbar ist. So gibt es beispielsweise eine Zahl der
Form 3737...37 , die durch n teilbar ist.
Lösung: Betrachten wir die n Zahlen:
N 1 = m, N 2 = a1 ...al a1 ...al = m+10 l m,....., N n = (1+10 l +...+10 ( n 1) l )m
Angenommen, keine von diesen Zahlen ist durch n teilbar. Dann sind bei der
Division durch n nur die Reste 1 bis n-1 möglich. Da eine Zahl mehr als Reste
vorhanden ist, haben mindestens zwei Zahlen denselben Rest und die Differenz der
beiden Zahlen ist durch n teilbar.
N r -N s = 10 sl (1+10 l +...+10 ( r  s 1)l )m = 10
ls
N r s
ls
Da aber 10 und n teilerfremd (s.Vor.) sind, ist somit die Zahl N r  s durch n teilbar.
 Widerspruch
12.) (Satz von Erdös-Szekeres) Sei A = (a 1 ,a 2 ,...,a n ) eine Folge von verschiedenen reellen
Zahlen. Wenn n  sr+1 ist für zwei natürliche Zahlen s und r, dann enthält A entweder
eine steigende Teilfolge mit s+1 Zahlen oder eine fallende Teilfolge mit r+1 Zahlen.
Lösung: Angenommen, es gäbe weder eine steigende Teilfolge mit s+1 Zahlen noch eine
fallende Teilfolge mit r+1 Zahlen. Wir ordnen nun jeder Zahl a j zwei natürliche
Zahlen x j und y j zu, und zwar so, dass x j die Länge der längsten steigenden
Teilfolge ist, die mit der Zahl a j endet, und y j die Länge der längsten fallenden
Teilfolge ist, die mit der Zahl a j anfängt. Nach der obigen Annahme gilt x j  s und
y j  r für jedes j. Die Anzahl n der Zahlen a j ist größer als sr (s.Aufgabenstellung).
Also gibt es zwei Zahlen j und k mit j < k, für die x j = x k und y j = y k ist.
Fall 1: a j < a k : die längste steigende Teilfolge kann um die Zahl a k ergänzt werden.
 x k  x j +1 im Widerspruch zu x k = x j .
Fall 2: a j > a k : entsprechend y k  y j +1
13.) In einem rechtwinkligem Koordinatensystem sitzen in jedem Gitterpunkt außer dem
Ursprung ein Hase. Alle Hasen sind kongruent und sitzen in der gleichen Position
bezüglich der jeweiligen Gitterpunkte. Vom Ursprung aus schießt ein blinder Jäger in
eine willkürliche Richtung. Zeigen Sie, dass stets ein Hase getroffen wird, gleichgültig,
wie klein die Hasen sind.
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Lösung: Sei die Schussbahn mit der Gleichung y = x beschreibbar (die y-Achse durch die
Gleichung nicht beschreibbar, wenn der Schuss aber entlang der y-Achse läuft, wird
der erste Hase getroffen).
Wir betrachten einen Kreis um den Gitterpunkt (m,n)vom Radius , der komplett
innerhalb vom entsprechenden Hasen liegt. Wenn sich der Schussstrahl mit
mindestens einem solchen Kreis schneidet, ist die Aufgabe gelöst.
Hinreichend ist, wenn es ein n  Z und ein m  Z\{0} gibt mit |m-n|< bzw. der
gebrochene Teil {m}< , d.h. | m - [m]| < .
Wir teilen das Intervall [0,1] in M gleiche Intervalle
a a 1
[ ,
] für a = 0,1,2,...,M-1,
M M
1
wobei M  N, für die
<  gilt.
M
Dann berechnen wir für jedes m  {1,2,...,M}den gebrochenen Teil von m und
1
wenn eines dieser gebrochenen Teile ins erste Intervall [0,
] gerät, ist die Aufgabe
M
gelöst, ansonsten kann man annehmen, dass es unter den restlichen M-1 Intervallen
mindestens ein Intervall gibt, in dem zwei Zahlen {m 1 } und {m 2 } mit m 1  m 2
liegen.
Sei 0 < {m 1 }< {m 2 }< 1. Also ist m 1  = n 1 + {m 1 } und m 2  = n 2 + {m 2 }
mit n 1 , n 2  N und es gilt
(m 2 - m 1 ) = (n 2 - n 1 ) + ({m 2 }-{m 1 }).
Daraus schließt man:
{( m 2 - m 1 )} = {m 2 }-{m 1 }< ,
1
damit liegt der gebrochene Teil {( m 2 - m 1 )} im Intervall [0,
]  Widerspruch
M
Quellen: - www.matheplanet.com
- http://www-lti.informatik.rwth-aachen.de/lehre/ExtremalCombinatorics/SS2004/v3ausarbeitung.pdf
- http://www.imosuisse.ch/maturaarbeiten/dreiProblemloesestrategien.pdf
- http://lsgm.uni-leipzig.de/KoSemNet/pdf/graebe-04-6.pdf
- http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/ngg/People/winckler/LSLPages/mathe_ueb03.pdf
- http://www.gutenberg-gym.de/coma/Ergebnisse/das_schubfachprinzip.htm
- http://www.uni-giessen.de/~gc1154/diskrete/edm/Folien/Kap_1_Kombinatorik.pdf
- http://de.wikipedia.org/wiki/Schubfachprinzip
- A.Beutelspacher, M.-A.Zschiegner, Diskrete Mathematik für Einsteiger [4]
- A. Engel, Problem-Solving Strategies, Chapter 4 [6]
- A. Spivak, Das mathematische Fest
- Zeitschrift Mathematische Bildung (2003)
Zum Üben Multiple choice Aufgaben:
http://www.math.uni-hamburg.de/home/cm/lgm/diskret/schubfach.htm
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