Einführung in die Statistik für WInf, Inf, Bi, ET etc.

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
T. Harth
A. Rößler
B. Walther
SS 2003
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
21./22.05.2003
Einführung in die Statistik
für WInf, Inf, Bi, ET etc.
3. Übung
Gruppenübungen
Aufgabe G7
Die Zufallsvariable X sei stetig verteilt mit der Dichte
f (x) = 1/2 · e−|x| ,
x ∈ R.
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X.
b) Geben Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X 3 an.
c) Berechnen Sie mit Hilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung eine untere Schranke für
die Wahrscheinlichkeit P (|X| < 2) und vergleichen Sie mit dem exakten Wert für diese
Wahrscheinlichkeit.
2
R
2
+
, a 6= 0
Hinweis: x2 eax dx = eax xa − 2x
a2
a3
Aufgabe G8
Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) besitze die Dichte
(
1 für 0 ≤ s, t ≤ 1
f (s, t) =
0 sonst.
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F (x, y).
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst (z.B. an Hand einer Skizze), welche Fälle Sie für
x und y unterscheiden müssen.
b) Bestimmen Sie die Randverteilungen von X und Y sowie die zugehörigen Dichten.
c) Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X, Y ) und den Korrelationskoeffizienten %(X, Y ).
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X + Y ≤ 12 ).
Aufgabe G9
a) Es seien X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen mit den Verteilungsfunktionen F1 , . . . , Fn .
Man bestimme die Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen
Y = max(X1 , . . . , Xn )
und
Z = min(X1 , . . . , Xn ).
b) Ein technisches System bestehe aus den Komponenten K1 , . . . , Kn , die
(i) hintereinandergeschaltet bzw.
(ii) parallelgeschaltet sind.
Im Fall (i) fällt das System aus, sobald mindestens eine Komponente ausgefallen ist,
im Fall (ii) fällt das System aus, sobald alle Komponenten ausgefallen sind. Es wird
angenommen, dass die Lebensdauern der Komponenten (in Stunden) als Realisierungen unabhängiger, mit demselben Paramter λ exponentialverteilter Zufallsvariablen
angesehen werden können. In jedem der beiden Fälle (i) und (ii) bestimme man die
Verteilungsfunktion der Lebensdauer des Systems und berechne unter der Voraussetzung λ = 0.25 und n = 4 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer des
Systems größer als 5 Stunden ist.
Hausübungen
Abgabe am 30. Mai
Aufgabe H13
Ein Würfel wird geworfen. Erscheint die Augenzahl 6, so wird ein zweites Mal geworfen und
die beiden Augenzahlen werden addiert. Andernfalls wird nur die erste Augenzahl notiert.
Die Zufallsvariable X beschreibe das Ergebnis dieses Zufallsexperiments.
a) Geben Sie die Verteilung von X in Tabellenform an.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
Aufgabe H14
Sei X eine N (2, 4)-verteilte Zufallsvariable.
a) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
(i) P (X > 1)
(ii) P (0.5 ≤ X ≤ 2.5)
(iii) P (X < −1)
b) Bestimmen Sie den Median von X.
c) Die Zufallsvariable Y sei definiert durch Y = 2X − 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (Y ≤ 0) und das 0.8-Quantil von Y .
(bitte wenden)
Aufgabe H15
Die Zufallsvariable X beschreibe die Dauer eines Telefongesprächs an der TU Darmstadt.
X sei stetig verteilt mit der Dichte
(
c · x · e−2x für x ≥ 0
f (x) =
0
für x < 0.
a) Bestimmen Sie die Konstante c ∈ R.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F und den Erwartungswert von X.
c) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X 2 .
d) Die Kosten eines Gesprächs der Dauer x betragen
(
1
für x ≤ 4
k(x) =
1/4 · x für x > 4.
Die Zufallsvariable Y beschreibe die Kosten eines Gesprächs. Berechnen Sie den Erwartungswert E(Y ) und vergleichen Sie diesen Wert mit k(E(X)).
Aufgabe H16
Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) besitze die folgende Verteilung:
1
P (X = −1, Y = 1) = P (X = 0, Y = 0) = P (X = 2, Y = 1) = P (X = 0, Y = 1) = .
4
a) Bestimmen Sie die Randverteilungen von X und Y .
b) Bestimmen Sie jeweils den Erwartungswert E(X k ) für k = 1, 2, 3.
c) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten %(X, Y ). Sind X und Y unabhängige Zufallsvariablen?
Aufgabe H17
Gegeben sei eine zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) mit der Dichte
(
2
x + 43 y, für 0 ≤ x ≤ 1 und 0 ≤ y ≤ 1,
f (x, y) = 3
0
sonst.
a) Bestimmen Sie die Randdichten fX und fY sowie die zugehörigen Verteilungsfunktionen FX und FY der eindimensionalen Zufallsvariablen X und Y .
b) Berechnen Sie die Erwartungswerte E(X) und E(X 2 Y ).
c) Wie lautet die Verteilungsfunktion F (x, y)?
Aufgabe H18
Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig. X sei R(0, π)-verteilt und Y sei Ex(1)verteilt.
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von (X, Y ).
b) Bestimmen Sie eine Dichte von (X, Y ).
c) Die Zufallsvariable Z sei definiert durch Z = 2X · Y . Berechnen Sie E(Z) und V ar(Z).