Institut für Informatik Lehrstuhl f ¨ur Informatik 15 Computer

Institut für Informatik
Lehrstuhl für Informatik 15
Computer Graphik & Visualisierung
Diskrete Strukturen I
Wintersemester 2006/2007
Tutorübung 3
Seite 1 von 3
Prof. R. Westermann, J. Schneider, J. Georgii, S. Pott
TU München, 06.11.2006
Tutorübung zu Diskrete Strukturen I (Blatt 3)
Aufgabe A [* Punkte] Quadratzahlen
Beweisen Sie den folgenden Satz:
Sei n ∈ N, n ≥ 3 und n ungerade. Dann lässt sich n als Differenz zweier Quadratzahlen darstellen.
Aufgabe B [* Punkte] Überabzählbarkeit der reellen Zahlen
Zeigen Sie: Das offene Intervall [0, 1) ⊂ R ist überabzählbar.
Seite 2 von 3
Lösungen:
Aufgabe A [* Punkte] Quadratzahlen
Anwendung von Aufgabe 9 (Blatt 2):
Dort wurde gezeigt, dass für die Funktion f (n) := f (n − 1) + 2n − 1 mit f (1) = 1 für n ≥ 2 gilt:
f (n) = n2 .
Damit folgt für n ≥ 2: n2 = (n − 1)2 + 2n − 1 und schließlich für m ≥ 3 ungerade:
∃n ≥ 2 : m = 2n − 1 = n2 − (n − 1)2 .
Alternative Lösungen:
Wir geben einen konstruktiven Beweis, der jede ungerade Zahl aus zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen konstruiert.
Lemma:
N
∑ (2 · i − 1) = N 2
i=1
Beweis:
Das Lemma wurde bereits in Aufgabe 9, Blatt 2 anhand der Rekursion f (n) = f (n − 1) + 2n − 1 mit
f (1) = 1 bewiesen.
2 2
1
n −1
Zeige nun, dass 3 ≤ n ∈ N = n+
−
ist (Da n ungerade, sind diese beiden Zahlen wieder
2
2
natürliche Zahlen):
n+1
2
2
−
n−1
2
2
(n −1 )/2
(n +1 )/2
=
∑
(2 · i − 1)
−
∑
(2 · i − 1)
i=1
i=1
(n +1 )/2
=
∑
(2 · i − 1)
i=(n +1 )/2
= 2·
= n
n+1
−1
2
Quadratzahlen. Im Schritt von n − 1 nach n kommt eine Zeile mit n Punkten hinzu, und eine Spalte mit n
Punkten. Dabei zählt man allerdings den gemeinsamen Punkt doppelt, also kommen 2 · n − 1 Punkte hinzu siehe Summation.
Seite 3 von 3
Aufgabe B [* Punkte] Überabzählbarkeit
Angenommen, das Intervall [0, 1) wäre abzählbar. Dann können wir die dezimalen Repräsentationen
dieser Zahlen anordnen:
r1 = 0.d11 d12 d13 d14 . . .
r2 = 0.d21 d22 d23 d24 . . .
r3 = 0.d31 d32 d33 d34 . . .
r4 = 0.d41 d42 d43 d44 . . .
..
.
Wir konstruieren nun eine reelle Zahl, die sich von jedem Repräsentanten ri , i > 0 unterscheidet. Sei
4 dii 6= 4
r = 0.d1 d2 d3 d4 . . . mit di =
5 dii = 4.
Diese Zahl unterscheidet sich per Konstruktion von jedem Repräsentaten ri an der i-ten Stelle. Also
ist r 6= ri ∀i > 0. r ist aber offensichtlich eine reelle Zahl zwischen 0 und 1, also ist unsere Annahme,
dass [0, 1) abzählbar ist, falsch. Also ist [0, 1) (und damit R) überabzählbar.