Inhaltsverzeichnis IV Prädikatenlogik

Inhaltsverzeichnis
IV Prädikatenlogik
IV.1 Syntax der Prädikatenlogik . . . . . . . .
IV.2 Semantik der Prädikatenlogik . . . . . . .
IV.3 Variablentransformation . . . . . . . . . .
IV.4 Prädikatenkalkül und seine Vollständigkeit
IV
IV.1
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Prädikatenlogik
Syntax der Prädikatenlogik
Gegeben F =
·
S
n≥0 Fn ,
Fn = n-stellige Funktionssymbole. F = ∅ möglich.
·
S
F0 = ‘Konstanten’. P = m≥1 Pm , Pm = m-stellige Prädikatssymbole, häufig P = P2 .
Definition. (F, P) heißt Syntax oder Sprache 1. Ordnung.
V = (abzählbare) Menge von Variablen (disjunkt von F)
V = {x0 , x1 , . . . } , V 3 x, y, z
Definition. 1. Termalgebra zu (F, P) und V:
·
hViF = hV ∪F0 |F1 |F2 | . . . i Termalgebra von V, F
(d.h. S0 = V ∪ F0 , S1 = F1 , S2 = F2 , . . . )
Beispiel. f3 f2 xf0 yz ∈ hViF
xf0 6∈ hViF
F = ∅ : hViF = V
Im allgemeinen gilt: hViF ⊃ V ∪ F0 ⊃ V = hVi∅ .
Definition. Primformeln






PhViF := pm t1 · · · tm | pm ∈ Pm , t1 , . . . , tm ∈ hViF


| {z }

Wort
PhViF ist eine Menge, disjunkt von P, V, F
Spezialfall: F = ∅
PhViF = PhVi∅ = PV = {pm x1 · · · xm | pm ∈ Pm , x1 , . . . , xm ∈ V}
Definition. 2. Termalgebra: Quantorenalgebra zu (F, P, V) :
V W
QJ PhViF = hPhViF |¬, , (x ∈ V)| ∧ ∨ →i
x x
V W
Termalgebra: S0 = PhViF , S1 = ¬, , (x ∈ V) , S2 = {∧, ∨, →}
x
Sn = ∅ für n ≥ 3.
x
41
41
42
45
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Logik I · WS 98/99
Teil IV: Prädikatenlogik
42
QJ PhViF ⊃ J (PhViF ) ⊃ PhViF Primformeln
Speziell: F = ∅ =⇒ hViF = V
V W
=⇒ QJ PV = hPV|¬, , |∧, ∨, →i Formelalgebra zu (P, V)
x
x
Beispiele für Sprachen 1. Ordnung
Arithmetik: Variablen = ‘Zahlen’
F0 3 f0 = 0 konstantes Funktionssymbol
F1 
3 f1 =Nachfolgefunktion (f1 a = a + 1)
f = + +ab = a + b
2
F2
f 0 = · ·ab = a · b
2
V = {x0 , x1 , x2 , . . . }
p2 = = Gleichheitsrelation: = t1 t2 bedeutet t1 = t2
p02 = < Kleiner-Relation: < t1 t2 bedeutet t1 < t2
P = P2 = {=, <}
WV
Beispiel für eine Formel QJ PhViF für P = {=, <} , F = {0, f1 , +, ·} :
< y + x0
y x
Mengenlehre: Variablen = ‘Mengen’
F0 
3 f0 = ∅ leere Menge (konstante Funktion)
f = ∪
∪ XY = X ∪ Y
2
F2
f 0 = ∩
∩ XY = X ∩ Y
2
p2 = =
p02 = ∈
Beispiel für eine Formel in QJ PhViF für P = {=, ∈} , F = {∅, ∪, ∩} :
→
IV.2
_^
¬ ∈ ∅ ∩ ∅ ∪ XY |= ∩X∅
{z ∪ X∅}
x x
Primformel
Semantik der Prädikatenlogik
Definition. Sei (F, P, V) Syntax 1. Ordnung. Eine (F, P)-Struktur ist eine nicht-leere
Menge U mit folgender Zusatzstruktur:
• ∀ fn ∈ Fn ∃ f˜n : U n → U n-stellige Funktion
• ∀ pm ∈ Pm , m ≥ 1 ∃ p̃m ⊂ U m m-stellige Relation
Definition. i) Belegung (von Variablen) π : V → U, wobei U (F, P)-Struktur
U V ist die Menge aller Belegungen.
ii) Sei π : V → U Belegung,
 x ∈ V, u ∈ U. Definiere Belegung
π(y) im Falle y 6= x
πux : V → U, πux (y) :=
u
im Falle y = x
Logik I · WS 98/99
Teil IV: Prädikatenlogik
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1. Fortsetzungssatz (für Terme).
