Wissenschaftliche Berater - USPSA MultiGun Nationals

Wissenschaftliche Berater:
Prof. Holger Dette • Prof. Wolfgang Härdle
Detlef Plachky
Mathematische Grundbegriffe
und Grundsätze der Stochastik
,
Springer
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Prof. Dr. DedefPlachky
Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Institut für Mathematische Statistik
Einsteinstraße 62
48149 Münster, Deutschland
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Plachky, Detlef:
Mathematische Grundbegriffe und Grundsätze der Stochastik I Detlef Plachky. - Berlin; Heidelberg;
New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Tokio: Springer, 2001
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-42029-3
ISBN 978-3-642-56741-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-56741-4
Mathematics Subject Classification (2000): 60-01,62-01
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2001
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Vorwort
Die vorliegende Einführung in mathematische Grundbegriffe und Prinzipien
der Stochastik ist aus Veranstaltungen für Abiturienten zur Vorinformation über das Studium der Mathematik an der Universität Münster entstanden. Einen Schwerpunkt bildeten hierbei Grundbegriffe aus der Kombinatorik
und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dabei orientieren sich die kombinatorischen Überlegungen an dem zunächst behandelten Funktionsbegriff, wobei
insbesondere grundlegende kombinatorische Begriffe mit Hilfe von Funktionen (Abbildungen) erläutert werden. Den wahrscheinlichkeitstheoretischen
Überlegungen wird dagegen der vorher vorgestellte Mengenbegriff zugrunde
gelegt. Schwierigere wahrscheinlichkeitstheoretische Fragestellungen werden
mit Hilfe des Prinzips des Ein- und Ausschließens und einem Prinzip der
rekursiven Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten behandelt.
Dabei werden jedoch die vorgestellten mathematischen Grundbegriffe und
Prinzipien der Stochastik in der Hauptsache an einfachen und bekannten
Beispielen erläutert. Weniger bekannt sind allerdings Aussagen über Konvergenzordnung und Übereinstimmungsgrad von Potenz summen sowie Extremwertaufgaben im Zusammenhang mit Dreiecken, wobei gleichseitige Dreiecke
optimale Lösungen sind. Insbesondere wird ein direkter Beweis des Satzes
von Steiner-Lehmus, wonach ein Dreieck mit zwei gleichlangen Winkelhalbierenden gleichschenklig ist, angegeben, wobei alle bisher bekannten Beweise
indirekt zu sein scheinen. Bei den Aussagen über Potenzsummen handelt
es sich um Monotoniebetrachtungen von Funktionen und bei den Lösungen der betreffenden Extremwertaufgaben für Dreiecke um eine Anwendung
konvexer Funktionen bzw. eine Illustration geometrischer Wahrscheinlichkeiten. Im Vordergrund steht aber der Wahrscheinlichkeitsbegriff im diskreten
Fall. Dies trifft insbesondere auf eine neuere Kennzeichnung der Binomial-,
Poisson- und negativen Binomialverteilung mit Hilfe einer gebrochen linearen Rekursion zu, die hier vermöge wahrscheinlichkeitserzeugender Funktionen durch Lösen einer linearen Differentialgleichung behandelt wird. Weniger
bekannt ist auch die Charakterisierung der Rencontre- (Matching-) ProblemVerteilung durch die Konstanz von (faktoriellen) Momenten, die mit Hilfe
wahrscheinlichkeitserzeugender Funktionen bewiesen wird. Diese Verteilung
spielt auch bei der Illustration des Begriffs erwartungstreuer (unverfälschter) Schätzfunktionen im Zusammenhang mit dem Problem des Schätzens
VI
Vorwort
der Anzahl permutierter Objekte eine Rolle. Ferner wird auch ein erwartungstreuer Schätzer für die Mächtigkeit endlicher Mengen zusammen mit
einer Eigenschaft der eindeutigen Bestimmtheit vorgestellt. Schließlich werden alle erwartungstreu schätzbaren Funktionen in Abhängigkeit von Trefferwahrscheinlichkeiten in Bernoulli-Experimenten gekennzeichnet einschließlich der zugehörigen gleichmäßig besten, erwartungstreuen Schätzfunkti0nen. Darüberhinaus wird ein schätztheoretischer Zusammenhang mit (nach
Fermi-Dirac, Bose-Einstein und Maxwell-Boltzmann benannten) physikalischen Verteilungen hergestellt.
