Logik und Diskrete Strukturen Hausübungen 4

Hertrampf/Walter
Wintersemester 2011/12
Logik und Diskrete Strukturen
Hausübungen 4
Abgabe: bis Donnerstag, 1. Dezember um 13:10 bei den Abgabekästen im 1. Stock
1. Saubere Abgabe
(1 Punkt)
Schreiben Sie Ihren Namen, die Übungsgruppe und den Tutor leserlich oben
rechts auf Ihre Abgabe. Tackern Sie Ihre Abgabe links oben, falls Sie mehrere Blätter abgeben. Werfen Sie die Abgabe in den korrekten Abgabekasten im
Mittelgang des 1. Stocks.
2. Unendliche Klauselmengen
(4 Punkte)
Sei F eine unendliche Klauselmenge und K ∈ Res∗ (F ). Zeigen Sie: Es existiert
eine endliche Menge G mit G ⊂ F und K ∈ Res∗ (G).
3. Tautologien und modifizierte Resolution
(6 Punkte)
Eine Klausel K ist eine Tautologie genau dann, wenn es ein Literal
L gibt mit L, L ∈ K. Wir betrachten ein modifiertes Resolutionsverfahren, welches Tautologien ignoriert. Wir definieren dazu ModRes(F ) =
F ∪ {R | R ist Resolvent zweier Klauseln, die keine Tautologie sind} und
ModRes∗ (F ) auf die übliche Art. Zeigen Sie: Die modifizierte Resolution ist
vollständig und korrekt, es gilt also F ist unerfüllbar genau dann, wenn ∈
ModRes∗ (F ).
4. Weitere Verfeinerungen der Resolution
(2+2+3 Punkte)
Wir definieren verschiedene Verfeinerungen der Resolution. Die positive Resolution PosRes(F ) = F ∪ {R | R ist Resolvent von R1 , R2 wobei R1 nur positive
Klauseln enthält} resolviert nur Klauseln, falls eine der beiden Klauseln positiv
ist, d. h. keine negativen Literale enthält.
Die leere Menge ist aus einer Formelmenge F linear resolvierbar, falls es eine
Folge (K0 , K1 , . . . , Kn ) gibt mit K0 ∈ F , Kn = und Ki ist Resolvent von Ki−1
und Bi−1 . Dabei ist Bi−1 ∈ F oder Bi−1 = Kj für ein j < i.
Positive Resolution und lineare Resolution sind vollständig, d. h. für unerfüllbare
Formelmengen gibt es immer eine Herleitung der leeren Klausel basierend auf
diesen Methoden. (Dies müssen Sie nicht zeigen, dürfen es aber gerne nachlesen.
Siehe Schöning Kapitel 2.6.)
Gegeben Sei die folgende unerfüllbare Formelmenge
F = {{A, ¬B, C}, {B, D}, {¬A}, {¬B, ¬C, D}, {¬D}}.
a) Finden Sie eine Herleitung der leeren Klausel aus F mit positiver Resolution.
b) Finden Sie eine Herleitung der leeren Klausel aus F mit linearer Resolution.
c) Zeigen Sie: Die Kombination der positiven Resolution und der linearen Resolution ist nicht vollständig. D. h. es gibt eine unerfüllbare Formel, die keine
Herleitung der leeren Klausel besitzt, die beide Restriktionen einhält.
Hertrampf/Walter
Wintersemester 2011/12
Logik und Diskrete Strukturen
Votierübungen 4
Besprechung: In den Kalenderwochen 49 und 50.
1. Resolution
Gegeben seien die folgenden Klauselmengen
• F = {{A, ¬B}, {C, ¬A}, {A, B}, {¬A, ¬C}},
• G = {{¬A, B, C}, {A, B, ¬C}, {B, C}, {A}, {¬B, ¬C}},
• H = {{¬A, ¬C}, {A, B, ¬C}, {A, ¬B}, {¬A, C}, {A, B}}.
Sind die Formeln erfüllbar oder unerfüllbar? Falls die Formel erfüllbar ist, geben
Sie die Resolutionshülle an. Falls sie unerfüllbar ist, stellen Sie eine möglichst
kurze Herleitung der leeren Klausel graphisch dar.
2. Resolution auf Hornformeln
In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass der Resolvent zweier Hornformeln wieder eine Hornformel ist. Interpretieren Sie jetzt den Markierungsalgorithmus für
Hornformeln mittels Resolution. Was bedeutet eine markierte Variable für die
Resolutionshülle? Lässt sich jedem Schritt des Markierungsalgorithmus’ ein Resolutionsschritt zuweisen?
3. Grundlagen der Prädikatenlogik
Gegeben sei die Formel
F = ∀x∀y (Q(x) ∧ Q(y) ∧ P (f (x, y), a) → R(a)) .
a) Geben Sie alle Teilformeln von F an. Bestimmen Sie zu jeder Teilformel von
F die freien Variablen. Ist F eine Aussage? Geben Sie die Matrix von F an.
b) Finden Sie eine Struktur A = (UA , IA ) zu F , mit UA = N und IA (a) = n,
sodass F unter dieser Struktur genau dann wahr ist, wenn n eine Primzahl
ist.