Sei π : V → U eine (F, P)-Struktur. Dann gilt:
∃1 Fortsetzung π̂ : hViF → U, so daß
π̂fn t1 · · · tn = f˜n (π̂t1 ) · · · (π̂tn ) ∀ fn ∈ Fn
(Jede Belegung hat eine rekursive Fortsetzung auf die Termalgebra)
Beweis. Wähle Y = U. ∀ fn definiere hf : (hViF × U)n → U wie folgt:
(i) n ≥ 1 : fn ∈ Fn : hfn ((t1 , y1 ) · · · (tn , yn )) := f˜n y1 · · · yn
(ii) n = 0 : f0 ∈ F0 : hf0 = f˜0 ∈ U
x ∈ V : hx = π(x) ∈ U
Nach dem Rekursionssatz ∃1 π̂ : hViF → U mit
∀ π̂fn t1 · · · tn = hfn (t1 , π̂t1 ) · · · (tn , π̂tn ) = f˜n (π̂t1 ) · · · (π̂tn )
n≥1
=⇒ Behauptung für n ≥ 1.
Im Falle n = 0 gilt: π̂f0 = hf0 = f˜0 ∈ U =⇒ Behauptung für n = 0.
∀ x ∈ V : π̂(x) = hx = π(x) ∈ U =⇒ π̂ Fortsetzung von π.
Wahrheitsfunktion zur Belegung π: τπ : PhViF → 2 definiert durch

1 im Falle (π̂t , . . . π̂t ) ∈ p̃ ⊂ U m
1
m
m
τπ (pm t1 · · · tm ) =
0 im Falle (π̂t , . . . , π̂t ) 6∈ p̃
1
m
2. Fortsetzungssatz (für Formeln).
Sei Belegung π : V → U gegeben. Dann gilt:
∃1 Fortsetzung τ̂π : QJ PhViF → 2, so daß
(i) τ̂π |PhViF = τπ
(ii) ∀ A, B ∈ QJ PhViF :
τ̂π (A ∧ B) = τ̂π (A) · τ̂π (B) = min(τ̂π (A), τ̂π (B))
τ̂π (A ∨ B) = max(τ̂π (A), τ̂π (B))
τ̂π (¬A) = 1 − τ̂π (A)
τ̂π (A → B) = max(1 − τ̂π (A), τ̂π (B))
(iii) ∀ A ∈ QJ PhViF , ∀ x ∈ V :
1 im Falle ∀ u ∈ U :
V
τ̂π ( A) = inf u∈U τ̂πux (A) =
0 im Falle ∃ u ∈ U :
x

1 im Falle ∃ u ∈ U :
W
τ̂π ( A) = supu∈U τ̂πux (A) =
0 im Falle ∀ u ∈ U :
x
m
τ̂πux (A) = 1
τ̂πux (A) = 0
τ̂πux (A) = 1
τ̂πux (A) = 0
V
Beweis. Sei Y = 2U die Menge aller y : U V → 2, π 7→ y(π).
V W
Für die n(≤ 2)-stelligen Funktionen F von QJ PhViF = hPhViF | ¬, , | ∧, ∨, →i
x
x
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Teil IV: Prädikatenlogik
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definiere hF : (QJ PhViF × Y )n → Y wie folgt:
n = 0 : hpm t1 ···tm (π) = τπ (pm t1 · · · tm ) ∈ 2
n = 1 : h¬ (A, y)(π) = 1 − y(π)
hV (A, y)(π) = inf y(πux )
u∈U
x
hW (A, y)(π) = sup y(πux )
u∈U
x
n = 2 : # = ∧, ∨, →
h# ((A1 , y1 ), (A2 , y2 ))(π) = y1 (π)#y2 (π) (entsprechende Verknüpfung in 2).
