Reiter`s Default Logik - informatik.uni

Reiter‘s Default Logik
Ein Problem:
Quäker sind normalerweise Pazifisten.
Republikaner sind normalerweise keine Pazifisten.
Nixon ist Quäker und Republikaner.
Ist Nixon Pazifist?
Es kann verschiedene "akzeptable" Mengen von Überzeugungen
geben, die durch die Default-Information gestützt werden
Reiter nennt diese Mengen EXTENSIONEN
mögliche Sichtweisen:
• jede Extension für sich genommen ist interessant, oder
• nur was in allen Extensionen gilt
G.Brewka
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Wissensbasierte Systeme
Default-Theorien
Default-Theorie: Paar (D,W).
W: Menge von Formeln 1. Stufe (sicheres Wissen)
D: Menge von "Inferenzregeln" (Defaults) der Form:
A:B1, ..., Bn/C
äquivalente
Notation:
A:B1, ..., Bn
C
intuitive Bedeutung: wenn A ableitbar, alle ¬Bi nicht, dann leite C ab.
Default-Theorien generieren
Extensionen:
D
E2
E1
G.Brewka
W
E3
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Wissensbasierte Systeme
Erwünschte Eigenschaften von Extensionen
Eine Extension E
1) soll W enthalten,
2) soll (klassisch) deduktiv abgeschlossen sein,
3) anwendbare Defaults sollen angewendet worden sein,
d.h.: A:B/C ∈ D, A ∈ E, ¬B ∉ E impliziert C in E,
4) soll keine "unbegründeten" Formeln enthalten, d.h. für jedes p
∈ E gibt es einen gültigen Default-Beweis
Extensionen nicht definierbar als minimale Mengen, die 1), 2), 3) erfüllen!
==> Reiter's Fixpunktkonstruktion
G.Brewka
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Wissensbasierte Systeme
Definition von Extensionen: 1. Versuch
Extensionen als minimale Mengen, die 1), 2), 3) erfüllen?
Gegenbeispiel:
1) Wiener:Trinkt-Wein/Trinkt-Wein
2) Wiener
Th({Wiener, ¬Trinkt-Wein})
enthält W,
deduktiv abgeschlossen,
anwendbare Defaults angewendet,
minimal
Notation:
Th(S) bezeichnet die Menge
der klassischen Theoreme von S
aber: ¬Trinkt-Wein unbegründet
Andere Definition der Extensionen nötig!
G.Brewka
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Wissensbasierte Systeme
DL Extensionen
Kandidaten werden Test unterworfen:
S --> S'
S' kleinste Menge, die 1), 2), 3) erfüllt,
Konsistenztest in 3) bzgl. S durchgeführt.
S besteht Test wenn es sich reproduziert.
Beispiel:
G.Brewka
Th({Wiener, ¬Trinkt-Wein})
-->
Th({Wiener})
Th({Wiener, Trinkt-Wein})
-->
Th({Wiener, Trinkt-Wein})
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Wissensbasierte Systeme
Reiters Fixpunktkonstruktion
Sei (D,W) eine Default-Theorie, S eine Menge von Formeln.
Γ(S) ist die kleinste Menge, für die gilt:
1) W ⊆ Γ(S)
2) Γ(S) = Th(Γ
Γ(S))
3) wenn a:b1,...,bn/c ∈ D, a ∈ Γ(S), ¬bi ∉ S, dann c ∈ Γ(S)
Γ
S ist Extension von (D,W) gdw. Γ(S) =S
äquivalente Definition
Sei (D,W) eine Default-Theorie, E eine Menge von Formeln. Definiere
eine Folge von Formelmengen E0, E1, ... wie folgt:
E0 = W
Ei+1 = Th(Ei) ∪ {c | a:b1,...,bn/c ∈ D, a ∈ Ei, ¬bi ∉ E}
E ist Extension von (D,W) gdw E = ∪ Ei
G.Brewka
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Wissensbasierte Systeme
Charakterisierung mittels Default Beweisen:
Sei (D,W) eine Default-Theorie. Ein Default-Beweis für p ist eine Folge
d1, d2, ..., dn von Defaults aus D, so daß
1. W ∪ {cons(d1), ..., cons(di-1)} |- pre(di) für 0 < i ≤ n,
2. W ∪ {cons(d1), ..., cons(dn)} |- p
Ein Default-Beweis ist gültig bzgl. einer Menge von Formeln E gdw.
E konsistent ist mit jeder Konsistenzbedingung eines Defaults im Def.-Beweis
E ist Extension von (D,W) gdw. E deduktiv abgeschlossene Obermenge von W
ist und es gilt:
1. A:B1, ..., Bn/C ∈ D, A ∈ E, ¬Bi ∉ E (für 1 ≤ i ≤ n) impliziert C ∈ E
2. p ∈ E impliziert es gibt bzgl. E gültigen Default-Beweis für p
G.Brewka
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Wissensbasierte Systeme
Extensionen: kleine Beispiele
Nichtmonotonie: D = {:a/a}, W = {}
D = {:a/a}, W = {¬a}
==> Extension ist Th({a})
==> Extension ist Th({¬a})
Es kann beliebig viele Extensionen geben:
mehrere:
D = {:a/a, :¬a/¬a}, W = {}
==> Extension1: Th({a})
==> Extension2: Th({¬a})
keine:
D = {:¬a/a}, W = {}
==>
---
skeptische Ableitbarkeit von p: p in allen Extensionen enthalten
"mutige" Ableitbarkeit von p: p in einer Extension enthalten
Resultate: Extensionen sind minimal, d.h. E ⊆ E' => E = E'.
