Mathematik I für Informatiker, Computer

Mathematik I für Informatiker, Computervisualisten, Wirtschaftsinformatiker und
Ingenieurinformatiker WS 2012/2013
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Prof. Dr. Wolfgang Willems,
Dr. Michael Höding
Übung 1
Aufgabe 1.1 Unter Verwendung der Aussagen
p: ,,Der Student hat die Lehrveranstaltungen besucht.”
q: ,,Der Student hat gewissenhaft studiert.”
r: ,,Der Student hat die Übungsaufgaben gelöst.”
s: ,,Der Student hat die Modulprüfung bestanden.”
beschreibe man symbolisch:
(a) Wenn der Student die Lehrveranstaltungen besucht hat, gewissenhaft
studiert hat und die Übungsaufgaben gelöst hat, besteht er die Modulprüfung.
(b) Wenn der Student die Lehrveranstaltungen besucht hat, aber nicht gewissenhaft studiert hat und die Übungsaufgaben nicht gelöst hat, besteht er die Modulprüfung nicht.
(c) Der Student besteht die Modulprüfung genau dann, wenn er die Lehrveranstaltungen besucht hat, gewissenhaft studiert hat und die Übungsaufgaben gelöst hat.
Man bilde die Negation der erhaltenen Aussageverbindungen und formuliere
sie in Worten.
Aufgabe 1.2 Für folgende Tautologien und logischen Äquivalenzen von Aussagenverbindungen ist mit einer Wahrheitstafel der Nachweis zu führen:
(a) (p =⇒ ¬p) =⇒ ¬p,
(c) [(p ∧ ¬q) =⇒ (r ∧ ¬r)] ≡ (p =⇒ q),
(b) [p ∨ (q ∧ r)] ≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)],
Aufgabe 1.3 Gegeben sind die Implikationen:
(1) p → q, (2) ¬q → ¬p (Kontraposition von (1)), (3) (p ∧ ¬q) → q.
Zum Nachweis der Implikation (1) gibt es u. a. folgende Beweistechniken:
(a) Direkter Beweis: Man beweist die Implikation (1) direkt.
(b) Beweis der Kontraposition von (1): Man beweist die Implikation (2).
(c) Indirekter Beweis: Man beweist die Implikation (3).
Man zeige, daß die Implikationen (1), (2) und (3) paarweise logisch äquivalent zueinander sind.
Aufgabe 1.4 Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) Das Quadrat jeder ungeraden Zahl ergibt bei der Division durch 8 den
Rest 1. (Mithilfe eines direkten Beweises)
(b) Für jede natürlichen Zahl n ist der Ausdruck 2n3 + 4n durch 6 teilbar.
(Mithilfe eines direkten Beweises)
(c) Für alle reellen Zahlen a, b gilt: Wenn a2 < b2 ist,dann ist auch a < b.
(Mithilfe eines indirekten Beweises)
(d) Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Wenn n2 gerade ist, dann ist auch
n gerade. (Mithilfe eines indirekten Beweises)
Aufgabe 1.5 Im folgenden verwendet man die Abkürzungen M (x) : x studiert Informatik, W (x) : x ist weiblich, xJy : x kennt y , xKy : x lernt in
einer Mathematikübung mit y, xHy : x studiert mit y im gleichen Matrikel.
(a) Formulieren Sie die nachstehenden Aussagen in Worten:
(i) ∀x [ ∃y (xKy ∧ M (y) ) ∧ ∃z ( xKz ∧ W (z) ) ]
(ii) ∀x ∀y ( xKy =⇒ xJy )
(b) Schreiben Sie symbolisch auf:
(i) Wer eine Informatikstudentin ist, lernt in einer Mathematikübung
des gleichen Matrikels.
(ii) Es gibt einen Informatikstudenten, der an keiner Mathematikübung
teilnimmt.
Aufgabe 1.6 Man bestimme den Wahrheitswert der folgenden Aussagen,
wenn x, c und d reelle Zahlen bezeichnen:
(a) ∃d ∀c ∃x (x2 + cx + d = 0),
(b) ∀c ( [ ∀x {(x2 + c = 0) =⇒ [ (x = 1) ∨ (x = 2) ]} ] =⇒ c = 2 ).
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