Nach Rekursionssatz ∃1 χ : QJ PhViF → Y , so daß
χFn A1 ···An = hFn ((A1 , χA1 ), . . . , (An , χAn )) für n = 0, 1, 2.
Definition. Charakteristische Funktion einer Formel A ∈ QJ PhViF :
χA (π) := τ̂π (A)
∀ π ∈ U V , ∀ U (F, P)−Struktur
Q
Q
Q
Für A ⊂ QJ PhViF : χA := A∈A χA , χA (π) = A∈A χA (π) = A∈A τ̂π (A)
χ∅ = 1.
Semantik
Seien A, B ∈ QJ PhViF ⊃ A
1. A Tautologie ⇐⇒ χA = 1 ⇐⇒ ∀ U (F, P)−Struktur, ∀ π ∈ U V : τ̂π (A) = 1
2. A erfüllbar ⇐⇒ χA 6= 0 ⇐⇒ ∃ U (F, P)−Struktur, ∃ π ∈ U V : τ̂π (A) = 0
3. A absurd ⇐⇒ χA = 0 ⇐⇒ ∀ U (F, P)−Struktur, ∀ π ∈ U V : τ̂π (A) = 0
4. A B ⇐⇒ χA ≤ χB ⇐⇒ ∀ U ∀ π ∈ U V : τ̂π (A) = 1 =⇒ τ̂π (B) = 1
5. A |=| B ⇐⇒ χA = χB ⇐⇒ ∀ U ∀ π ∈ U V : τ̂π (A) = 1 ⇐⇒ τ̂π (B) = 1 ⇐⇒ A B, B A
6. A B ⇐⇒ χA ≤ B ⇐⇒ ∀ U ∀ π ∈ U V : Falls ∀ A ∈ A : τ̂π (A) = 1 =⇒ τ̂π (B) = 1
Spezialfall: A ∅, B ⇐⇒ χB = 1 ⇐⇒ B Tautologie
7. A erfüllbar ⇐⇒ χA 6= 0 ⇐⇒ ∃ U (F, P)−Struktur, ∃ π ∈ U V :
χA (π) = 1 ∀ A ∈ A : τ̂π (A) = 1
8. A absurd ⇐⇒ χA = 0 ⇐⇒ ∀ U (F, P)−Struktur, ∀ π ∈ U V ∃ A ∈ A : τ̂π (A) = 0
Definition. U (F, P)-Struktur heißt Modell für A ∈ QJ PhViF ⇐⇒ ∀ π ∈ U V : τ̂π (A) = 1.
Beispiel. Sei U = N, f˜0 = 0, f˜1 = s (successor), p̃2 = =, p̃02 = <.
V
A = < 0sx ∈ QJ PhViF
x
V
τ̂π (A) = τ̂π ( < 0sx) = inf u∈N τ̂π (< 0sx) = 1 da in N u + 1 > 0 gilt.
x
Logik I · WS 98/99
Teil IV: Prädikatenlogik
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τ̂πux (< 0sx) = 1 im Falle (π̂ux 0, π̂ux sx) ∈<N
π̂ux 0 = 0̃ ⊃ 0N
π̂ux sx = sN π̂ux x = sN πux (x) = sN u = u + 1
∀ u ∈ N : (π̂ux 0, π̂ux sx) = (0N , u + 1) ∈<N
Da u ∈ N Beliebig, π beliebig =⇒ N Modell für A.