Werden Wahrscheinlichkeiten aufgrund {O, l}-wertiger Beobachtungswerte in Bernoulli-Experimenten schätztheoretisch beschrieben, so spielen {O, 1}wertige, stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Beschreibung der
Mächtigkeit von Mengen eine Rolle. Hier sind dabei Erhaltungssätze für die
Nicht-Meßbarkeit von Mengen unter Mengenoperationen von Interesse. Die
Attraktivität dieser Überlegungen besteht darin, daß von einem bisher ungelösten Problem ausgegangen wird, welches ohne mathematische Vorkenntnisse sofort verstanden werden kann.
Die Darstellung von mathematischen Grundbegriffen und Prinzipien der
Stochastik ist für Arbeitsgemeinschaften an höheren Schulen, aber auch zum
Selbststudium und insbesondere zur Vorbereitung auf das Mathematikstudium geeignet.
Beispiele und Aufgaben, die beim ersten Lesen zu fortgeschritten erscheinen könnten, sind mit einem * markiert und können beim ersten Lesen ausgelassen werden, ohne daß dadurch das Verständnis für die nachfolgenden
Beispiele und Aufgaben leidet.
Mancher Leser wird es als hilfreich empfinden, mathematische Sachverhalte durch Abbildungen zu illustrieren. Es soll aber bereits hier auf die Gefahr
hingewiesen werden, aus Abbildungen irrtümlich Sachverhalte zu entnehmen,
aus denen sich unmittelbar Paradoxien ergeben. Dies läßt sich, anknüpfend
an den bereits erwähnten Satz von Steiner-Lehmus, drastisch durch die Abbildung 0.1 illustrieren.
In dieser Abbildung bezeichnet M den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten m mit der Winkelhalbierenden w. Durch Fällen der Lote von M auf die
Seiten b bzw. c und Zeichnen der Verbindungsstrecken AM und BM entstehen jeweils zwei kongruente Dreiecke, woraus b = c und analog b = a folgt,
d. h. alle Dreiecke wären gleichseitig. Hier ist eine grundlegende Vorschrift
verletzt, indem anschaulich aus der Zeichnung abgelesene "Tatsachen" als
solche angesehen werden. Man kann nämlich zeigen, daß M stets auf dem
Umkreis des zugehörigen Dreiecks liegt, so daß Strecken, die positiv zu rechnen sind, bei dieser anschaulichen Schlußweise als negativ angesehen werden.
Nebenbei bemerkt mag es von Interesse sein, daß man mit Hilfe der Tatsache,
daß M auf dem Umkreis liegt, ein einfaches Konstruktionsverfahren mit Zirkel und Lineal angeben kann für ein Dreieck, von dem die Winkelhalbierende,
Vorwort
VII
c
A
a
B
Abb. 0.1. Zum "Nachweis" der Gleichseitigkeit aller Dreiecke
die Seitenhalbierende und die Höhe (von einem Dreieckspunkt aus gesehen)
bekannt sind.
Der Leser wird daher hoffentlich Verständnis zeigen, daß mathematische
Sachverhalte nur in einigen wenigen Fällen, wo eine Grafik wie beim Satz von
Steiner-Lehmus sinnvoll erscheint, durch Abbildungen illustriert werden. Es
wird aber empfohlen, sich bei Bedarf verbal ausführlich formulierte mathematische Sachverhalte durch eine eigene Skizze zu veranschaulichen.
Münster, im Frühjahr 2001
D. Plachky
Inhaltsverzeichnis
1.
Zum Prinzip der vollständigen Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Übungen ................................................... 17
2.
Zum Mengen- und Funkt ions begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
Übungen ................................................... 29
3.
Grundbegriffe der Kombinatorik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31
Übungen ................................................... 40
4.
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. . . . . . . . . .. 41
Übungen ................................................... 60
5.
Das Prinzip des Ein- und Ausschließens .................. 63
Übungen ................................................... 71
6.
Ein Prinzip zur rekursiven Bestimmung
von Wahrscheinlichkeiten . . .. . . . . . . .. . . .. .. . . . . . . . .. . . .. .. 73
Übungen ................................................... 92
7.
