Mathematische Strukturen für Studierende der Statistik Christoph

Mathematische Strukturen für Studierende der Statistik
Christoph Jansen, Georg Schollmeyer
3. Übungsblatt
Aufgabe 1
(Als Selbststudiumsaufgabe gedacht, wird nicht besprochen.)
Führen Sie den Induktionsbeweis des in der Vorlesung skizzierten Beweises des Theorems
von Cantor durch und vervollständigen Sie damit den Beweis des Theorems.
Zur Erinnerng: Zeigen Sie per vollständiger Induktion über n, dass jede Funktion der in
der Vorlesung definierten Familie (φn )n∈N die lineare Ordnung (An , %n ) in (R, ≥) repräsentiert.
Aufgabe 2
Beweisen Sie Theorem 3 aus den Vorlesungsfolien:
Sei (A, %) eine lineare Ordnung und φ1 und φ2 zwei ihrer Repräsentationen in (R, ≥).
Dann gelten die folgenden Eigenschaften:
i) Es existiert eine streng monoton wachsede Funktion h∗ : im(φ1 ) → im(φ2 ), so dass
für alle a ∈ A gilt: h∗ (φ1 (a)) = φ2 (a).
ii) Ist h : im(φ1 ) → R eine beliebige streng monoton wachsende Funktion, so wird durch
φ3 (a) := h(φ1 (a)) für alle a ∈ A eine weitere reelle Repräsentation definiert.
Machen Sie sich Gedanken zur Bedeutung des eben bewiesenen Theorems. Beziehen Sie
hierbei insbesondere die Begriffe Ordinalität und Erwartungsnutzen mit in Ihre Argumentation ein.
Aufgabe 3
Betrachten Sie erneut ein Beispiel aus den Vorlesungsfolien:
Setze A := R × R und definiere eine binäre Relation ≥l auf A via
(x1 , y1 ) ≥l (x2 , y2 ) :⇔ x1 > x2 ∨ (x1 = x2 ∧ y1 ≥ y2 )
wobei mit ≥ und > die üblichen Relationen auf den reellen Zahlen bezeichnet seien.
Die Relation ≥l heißt dann lexikographische Ordnung auf A. Bearbeiten Sie folgende
Aufgaben:
a) Skizzieren Sie zunächst für einen ausgewählten Punkt (x, y) des R2 die Menge aller
bezüglch ≥l mit (x, y) in Relation stehender Punkte.
b) Beweisen Sie: (A, ≥l ) ist eine lineare Ordnung.
c) Beweisen Sie: (A, ≥l ) ist nicht in (R, ≥) repräsentierbar.
d) Diskutieren Sie die Bedeutung des eben untersuchten Beispiels.
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Mathematische Strukturen für Studierende der Statistik
Christoph Jansen, Georg Schollmeyer
3. Übungsblatt
Aufgabe 4
Beweisen Sie alle unbewiesenen Aussagen in Bemerkung auf Folie 25:
Sei A eine nicht-leere Menge, % eine Präferenzrelation auf A und B ⊂ A höchstens
abzählbar und ordnungsdicht in A bezüglich %. Dann gilt:
ˆ (A∼ , [%]) ist eine lineare Ordnung
ˆ B∼ := {[b]∼ : b ∈ B} ist h. abzählbar und ordnungsdicht in A∼ bzgl. [%]
ˆ Es existiert eine reelle Repräsentation φ∗ von (A∼ , [%])
Definiert man nun eine Funktion φ via
φ : A → R , a 7→ φ∗ ([a]∼ )
so ist durch φ eine reelle Repräsentation von (A, %) gegeben.
Aufgabe 5
Sei A eine beliebige Menge, p, q ∈ LA zwei einfache Lotterien auf A und α ∈ [0, 1]. Zeigen
Sie, dass dann durch pqα := αp + (1 − α)q wieder eine einfache Lotterie auf A definiert
wird (d.h. zeigen Sie, dass pqα ∈ LA ).
Aufgabe 6
Sei A eine nicht leere Menge, LA die Menge aller einfachen Lotterien auf A, % eine binäre
Relation auf LA die den Axiomen von Morgenstern/von Neumann genügt und u : A → R
eine Morgenstern/von Neumann-Nutzenfunktion. Zeigen Sie, dass dann v : A → R genau
dann eine weitere Morgenstern/von Neumann-Nutzenfuntion ist, wenn es b ∈ R+ und
c ∈ R gibt mit v(·) = b · u(·) + c.
Aufgabe 7
Sei A = {a1 , . . . , an } eine endliche Menge. Definiere eine (lineare1 ) Ordnung w auf LA
über ihren Striktpart A via
pAq
:⇔
∃k ∈ n : (p(ai ) = q(ai ) ∀i ∈ k − 1) ∧ p(ak ) > q(ak )
wobei wir 0 := ∅ setzen. Zeigen Sie, dass die Relation w auf LA das Stetigkeitsaxiom von
Morgenstern/von Neumann (vNM3) verletzt.
Aufgabe 8
Betrachten Sie erneut Folie 51 (Allais Paradox, Teil III ):
Beweisen Sie, dass die von den Befragten mehrheitlich geäußerten Präferenzen das Unabhängigkeitsaxiom von Morgenstern/von Neumann (vNM2) verletzen.
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Davon dürfen Sie ausgehen, vgl. Aufgabe 3.
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