IV.3
Variablentransformation
hViF = hV ∪ F0 | F1 | . . . i Termalgebra
V = {x0 , x1 , x2 , . . . } Menge der Variablen
Y = Menge aller endlichen Teilmengen von V, einschließlich ∅
1. Variablensatz (‘Vorkommende Variablen’).
∃1 Funktion Var : hViF → Y, t 7→ Var(t), so daß
(i) Var(x) = {x} ∀ x ∈ V
(ii) Var(fn t1 . . . tn ) = Var(t1 ) ∪ . . . ∪ Var(tn )
n = 0 : Var(f0 ) = ‘leere Vereinigung’ = ∅
Beweis. Sei Y = {V ⊂ V : V endlich} die Menge aller endlichen Teilmengen
Definiere hfn : (hViF × Y )n → Y ∀ n ≥ 0
n = 0 : hx := {x} ∈ Y, hf0 := ∅ ∈ Y
n ≥ 1 : hfn ((t1 , y1 ), . . . , (tn , yn )) := y1 ∪ . . . ∪ yn ∈ Y
Nach Rekursionssatz ∃1 Var : hViF → Y , so daß
Var(fn t1 . . . tn ) = hfn ((t1 , Var(t1 )), . . . , (tn , Var(tn )))
n ≥ 1 : Var(fn t1 . . . tn ) = Var(t1 ) ∪ . . . ∪ Var(tn ) (setze yi := Var(ti ))
n = 0 : Var(f0 ) = hf0 = ∅
Var(x) = hx = {x}
2. Variablensatz (‘Freie Variablen’).
∃1 Funktion Varf : QJ PhViF → Y, A 7→ Varf (A), so daß
(i) Varf (pm t1 · · · tm ) = Var(t1 ) ∪ . . . ∪ Var(tm ), m ≥ 1
(ii) Varf (¬A) = Varf (A)
Varf (A ? B) = Varf (A) ∪ Varf (B)
? = ∧, ∨, →
V
W
(iii) Varf ( A) = Varf (A) \ {x} = {y ∈ Varf (A) | y 6= x}
x
Beweis. Y = Menge der endlichen Teilmengen von V
V
W
Für die n(≤ 2)-stelligen Funktionen F von QJ PhViF = hPhViF | ¬, | ∧, ∨, →i
x
sei hF : [QJ PhViF × Y ]n → Y definiert durch
n = 0 : hpm t1 ···tm := Var(t1 ) ∪ . . . ∪ Var(tm )
n = 1 : h¬ (A, y) := y
Logik I · WS 98/99
Teil IV: Prädikatenlogik
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W (A, y) := y \ {x}
hV
x
n = 2 : h? (A1 , y1 , A2 , y2 ) = y1 ∪ y2
Rekursionssatz =⇒ ∃1 Varf : QJ PhViF → Y , so daß
Varf (Fn A1 · · · An ) = hFn ((A1 , Varf (A1 )), . . . , (An , Var(An )))
n = 0 : Varf (pm t1 · · · tm ) = hpm t1 ···tm = Var(t1 ) ∪ . . . ∪ Var(tm )
n = 1 : Varf (¬A) = h¬ (A, Varf A) = Varf A
V
W
W (A, Var A) = Var (A) \ {x}
Varf ( A) = hV
f
f
x
x
n = 2 : Varf (A ? B) = h? ((A, Varf A), (B, Varf B)) = (Varf A) ∪ (Varf B).
Definition. Eine Formel A ∈ QJ PhViF heißt Satz, falls Varf A = ∅.
V
V
Beispiel. Varf ¬ ∈ x2 x1 =Varf ∈ x2 x1
x2
x2
= Varf (∈ x2 x1 ) \ {x2 }
= (Var(x2 ) ∪ Var(x1 )) \ {x2 }
= ({x2 } ∪ {x1 }) \ {x2 }
= {x2 , x1 } \ {x2 } = {x1 }
V V
V V
Varf (¬ ¬ < x2 x1 ) = Varf ( ¬ < x2 x1 )
x1 x2
x1 x2
V
= Varf (¬ < x2 x1 ) \ {x1 }
Vx2
= Varf ( < x2 x1 ) \ {x1 }
x2
= Varf (< x2 x1 ) \ {x1 , x2 }
= [Varf (x2 ) ∪ Varf (x1 )] \ {x1 , x2 }
= [{x2 } ∪ {x1 }] \ {x1 , x2 }
= {x1 , x2 } \ {x1 , x2 } = ∅
Substitution von Variablen
Term-Belegung ζ : V → U := hViF F-Algebra
(noch keine (F, P)-Struktur, kommt später)

ζ(y) y 6= x
Notation: ζzx : V → hViF , ζzx (y) :=
für x, z ∈ V
z
y=x
Substitutions-Satz.
