Vorkurs zur Mathematik WS 2012/2013 Otto-von

Vorkurs zur Mathematik WS 2012/2013
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Dr. Michael Höding,
DM Michael Rother
Übungsblatt 2
2. Aussagen, Mengen und Beweise
Aufgabe 2.1 Man beschreibe symbolisch unter Verwendung der Aussagen:
p: Der Student hat die Modulprüfung bestanden.
q: Der Student hat mindestens 50 % der Übungsaufgaben gelöst.
r: Der Student hat fleißig studiert.
s: Der Student hat die Lehrveranstaltungen besucht.
(a) Wenn der Student die Lehrveranstaltungen besucht und mindestens
50 % der Übungsaufgaben gelöst hat, hat er fleißig studiert und besteht
die Modulprüfung.
(b) Der Student besteht die Modulprüfung genau dann, wenn er fleißig
studiert, die Lehrveranstaltungen besucht und mindestens 50 % der
Übungsaufgaben gelöst hat.
(c) Wenn der Student die Lehrveranstaltungen besucht hat, jedoch nicht
fleißig studiert und nicht mindestens 50 % der Übungsaufgaben gelöst
hat, besteht er die Modulprüfung nicht.
Aufgabe 2.2 Man zeige mithilfe einer Wahrheitstabelle, dass die folgenden
Aussageverbindungen immer wahr sind:
(a) (A ∧ B) ⇔ (Ā ∨ B̄),
(b) ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C).
Aufgabe 2.3 Gegeben sind die Implikationen:
(1) A ⇒ B, (2) B̄ ⇒ Ā (Kontraposition von (1)), (3) (A ∧ B̄) ⇒ B,
(4) A ∧ q̄.
Zum Nachweis der Implikation (1) gibt es u. a. folgende Beweistechniken:
(a) Direkter Beweis: Man beweist die Implikation (1) direkt.
(b) Beweis der Kontraposition von (1): Man beweist die Implikation (2).
(c) Indirekter Beweis: Man beweist die Implikation (3) oder die Konjunktion (4) führt zu einem Widerspruch.
Man zeige, daß die Implikationen (1), (2) und (3) paarweise logisch äquivalent zueinander sind.
Aufgabe 2.4 Zum Beweis einer Äquivalenz wird die Aussageverbindung
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) nachgewiesen. Zeigen Sie mithilfe einer Wahrheitstabelle, dass die Aussageverbindungen (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) ⇒ (A ⇔ B)
immer wahr ist.
Aufgabe 2.5 Man schreibe die Aussage
((((A =⇒ (B =⇒ A)) ∧ A) ∨ (B =⇒ B)) =⇒ A) ∨ B̄
logisch äquivalent unter Benutzung möglichst weniger Zeichen.
Aufgabe 2.6 Im folgenden verwendet man die Abkürzungen M (x) : x ist
männlich, W (x) : x ist weiblich, xJy : x ist jünger als y , xKy : x ist Kind
von y, xHy : x ist mit y verheiratet.
(a) Man formuliere die nachstehenden Aussagen in Worten:
(i) ∀x [ ∃y (xKy ∧ M (y) ) ∧ ∃z ( xKz ∧ W (z) ) ]
(ii) ∀x ∀y ( xKy =⇒ xJy )
(b) Man schreibe symbolisch auf:
(i) Wer einen Vater hat, hat auch eine Mutter.
(ii) Es gibt jemanden, dessen sämtliche Kinder verheiratet sind.
Aufgabe 2.7 Man bestimme den Wahrheitswert der folgenden Aussagen,
wenn x, y, c und d reelle Zahlen bezeichnen:
(a) ∃c ∀d ∃x (x2 + cx + d = 0),
(b) ∀y ( [ ∀x {(x2 + y = 0) =⇒ [ (x = 1) ∨ (x = 2) ]} ] =⇒ y = 2 ).
Aufgabe 2.8 Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) Das Quadrat jeder ungeraden Zahl ergibt bei der Division durch 8 den
Rest 1. (Mithilfe eines direkten Beweises)
(b) Die Wurzel aus 5 ist irrational. (Mithilfe eines indirekten Beweises)
(c) Ist n eine natürliche Zahl, so ist die Summe aus n und n2 eine gerade
Zahl. (Mithilfe eines direkten Beweises und mithilfe der vollständigen
Induktion)
(d) Für jede natürlichen Zahl n ist der Ausdruck 2n3 + 4n durch 6 teilbar. (Mithilfe eines direkten Beweises und mithilfe der vollständigen
Induktion)
Aufgabe 2.9 Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion:
(a) Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
P
k=1
k3 =
n2 (n+1)2
.
4
(b) Die Gültigkeit der Ungleichung:
Für alle natürlichen Zahlen n und alle nichtnegativen reellen Zahlen
a, b gilt: an + bn ≤ (a + b)n .