Hertrampf/Walter Wintersemester 2011/12 Logik und Diskrete Strukturen Hausübungen 4 Abgabe: bis Donnerstag, 1. Dezember um 13:10 bei den Abgabekästen im 1. Stock 1. Saubere Abgabe (1 Punkt) Schreiben Sie Ihren Namen, die Übungsgruppe und den Tutor leserlich oben rechts auf Ihre Abgabe. Tackern Sie Ihre Abgabe links oben, falls Sie mehrere Blätter abgeben. Werfen Sie die Abgabe in den korrekten Abgabekasten im Mittelgang des 1. Stocks. 2. Unendliche Klauselmengen (4 Punkte) Sei F eine unendliche Klauselmenge und K ∈ Res∗ (F ). Zeigen Sie: Es existiert eine endliche Menge G mit G ⊂ F und K ∈ Res∗ (G). 3. Tautologien und modifizierte Resolution (6 Punkte) Eine Klausel K ist eine Tautologie genau dann, wenn es ein Literal L gibt mit L, L ∈ K. Wir betrachten ein modifiertes Resolutionsverfahren, welches Tautologien ignoriert. Wir definieren dazu ModRes(F ) = F ∪ {R | R ist Resolvent zweier Klauseln, die keine Tautologie sind} und ModRes∗ (F ) auf die übliche Art. Zeigen Sie: Die modifizierte Resolution ist vollständig und korrekt, es gilt also F ist unerfüllbar genau dann, wenn ∈ ModRes∗ (F ). 4. Weitere Verfeinerungen der Resolution (2+2+3 Punkte) Wir definieren verschiedene Verfeinerungen der Resolution. Die positive Resolution PosRes(F ) = F ∪ {R | R ist Resolvent von R1 , R2 wobei R1 nur positive Klauseln enthält} resolviert nur Klauseln, falls eine der beiden Klauseln positiv ist, d. h. keine negativen Literale enthält. Die leere Menge ist aus einer Formelmenge F linear resolvierbar, falls es eine Folge (K0 , K1 , . . . , Kn ) gibt mit K0 ∈ F , Kn = und Ki ist Resolvent von Ki−1 und Bi−1 . Dabei ist Bi−1 ∈ F oder Bi−1 = Kj für ein j < i. Positive Resolution und lineare Resolution sind vollständig, d. h. für unerfüllbare Formelmengen gibt es immer eine Herleitung der leeren Klausel basierend auf diesen Methoden. (Dies müssen Sie nicht zeigen, dürfen es aber gerne nachlesen. Siehe Schöning Kapitel 2.6.) Gegeben Sei die folgende unerfüllbare Formelmenge F = {{A, ¬B, C}, {B, D}, {¬A}, {¬B, ¬C, D}, {¬D}}. a) Finden Sie eine Herleitung der leeren Klausel aus F mit positiver Resolution. b) Finden Sie eine Herleitung der leeren Klausel aus F mit linearer Resolution. c) Zeigen Sie: Die Kombination der positiven Resolution und der linearen Resolution ist nicht vollständig. D. h. es gibt eine unerfüllbare Formel, die keine Herleitung der leeren Klausel besitzt, die beide Restriktionen einhält. Hertrampf/Walter Wintersemester 2011/12 Logik und Diskrete Strukturen Votierübungen 4 Besprechung: In den Kalenderwochen 49 und 50. 1. Resolution Gegeben seien die folgenden Klauselmengen • F = {{A, ¬B}, {C, ¬A}, {A, B}, {¬A, ¬C}}, • G = {{¬A, B, C}, {A, B, ¬C}, {B, C}, {A}, {¬B, ¬C}}, • H = {{¬A, ¬C}, {A, B, ¬C}, {A, ¬B}, {¬A, C}, {A, B}}. Sind die Formeln erfüllbar oder unerfüllbar? Falls die Formel erfüllbar ist, geben Sie die Resolutionshülle an. Falls sie unerfüllbar ist, stellen Sie eine möglichst kurze Herleitung der leeren Klausel graphisch dar. 2. Resolution auf Hornformeln In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass der Resolvent zweier Hornformeln wieder eine Hornformel ist. Interpretieren Sie jetzt den Markierungsalgorithmus für Hornformeln mittels Resolution. Was bedeutet eine markierte Variable für die Resolutionshülle? Lässt sich jedem Schritt des Markierungsalgorithmus’ ein Resolutionsschritt zuweisen? 3. Grundlagen der Prädikatenlogik Gegeben sei die Formel F = ∀x∀y (Q(x) ∧ Q(y) ∧ P (f (x, y), a) → R(a)) . a) Geben Sie alle Teilformeln von F an. Bestimmen Sie zu jeder Teilformel von F die freien Variablen. Ist F eine Aussage? Geben Sie die Matrix von F an. b) Finden Sie eine Struktur A = (UA , IA ) zu F , mit UA = N und IA (a) = n, sodass F unter dieser Struktur genau dann wahr ist, wenn n eine Primzahl ist.