Sei ζ : V → hViF Term-Belegung
=⇒ ∃1 Subζ : QJ PhViF → QJ PhViF , A 7→ Subζ A, so daß
(i) Subζ (pm t1 · · · tm ) = pm (ζ̂t1 ) · · · (ζ̂tm ), wobei
ζ̂ : hViF → hViF rekursive Fortsetzung von ζ
(ii) Subζ (¬A) = ¬Subζ (A)
Logik I · WS 98/99
Teil IV: Prädikatenlogik
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Subζ (A ? B) = Subζ (A) ? Subζ (B)
V
W
V
W
x
(iii) Subζ ( A) =
[Subζm(x,ζ,A)
A], wobei
x
m(x,ζ,A)

x im Falle x 6∈ S
y∈Varf A,y6=x,y6=ζ(y) Var ζ(y)
m(x, ζ, A) :=
min(V \ Var (A) ∪ S
f
y∈Varf A,y6=x,y6=ζ(y) Var ζ(y) sonst
V
Beweis. Y = QJ PhViF (hViF )
Y 3 y : hViF V → QJ PhViF , ζ 7→ y(ζ)
hF : (QJ PhViF × Y )n → Y
n = 0 : hpm t1 ···tm (ζ) = pm (ζ̂t1 ) · · · (ζ̂tm )
n = 1 : h¬ (A, y)(ζ) = ¬[y(ζ)]
V
W
x
W (A, y)(ζ) =
hV
y(ζm(x,ζ,A)
)
x
m(x,ζ,A)
n = 2 : h? (A1 , y1 , A2 , y2 )(ζ) = y1 (ζ) ? y2 (ζ)
Rekursionssatz =⇒ ∃ s : QJ PhViF → Y , so daß
sFn A1 · · · An = hFn ((A1 , sA1 ), . . . , (An , sAn ))
Setze Subζ (A) := (sA)(ζ). Dann gilt:
n = 0 : Subζ (pm t1 · · · tm ) = spm t1 ···tm ζ = hpm t1 ···tm (ζ) = pm (ζ̂t1 ) . . . (ζ̂tm )
n = 1 : Subζ (¬A) = s¬A (ζ) = h¬ (A, sA )(ζ) = ¬(sA (ζ)) = ¬(Subζ (A))
V
W
V
W
V
W
x
W (ζ) = hV
W (A, s )(ζ) =
Subζ ( A) = sV
sA (ζm(x,ζ,A)
)=
A
A
x
x
x
m(x,ζ,A)
x
Subζm(x,ζ,A)
(A)
m(x,ζ,A)
n = 2 : Subζ (A ? B) = sA?B (ζ) = h? (A, sA , B, sB )(ζ) = sA (ζ) ? sB (ζ) = Subζ (A) ? Subζ (B)
Notation. x1 , . . . , xn ∈ Varf (A), t1 , . . . , tn ∈ hViF , ζ(xi ) = ti 6= xi
···xn
Subζ A = Subxt11···t
(A)
m
W
2
Beispiel. Subxx04 ,x
,f x1 x1 px0 f x1 x2 = P
x0
V = {x0 , x1 , x2 , . . . } Liste der Variablen
W
f ∈ f 2 , p ∈ P2 , A = px0 f x1 x2 ∈ PhViF . Zu berechnen: Subζ A
x0
ζ(x0 ) = x4 , ζ(x2 ) = f x1 x2 ∈ hViF
A = px0 f x1 x2 =⇒ Varf A = Var(x0 ) ∪ Var(f x1 x2 ) = {x0 } ∪ {x1 , x2 } = {x0 , x1 , x2 }
x = x0
{y ∈ Varf A | y 6= x0 , ζ(y) 6= y} = {x2 }
Varζ (x2 ) = Var f x1 x1 = {x1 }
Wegen x0 6= x1 =⇒ x0 6∈ Var ζ(x2 ) =⇒ z = x0
W
W
2
=⇒ Subxx04 ,x
Subxf 2x1 y1 A = ζxx00 (x2 )
,f x1 xy1 px0 f x1 x2 =
x0
x0
W
W
= f x1 x1 = Subxf 2x1 x1 px0 f x1 x2 = px0 f x1 f x1 y1