W inkonsistent <=> einzige Extension inkonsistent
(falls alle Defaults Konsistenzbedingung haben)
G.Brewka
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Wissensbasierte Systeme
Beispiele
D
W
Fixpunkt(e)
Vogel(x):Fliegt(x)
Fliegt(x)
Vogel(Tw)
Vogel(x):Fliegt(x)
Fliegt(x)
Vogel(Tw)
Th(W)
Ping(Tw)
∀x.Ping(x)
=> ¬ Fliegt(x)
∀
Vogel(x):Fliegt(x)
Fliegt(x)
Vogel(Tw)
Ping(Tw)
Ping(x):¬ Fliegt(x)
¬ Fliegt(x)
Vogel(x):Fliegt(x) ∧¬Ping(x) Vogel(Tw)
Fliegt(x)
Ping(Tw)
Th(W ∪ {Fliegt(Tw)})
Th(W ∪ {Fliegt(Tw)})
Th(W ∪ {¬ Fliegt(Tw)})
Th(W ∪ {¬ Fliegt(Tw)})
Ping(x):¬ Fliegt(x)
¬ Fliegt(x)
G.Brewka
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Wissensbasierte Systeme
Interessante Teilklassen
Normale Defaults
a:b
b
Existenz von Extensionen garantiert
Semimonotonie: wenn E Extension von (D,W), dann gibt es
Extension E' von (D ∪ D', W) mit E ⊆ E'.
Super-normale Defaults
:b
b
Extensionen sind Theoreme von W zusammen mit
maximal W-konsistenter Teilmenge von Default-Konklusionen
Semi-normale Defaults
a:b ∧ c
b
Prioritäten lassen sich codieren
keine Existenz von Extensionen:
:a ∧¬ c
a
G.Brewka
:b ∧ ¬ a
b
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:c ∧ ¬ b
c
Wissensbasierte Systeme
Wie findet man Extensionen?
I. Extensionen haben immer die Form
Th(W ∪ Consequents(D'))
wobei D' ⊆ D.
II: Extensionen sind konsistent
(außer W inkonsistent oder Defaults ohne Konsistenztest kommen vor)
Also:
1) identifiziere Kandidaten für D', die obige Bedingungen erfüllen
2) überprüfe, ob die Fixpunktbedingung erfüllt ist
Beispiel:
W: A => ¬B
D: A: C/C, :B/B, :A/A
W ∪ {A,B} inkonsistent
Kandidaten:
Th(W ∪ {A,C})
Th(W ∪ {B,C})
Th(W ∪ {A})
+
−
−
Th(W ∪ {B})
Th(W ∪ {C})
Th(W ∪ {})
+
−
−
Beachte: Teilmengen von Extensionen sind nie Extensionen
G.Brewka
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Wissensbasierte Systeme
Kontraposition für Defaults?
klassische Logik: A => B äquivalent zu ¬B => ¬A
Bei Defaults Kontraposition nicht immer erwünscht:
Informatiker wissen normalerweise nicht viel über Nichtmonotonie.
aber nicht:
Wer viel über Nichtmonotonie weiss, ist normalerweise kein Informatiker
Verwendung von Inferenzregeln vermeidet Probleme mit Kontraposition
G.Brewka
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Wissensbasierte Systeme
Probleme mit DL
1. manchmal zu schwach: Fallunterscheidungen
emu: rennt
rennt
strauss: rennt
rennt
emu v strauss
rennt nicht ableitbar.
2. manchmal zu stark: keine Gesamtkonsistenz aller Konsistenzannahmen
: nutzbar(x) &¬gebrochen(x)
gebrochen(l-arm) v gebrochen(r-arm)
nutzbar(x)
nutzbar(l-arm) & nutzbar(r-arm) ableitbar
3. Repräsentation von Prioritäten zwischen Defaults nicht einfach.
G.Brewka
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Wissensbasierte Systeme
Probleme, ctd.
4.
Nicht-Kumulativität: Zufügen von Theoremen ändert Resultate (Makinson)
Inferenzrelation |- ist kumulativ gdw:
X |- a -> (X |- b <-> X ∪ {a} |- b)
Was ist die Inferenzrelation von DL? D festhalten:
W |- D p gdw. p ist in allen Extensionen von (D,W)
|- D
ist nicht kumulativ, Gegenbeispiel (Makinson):
:p
p
p ∨ q:¬p
¬p
W leer -> es gibt eine Extension, sie enthält p, damit auch p ∨ q
W={p ∨ q} -> es gibt zusätzliche Extension mit ¬p
Also:
G.Brewka
{} |- D p ∨ q und {} |- D p , aber nicht {p ∨ q} |- D p
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Wissensbasierte Systeme