Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für

Mathematische Ergänzungen zur
Experimentalphysik für
Maschinenwesen II
Andreas Meier-Koll
Technische Universität München
Lehrstuhl für Experimentalphysik E13
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.1
Komplexe Zahlen
Definition: x, y sind reelle Zahlen
z := (x, y) = x + iy imaginäre Einheit: i
konjungiert komplexe Zahl:
z := x − iy
Betrag:
q
|z| := x2 + y2
Polardarstellung:
z = r(cos (ϕ) + i sin (ϕ))
Normaldarstellung ↔ Polardarstellung
x
=
r cos (ϕ)
y
=
r sin (ϕ)
↔
r
=
tan (ϕ)
=
q
x2 + y2 ;
y
x
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.2
Rechenregeln für komplexe Zahlen
gegeben: z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2
Addition und Subtraktion:
z1 ± z2 := (x1 ± x2 ) + i(y1 ± y2 )
Multiplikation:
z1 · z2
:=
(x1 x2 − y1 y2 ) + i(x2 y1 + x1 y2 )
=
(x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 )
=
(x1 x2 + i2 y1 y2 ) + i(x2 y1 + x1 y2 )
!
⇒ für imaginäre Einheit: i2 = −1
Division:
z1
z1 · z̄2
:=
z2
|z2 |2
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.3
Komplexe Exponenzialfunktion
Definition: z sei komplex
∞
X
z2
z3
zn
z
e :=
=1+z+
+
+ ...
n!
2!
3!
n=0
Rechenregel:
ez 1 +z 2 = ez 1 · ez 2
Ableitung:
d z
e = ez
dz
Was bedeutet ez ?
ez
=
ex+iy = ex · eiy
→
ex : reelle Exponenzialfunktion
→
eiy : beschreibt Drehung in der Gauß’schen Zahlenebene
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.4
Drehung in komplexer Zahlenebene
Warum beschreibt eiϕ eine Drehung?
Eigenschaften eine Drehung:
Drehung um den Winkel α und dann um den
Winkel β liefert dasselbe “Drehergebnis” wie
eine Drehung um den Winkel α + β:
als Formel: D(α) · D(β) = D(α + β)
Eigenschaften von eiϕ :
eiα · eiβ = ei(α+β)
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.5
Infinitesimale Drehung
Was bedeutet z · ei∆ϕ wenn ∆ϕ sehr klein?
→
∆ϕ ≪ 1 ⇒ ei∆ϕ ≈ 1 + i∆ϕ
→
z · ei∆ϕ ≈ (x + iy) · (1 + i∆ϕ)
= (x − y · ∆ϕ) + i(y + x · ∆ϕ)
Weg:
s = z · ei∆ϕ − z ≈ iz∆ϕ
Weglänge:
|s| = |z| |∆ϕ| = |∆ϕ|
|z|=1
Ergebnis:
ei∆ϕ “dreht” die komplexe Zahl z um den infinitesimalen Winkel ∆ϕ gegen den Uhrzeigersinn.
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.6
Finite Drehung und Euler-Formel
Finite Drehung durch Hintereinanderschalten von infinitesimalen Drehungen:
D(ϕ)
=
eiϕ = ein·∆ϕ
=
ei∆ϕ · ei∆ϕ · ei∆ϕ ...ei∆ϕ
{z
}
|
n−mal
Beschreibung von Drehungen mit Winkelfunktionen ⇒ “Euler-Formel”
D(ϕ) = cos (ϕ) + i sin (ϕ) = eiϕ
Anwendungen:
Darstellung von Sinus und Kosinus durch komplexe Exponenzialfunktion:
1
1
(eiϕ − e−iϕ )
cos (ϕ) = 2
(eiϕ + e−iϕ )
sin (ϕ) = 2i
Berechnung von Schwingungsgleichungen
Additionstheoreme für Sinus und Kosinus
...
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.7
Kurvenintegral (1)
Motivation:
Ein Körper bewegt sich auf einer Bahn von
~ (~
A nach B in einem Kraftfeld F
r). Wie groß
ist die Arbeit?
Vorgehen:
Zerlegen Weg C in kleine Teilstrecken:
Berechnen Arbeit für jede Teilstrecke:
~i · ∆s~i
∆Wi = F
Addieren Arbeitsbeträge aller Teilstrecken
n
n
X
X
~i · ∆s~i
W ≈
∆Wi =
F
i=1
i=1
Wählen feinere Zerlegung des Weges:
n
X
~i · ∆s~i
W = lim
F
n→∞
i=1
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.8
Kurvenintegral (2)
~ (~
Definition: Geben ist das Vektorfeld F
s) und der Weg C
Kurvenintegral:
Z
n
X
~ · d~
~ (s~i ) · ∆s~i
F
s := lim
F
n→∞
C
i=1
Berechnung:
~=s
~(x) mit Startpunkt s
~(a); Endpunkt s
~(b)
Parametrisierung: s
Z
~ · d~
F
s=
C
Z
b
a
s(x)
~ (x) · ∂~
F
dx
∂x
~ zeigt in Richtung des Weges C und |F
~ | = F = konst
“einfach”: Fall F
(Weglänge: LWeg )
Z
~ · d~
F
s = F · LWeg
C
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.9
geschlossenes Kurvenintegral
Definition: geschlossenes Kurvenintegral (“Zirkulation”)
I
~ · d~
~ entlang C
F
s = “Zirkulation” des Feldes F
C
geschlossener Weg schließt Flächengebiet A ein.
~ gegen den Uhrzeigersinn
Konvention: Weg umläuft Flächennormalen dA
(Linkskurve).
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.10
Flächenintegral (1)
Motivation:
~ (~
Gegeben ist ein Strömungsfeld F
r). Wie
groß ist der Fluß Φ durch eine beliebig geformte Querschnittsfläche A?
Vorgehen:
Zerlegen Fläche A in kleine Teilflächen und berechnen den Fluß durch Teilflächen:
~i · ∆A
~i
∆Φi = F
Addieren Teilflüsse durch alle Teilflächen
n
X
~i · ∆A
~i
F
Φ≈
i=1
Wählen feinere Zerlegung der Oberfläche:
n
X
~i · ∆A
~i
F
Φ = lim
n→∞
i=1
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.11
Flächenintegral (2)
~ (~
Gegeben Vektorfeld F
r) und Fläche A.
Definition Flächenintegral:
Z
~ · dA
~ := lim
F
n→∞
A
n
X
~i · ∆A
~i
F
i=1
Berechnung
Parametrisierung → Doppelintegral:
Z
A
~ · dA
~=
F
Z
y2
y1
Z
x2
Fnormal (x, y) geo(x, y) dx dy
x1
Bsp: Kugelkoordinaten: geo(θ, ϕ) dϕ dθ = r2 sin(θ) dϕ dθ
~ steht senkrecht auf der Oberfläche und F = |F
~ | = konst
“einfach”: F
Z
~ · dA
~ =F ·A
F
A
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.12
geschlossenes Flächenintegral
geschlossenes Oberflächenintegral:
I
~ · dA
~ = geschlossenes Flächenintegral des Feldes F
~ durch die Oberfläche A
F
A
geschlossene Fläche A schließt Volumengebiet ein
Konvention:
~ zeigt aus dem Volumengebiet heraus.
Flächennormale dA
Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik für Maschinenwesen II – p.13