x0
W
2 ,x0
Beispiel. Subxx10 ,x
,x2 ,x4 px0 f x1 x2
x0
x0
Logik I · WS 98/99
Teil IV: Prädikatenlogik
ζ(x1 ) = x0 , ζ(x2 ) = x2 , ζ(x0 ) = x4 , ζ(xk ) = xk ∀ k 6= 0, 1
A = px0 f x1 x2
Varf A = {x0 , x1 , x2 }
{y ∈ Varf A | y 6= x0 , ζ(y) 6= y} = {x1 }
Var ζ(x1 ) = Var x0 = {x0 } 3 x0
Varf (A) ∪ Var ζ(x1 ) = {x0 , x1 , x2 } ∪ {x0 } = {x0 , x1 , x2 }
=⇒ z = min V \ ({x0 , x1 , x2 }) = x3
W
W
2 ,x0
2 ,x0
Subxx10,x, x
px0 f x1 x2 = Subxx10,x, x
,x A
2 , x4
| {z } x0
| {z2 }3
x3
x
ζ
ζz
W
W
x1 ,x2 ,x0
= Subx0 ,x2 ,x3 px0 f x1 x2 = px3 f x0 x2
x3
x3
Koinzidenz-Lemma.
Sei U (F, P)−Struktur, π1 , π2 ∈ U V Belegungen, t ∈ hViF , A ∈ QJ PhViF .
(i) Koinzidenz-Lemma für Terme
π1 = π2 auf Var(t) =⇒ π̂1 (t) = π̂2 (t)
(ii) Koinzidenz-Lemma für Formeln
π1 = π2 auf Varf (A) =⇒ τ̂π1 (A) = τ̂π2 (A)
Korollar. Sätze sind entweder falsch oder wahr.
A ∈ QJ PhViF , Varf A = ∅ (A = Satz )
=⇒ τ̂π1 (A) = τ̂π2 (A) ∀ π1 , π2 ∈ U V
=⇒ [τ̂π1 (A) = 1 ⇐⇒ τ̂π2 (A) = 1]
Definition. π1 ∼x π2 , x ∈ V :⇐⇒ π1 = π2 auf V \ {x} ⇐⇒ π1 (y) = π2 (y) ∀ y 6= x
Lemma. z = m(x, ζ, A). Dann gilt:
(i) π ∼z π 0 , σ := (π̂ ◦ ζ)xπ0 (z) ∼x π̂ ◦ ζ
x
(ii) σ ∼x π̂ ◦ ζ, π̂ 0 := πσ(x)
∼π
Dann gilt: τ̂π̂◦ζzx (A) = τ̂σ (A)
Beweis. Nach Koinzidenz-Lemma für Formeln genügt es zu zeigen:
∀ y ∈ Varf (A) : π̂ ◦ ζzx (y) = σ(y)
Im Falle y = x:
(π̂ 0 ◦ ζzx )(x) = π̂ 0 (ζzx (x)) = π̂ 0 (z) = π 0 (z) = σ(x)
z∈V
Im Falle y 6= x:
1: Fall: z = x 6∈ Var ζ(v), v ∈ Varf (A) \ {x}, ζ(v) 6= v
S
2. Fall: x ∈ {Var ζ(v) : v ∈ Varf A \ {x}, ζ(v) 6= v}
S
=⇒ z 6∈ Varf (A) ∪ {Var ζ(v) : v ∈ Varf A \ {x}, ζ(v) 6= v}
y ∈ Varf A \ {x}
Im Falle y 6= ζ(y) =⇒ z 6∈ Var ζ(y), π ∼z π 0
=⇒ π = π 0 auf Var ζ(y)
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Logik I · WS 98/99
Teil IV: Prädikatenlogik
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=⇒ (π̂ ◦ ζzx )(y) = π̂ 0 (ζzx (y)) = π̂ 0 (ζ(y)) = π̂(ζ(y)) = (π̂ ◦ ζ)(y) = σ(y)
Im Falle y = ζ(y) =⇒ z 6= y, z = x 6= y, z 6∈ Varf A ∈ y
(π̂ 0 ◦ ζzx )(y) = π̂ 0 (ζzx (y)) = π̂ 0 (ζ(y)) = π̂ 0 (y) = π 0 (y)
