¨Ubungsblatt 7

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2014
Übungsblatt 7
Abgabe der Lösungen: Tutorium in der Woche 8.12-12.12
Aufgabe 1
Smith und Jones’ Comeback
(Präsenzaufgabe)
Betrachten Sie erneut die aussagenlogische Formalisierung von Aufgabe 1, Übungsblatt 1, und
zeigen Sie Folgendes mit Hilfe des Resolutionsverfahrens:
1. Die Formalisierung von ‘wenn Jones die Wahrheit gesprochen hat, dann ist Smith der
Mörder und der Mord ist nicht nach Mitternacht passiert’ ist eine logische Folgerung aus
den Annahmen.
2. Die Formalisierung von ‘Smith ist der Mörder’ ist keine logische Folgerung aus den Annahmen.
Aufgabe 2
Verbesserte Resolution I
(Präsenzaufgabe)
Sei A ein Atom und sei ϕ eine Menge von Klauseln. Seien ϕ/A und ϕ/¬A die in der Vorlesung
definierten Klauselmengen
ϕ/A = { C \ {¬A} | A ∈
/ C ∈ ϕ}
ϕ/¬A = { C \ {A} | ¬A ∈
/ C ∈ ϕ }.
1. Pure Literal Elimination: Zeigen Sie, dass das Resolutionsverfahren angewendet auf ϕ
dieselbe Antwort liefert wie für ϕ/A (ϕ/¬A), wenn ¬A ∈
/ C (A ∈
/ C) für alle C ∈ ϕ.
2. Unit propagation: Zeigen Sie, dass das Resolutionsverfahren angewendet auf ϕ dieselbe
Antwort liefert wie für ϕ/A (ϕ/¬A), wenn {A} ∈ ϕ ({¬A} ∈ ϕ).
Aufgabe 3
Reine Resolution
(6 Punkte)
Überprüfen Sie mittels des Resolutionverfahrens, ob die folgenden Klauselmengen erfüllbar sind:
1. {{B, A}, {¬B}, {C, ¬A, B}, {C, ¬A}, {B, ¬C, ¬A}, {¬B, ¬D}};
2. {{C, A, ¬B}, {¬D}, {D, ¬A}, {¬C, D, ¬B}, {B, C}, {¬C, D, B}};
3. {{A, ¬B}, {B, ¬C}, {C, ¬B, A}, {¬A}}.
Danach, verwenden Sie die Ergebnisse von Aufgabe 2 um Ihre Resolutionsbeweise zu vereinfachen.
GLoIn, WS 2014
Aufgabe 4
(Dame ∨ Tiger) ∧ Resolution
(6 Punkte)
Der Gefangene von Aufgabe 2, Übungsblatt 1 ist jetzt mit dem Resolutionsverfahren bewaffnet.
Kann er damit bestimmen, in welchem Raum sich die Dame befindet und in welchem der Tiger?
Betrachten Sie nur den Fall 1. Verwenden Sie die aussagenlogische Formalisierung aus Aufgabe 5,
Übungsblatt 3.
Achtung: Bei der Berechnung der Klauselmengen aus den gegebenen Formeln darf man zur
Vereinfachung die Klauseln mit widersprüchlichen Literalen (z.B. A und ¬A) löschen.
Aufgabe 5
Verbesserte Resolution II
(8 Punkte)
Beweisen Sie, dass das Resolutionsverfahren, wie es in der Vorlesung eingeführt wurde, zur
effizienteren Implementierung dahingehend geändert werden kann, dass am Anfang jede Klausel
der gegebenen CNF, die eine andere Klausel der CNF als Teilmenge enthält, entfernt wird. So
kann man beispielsweise {{¬A, B, C}, {B}, {B, ¬C}, {A, C}} zu {{B}, {A, C}} komprimieren.
Genauer gesagt ist zu beweisen, dass das neue Verfahren immer die gleiche Antwort liefert wie
das ursprüngliche. Die Semantik von Formeln und die Vollständigkeit des Resolutionsverfahrens
sollen nicht verwendet werden.
Hinweis: Verwenden Sie vollständige Induktion über die zur Herleitung einer bestimmten
Klausel benötigten Anzahl Schritte im Resolutionsverfahren. Beweisen Sie damit, dass es für
jede Klausel C, die mittels Resolution in n Schritten aus der ursprünglichen Klauselmenge
abgeleitet werden kann, ein entsprechendes C 0 gibt, so dass C 0 ⊆ C und C 0 aus der komprimierten
Klauselmenge mittels Resolution ableitbar ist. Zeigen Sie, dass mit dieser Aussage folgt, dass
der modifizierte Algorithmus nicht erfüllbar“ antwortet, wenn der ursprüngliche Algorithmus
”
dies tut. Die umgekehrte Implikation ist trivial — warum?
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