A Analysis I - TU Darmstadt/Mathematik

A
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Analysis I
Prof. Dr. Burkhard Kümmerer
Katja Lengnink, Lisa Steiner, Florian Haag
21. Januar 2003
für M, HLM und PH
WS 2002/2003
11. Übungsblatt
Gruppenübungen
G1 (Rechnen mit und Veranschaulichen von Komplexen Zahlen)
a) Zeichne die Zahlen z1 := 2 − 3i, z2 := 4 + 2i, z1 + z2 , z1 · z2 und z̄1 in der Gaußschen Zahlenebene
ein.
b) Stelle die komplexen Zahlen (1 + i)4 und
(1+i)5
(1−i)3
in der Form z = x + iy dar.
c) Bestimme jeweils den Betrag und das Argument für die komplexen Zahlen z1 und z2 aus a).
d) Bestimme alle komplexen Zahlen, für die z 3 = 8i ist. (Wie viele solcher Zahlen gibt es?) Skizziere
sie in der Gaußschen Zahlenebene. Skizziere für jede dieser Zahlen auch z 2 .
G2 (Konvergenz komplexer Zahlenfolgen)
a) Definiere mit der Metrik d(z1 , z2 ) := kz1 − z2 k1 = |Re(z1 − z2 )| + |Im(z1 − z2 )| die Konvergenz
für eine Folge (zn )n∈N . (Warum ist d eine Metrik?)
2π
b) Ist die Folge (zn )n∈N mit zn := n1 (cos( 2π
n ) + i sin( n )) in C konvergent? Veranschauliche die
Folgenglieder in der Gaußschen Zahlenebene.
c) Betrachte die Folge (zn )n∈N mit zn := z n für ein festes z ∈ C. Wie sieht ihr Konvergenzverhalten
aus? Unterscheide Fälle für z.
G3 (Lösen von komplexen Gleichungen)
Berechne alle Lösungen der folgenden Gleichungen
a) z 4 − 16 = 0
b) z 2 − 4z + 13 = 0
G4 (Für Genießer zum Knobeln)
Untersuche die geometrische Wirkung der Möbius-Transformation f : C\{1} → C mit f (z) :=
Unterscheide Fälle für z:
1+z
1−z .
• Wohin wird der Rand des Einheitskreises abgebildet?
• Wohin geht das Innere des Kreises?
Hausübungen
H1 (Konvergenz von komplexen Folgen) (3 Punkte)
Überprüfe die Folgen (zn )n∈N auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihren Grenzwert.
a) zn :=
1
n
+ i sin( n6 π),
2
b) zn := ((−1)n ( 5n3n3 −1 ) + i n1 ).
H2 (Lösen komplexer Gleichungen) (3 Punkte)
Löse die folgenden komplexen Gleichungen:
a) z 6 − 9z 3 + 8 = 0 (substituiere, um auf eine quadratische Gleichung zu kommen),
b) z 2 + iz + 6 = 0.
H3 (Inversion am Kreis) (3 Punkte)
Sei K ein Kreis in der Gaußschen Zahlenebene mit dem Ursprung als Mittelpunkt und dem Radius
r. Zwei Punkte z, z̃ heißen Spiegelpunkte bezüglich K, wenn
• beide auf derselben Halbgeraden durch den Ursprung liegen und
p
p
•
Re(z)2 + Im(z)2 · Re(z̃)2 + Im(z̃)2 = r2 ist.
Betrachte die Abbildung f : C\{0} → C mit f (z) := z1 . Diese Abbildung wird auch Inversion am
Einheitskreis genannt.
a) Zeichne für die Punkte z1 := 1 + i und z2 := 12 − 2i die Spiegelbilder am Einheitskreis und die
Bilder unter f ein. Beschreibe, was die Abbildung f tut.
b) Zeige formal: Die Abbildung f ist die Verkettung zweier Abbildungen: einer Spiegelung am
Einheitskreis mit anschließender Spiegelung an der reellen Achse.
c) Bestimme f (Mi ) für M1 := {z ∈ C | Re(z)2 +Im(z)2 = 1}, M2 := {z ∈ C | Re(z)2 +Im(z)2 > 1}
und M3 := {z ∈ C | Re(z)2 + Im(z)2 < 1}. Wie sehen jeweils die Urbildmengen und ihre
Bildmengen aus? Verstehst Du nun den Namen von f ?
Hinweise zur Semestralklausur:
Die Semestralklausur findet am Dienstag, den 11.2.03 von 17-19.00 Uhr statt. Es sind keine Hilfsmittel
erlaubt, keine Bücher, keine Skripten, kein Taschenrechner, kein Kommilitone.... Handys werden bitte zu
Hause gelassen.
Ihr braucht: Euren Personalausweis und Euren Studienausweis.
Zur Vorbereitung auf die Semestralklausur arbeitet Ihr die Übungen und das skript sorgfältig noch
einmal durch. Macht Euch die wesentlichen Begriffe und Vorgehensweisen anhand von Beispielen und
Veranschaulichungen klar und übt, auch die formalen Bedingungen für etwa Konvergenz, Cauchyfolge,...
aus eurer Anschauung wieder herzuleiten und aufzuschreiben.
Sollten Fragen auftauchen, so sind diese in den immer noch nicht ausgelasteten und eigens für diese
Zwecke eingerichteten Fragenzeten gut zu platzieren:
Wer
Wann
Wo
Katharina Kühn Mo 9-10 Uhr
S2-15/301
Andrea Kronhart Mi 10-11 Uhr
S2-15/401
Beate Beutel
Fr 13.30-14.30 Uhr S2-15/217
Florian Haag
Fr 10-11 Uhr
S2-15/104
Lisa Steiner
Mi 10.30-11.30 Uhr S2-15/108
Katja Lengnink
Fr 11-12.00 Uhr
S2-15/104
Leistungsnachweise: Um der Verwirrung über die Scheinbedingungen nochmal vorzubeugen ist hier ein
Auszug aus Eurem Infoblatt:
• Für Studierende der Fachrichtung Physik wird kein Leistungsnachweis verlangt.
• Studierende der Fachrichtung Mathematik-Lehramt benötigen einen Übungsschein. Diesen erhalten
sie durch aktive und erfolgreiche Teilnahme an den Übungen, Tutorien und Minisprechstunden. Für
den Teilnahmeschein sind folgende Leistungen vorzuweisen:
1. mindestens 50 % der Hausaufgabenpunkte
2. zweimalige Mitgestaltung der Ergebnissicherung in den Übungen
3. regelmäßige Teilnahme an den Minisprechstunden
4. einmaliger Vortrag im Tutorium
• Für Studierende der Fachrichtung Mathematik-Diplom ist das Bestehen der Semestralklausur für den
Leistungsnachweis erforderlich. Wird in der Klausur die zum Bestehen erforderliche Mindestpunktzahl nicht erreicht, so können bis zu 10% der Gesamtpunktzahl durch den erfolgreichen Erwerb des
Teilnahmescheins abgegolten werden. In diesem Fall gilt die Klausur als mit der Mindestpunktzahl
bestanden. Ein nicht erworbener Teilnahmeschein kann auch nicht teilweise angerechnet werden.