= π(y) = π̂(ζ(y)) = (π̂ ◦ ζ)(y) = σ(y)
Die etwas komplizierte Definition der Substition wird gerechtfertigt durch das
Substitutions-Lemma. ∀ π ∈ U V Belegung, ∀ ζ ∈ hViF V Term-Belegung, ∀ A ∈ QJ PhViF :
τ̂π (Subζ A) = τ̂π̂◦ζ (A)
Beweis. (durch Induktion)
W := {A ∈ QJ PhViF : Lemma gilt ∀ π, ∀ ζ}
V
W
(i) Zu zeigen: W abgeschlossen in Peano-Algebra QJ PhViF = hPhViF |¬, |∧, ∨, →i
x
PhViF ⊂ W
τ̂π (Subζ pm t1 · · · tm ) = τ̂π̂◦ζ (pm t1 · · · tm ) folgt aus (π̂ ˆ◦ ζ)(t) = π̂(ζ̂(t))
(ii) Sei A ∈ W, zu zeigen: ¬A ∈ W
τ̂π (Subζ (¬A)) = τ̂π (¬Subζ A) = 1 − τ̂π (Subζ A)
= 1 − τ̂π̂◦ζ (A) = τ̂π̂◦ζ (¬A) =⇒ ¬A erfüllt Lemma
(iii) Seien A, B ∈ W, zu zeigen: A ? B ∈ W, ? = ∧, ∨, →
τ̂π (Subζ (A ? B)) = τ̂π ((Subζ A) ? (Subζ B))
= τ̂π (Subζ A) ? τ̂π (Subζ B)
= (τ̂π̂◦ζ (A)) ? (τ̂π̂◦ζ (B))
= τ̂π̂◦ζ (A ? B)
=⇒ A ? B erfüllt Lemma
V
W
(iv) Sei A ∈ W, x ∈ V. Zu zeigen: A ∈ W.
x
Sei π ∈ U V , ζ ∈ hViF V , z = m(x, ζ, A) ∈ V
V
V
τ̂π (Subζ A) = τ̂π ( Subζzx A) = inf u∈U τ̂πuz (Subζzx A)
x
z
0 π τ̂π̂ 0 ◦ζ z (A)
= inf u∈U τ̂π̂uz ◦ζzx (A) = inf π∼
x
Vz
= inf σ∼x π̂◦ζ τ̂σ (A) = τ̂π̂◦ζ ( A)
x
V
=⇒ A erfüllt Lemma
x
W
Analog für .
x
Da W abgeschlossen und QJ PhViF Peano-Algebra =⇒ W = QJ PhViF .
IV.4
Prädikatenkalkül und seine Vollständigkeit
Definition. Prädikatenkalkül K̃ auf QJ PhViF :
Logik I · WS 98/99
Teil IV: Prädikatenlogik
50
(i) K̃ ⊃ K Junktorenkalkül, bestehend aus 0-stelligen Regeln
(1)
(17)
K0 , . . . , K0 ⊂ QJ PhViF und 2-stelliger Regel
3
K2 = {(A, A → B, B) | A, B ∈ QJ PhViF } ⊂
QJ PhViF
V
W
−
*
(ii) Q0 = ( A) → A | A ∈ QJ PhViF , x ∈ V
x
x
V
W
(
−
Q0 =
A → ( A) | A ∈ QJ PhViF , x ∈ V
x
x
V
(iii) Q0 =
A → Subidxt A | A ∈ QJ PhViF , x ∈ V, t ∈ hViF
nx
V
(iv) Q1 = (A → Subidxy B, A → B) | A, B ∈ QJ PhViF , x, y ∈ V,
x
o
x 6= y, y 6∈ Varf A ∪ Varf B
n
o
Q01 = (A, Subζ A) | A ∈ QJ PhViF , ζ ∈ hViF V
Definition. E ∈ QJ PhViF heißt ableitbar
K̃ E :⇐⇒ ∃ Ableitung (A1 , . . . , An = E) in QJ PhViF bezüglich K̃
QJ PhViF ∞ := E ∈ QJ PhViF : K̃ E
Konsistenz-Satz.
K̃ E =⇒ E Tautologie, d.h. ableitbare Formeln erfüllen χE = 1, oder τ̂π (E) = 1 ∀ π ∈ U V .
Beweis. (durch Induktion)
W = {E ∈ QJ PhViF | E}
Zu zeigen: W abgeschlossen in QJ PhViF bezüglich K̃ (dann W ⊃ QJ PhViF ∞ ).
−
* (
−
(i) Zu zeigen: Q0 , Q0 , Q0 ⊂ W.
V
−
* W
• Sei Q0 3 A → A
x
x
W
V
V
Sei π ∈ U , zu zeigen: τ̂π ( A → A) = 1
x
x
V
τ̂π ( A)= inf u∈U τ̂πux (A) = inf u∈U 1 − τ̂πux (A)
x
W
= 1 − supu∈U τ̂πux (A) = 1 − τ̂π ( A)
x
W
V
V
W
=⇒ τ̂π ( A → A)= max(τ̂π ( A), 1 − τ̂π ( A))
x
x
x
x
V
V
= max(1 − τ̂π ( A), τ̂π ( A)) = 1
x
x
−
*
=⇒ Q0 ⊂ W.
W
(
− V
• Sei Q0 3 A → A.
x
V
Wx
W
V
τ̂π ( A → A) = max(τ̂π ( A), 1 − τ̂π ( A))
x
x
x
W
V x
= max(τ̂π ( A), τ̂π ( A))
x
x
W
W
= max(τ̂π ( A), 1 − τ̂π ( A)) = 1
x
x
(
−
=⇒ Q0 ⊂ W.
V
• Sei Q0 3 A → Subidxt A.
x
Logik I · WS 98/99
Teil IV: Prädikatenlogik
51
V
V
τ̂π ( A → Subidxt A) = max(τ̂π (Subidxt A), 1 − τ̂π ( A))
x
x
= max(τ̂π◦idxt A, 1 − inf u∈U τ̂πux A)
x A) = 1
≥ (τ̂π◦idxt A, 1 − τ̂ππ̂t
| {z }
x
=ππ̂t
=⇒ Q0 ⊂ W
(ii) Zu zeigen: W abgeschlossen bezüglich Q01 . Sei A ∈ W,
(A, Subζ A) ∈ Q01 , zu zeigen: Subζ A ∈ W
τ̂π (Subζ A) = τ̂π̂◦ζ (A) = 1
(iii) Zu zeigen: W abgeschlossen unter Q1 . Es gilte A → Subidxy B ∈ W,
V
V
(A → Subidxy B, A → B) ∈ Q1 , zu zeigen: A → B ∈ W:
x
Vx
Angenommen, A → B 6∈ W =⇒ ∃ U (F, P)−Struktur, ∃ π ∈ U V ,
Vx
V
so daß 0 = τ̂π (A → B)= max(τ̂π ( B), 1 − τ̂π (A))
x
x
= max( inf τ̂πux B , 1 − τ̂π A)
| {z }
u∈U
| {z }
=0
=0
=⇒ τ̂π (A) = 1, ∃ u ∈ U : τ̂πux (B) = 0
Wegen πuy = π auf V \{y}, y 6∈ Varf (A) =⇒ τ̂πuy (A) = τ̂π (A) = 1 nach Koinzidenzlemma
Behauptung: πuy ◦ idxy = πux auf V \{y}.
Beweis: z 6= y, z = x : (πuy ◦ idxy )(x) = πuy (y) = u = πux (x)
z 6= x : (πuy ◦ idxy )(z) = πuy (z) = π(z) = πux (z)
Wieder mit Koinzidenzlemma folgt
τ̂πuy (Subidxy (B)) = τ̂πuy ◦idxy (B) = τ̂πux (B) = 0
=⇒ τ̂πuy (A → Subidxy B) = max(τ̂πuy (Subidxy B ), 1 − τ̂πuy A) = 0
| {z }
|
{z
}
=0
=⇒ A → Subidxy B 6∈ W → Widerspruch
Also ist W auch abgeschlossen bezüglich Q1 .
=1
2