Ein Prinzip zur Schätzung des Umfangs
einer endlichen Menge bzw. der Anzahl
permutierter Objekte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95
Übungen ................................................... 102
8.
Ein Prinzip zur optimalen Schätzung von
Wahrscheinlichkeiten in {O,l}-wertigen
Experimenten ............................................ 105
Übungen ................................................... 120
9.
Zum Meßbarkeitsbegriff für Mächtigkeiten
von Mengen: Existenz stetiger, {O,l}-wertiger
Wahrscheinlichkeitsverteilungen .......................... 123
Übungen ................................................... 126
X
Inhaltsverzeichnis
Lösungen der Übungsaufgaben ................................
Lösungen zu Abschnitt 1 .....................................
Lösungen zu Abschnitt 2 .....................................
Lösungen zu Abschnitt 3 .....................................
Lösungen zu Abschnitt 4 .....................................
Lösungen zu Abschnitt 5 .....................................
Lösungen zu Abschnitt 6 .....................................
Lösungen zu Abschnitt 7 .....................................
Lösungen zu Abschnitt 8 .....................................
Lösungen zu Abschnitt 9 .....................................
127
127
133
135
137
140
144
147
149
155
Literaturverzeichnis .......................................... 157
Verzeichnis der Beispiele ..................................... 159
Sachverzeichnis . .............................................. 163
1. Zum Prinzip der vollständigen Induktion
Vollständige Induktion ist ein Beweisprinzip zum Nachweis der Richtigkeit
einer mathematischen Aussage in Abhängigkeit einer natürlichen Zahl. Eine
solche Aussage kann für sich allein von Interesse sein oder auch für einen
allgemeineren mathematischen Sachverhalt eine wichtige Hilfsaussage sein,
wie sich später noch zeigen wird.
Das Prinzip der vollständigen Induktion kann man sich besonders gut am
folgenden Beispiel klar machen:
Beispiel (Genaue Anzahl von Bruchvorgängen zur Zerlegung einer Tafel
Schokolade in ihre n einzelnen Stücke)
Ein Bruchvorgang ist in diesem Zusammenhang stets in horizontaler oder
vertikaler Richtung gemeint, wobei n - 1 die gesuchte genaue Anzahl ist und
damit unabhängig von den genauen Ausmaßen der Seitenlängen der Schokoladentafel. Im Fall n = 1 ist die Behauptung offenbar richtig. Unter Annahme,
daß man genau k-1 Bruchvorgänge benötigt, um eine Tafel Schokolade in ihre
k einzelnen Stücke zu zerlegen, k = 1, ... , n, folgt, daß man genau n Bruchvorgänge braucht, um eine Tafel Schokolade in ihre n + 1 einzelnen Stücke
zu zerlegen. Der erste Bruchvorgang liefert nämlich zwei Tafeln Schokolade
von jeweils nl bzw. n2 einzelnen Stücken, so daß, wegen nl + n2 = n + 1 gilt
nl s: n und n2 s: n, d. h. es werden genau nl -1 bzw. n2 - 1 Bruchvorgänge
benötigt, um die beiden Tafeln Schokolade in ihre nl bzw. n2 einzelnen Stücke
zu zerteilen. Damit ergeben sich genau 1 + nl - 1 + n2 - 1 = nl + n2 - 1 = n
Bruchvorgänge, um eine Tafel Schokolade in ihre n + 1 einzelnen Stücke zu
zerlegen.
Das Prinzip der vollständigen Induktion soll jetzt noch an einigen weiteren
Beispielen erläutert werden.
Beispiel (1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2)
Die Gleichung 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2 ist offenbar für n = 1 richtig und
liefert für den Fall, wo die natürliche Zahl n durch n + 1 ersetzt wird, die
Beziehung 1 + ... + n + (n + 1) = n + 1 + n(n + 1)/2 = (n + l)(n + 2)/2,
so daß 1 + ... + n = n( n + 1) /2 für jede natürliche Zahl zutreffend ist.
Es sollen noch fünf weitere Begründungen hierfür angegeben werden, um zu
verdeutlichen, daß eine mathematische Aussage manchmal auf verschiedene
Weisen bewiesen werden kann, nämlich:
D. Plachky, Mathematische Grundbegriffe und Grundsätze der Stochastik
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001
2
1. Vollständige Induktion
1. Arithmetisch
Ist n eine gerade natürliche Zahl, so gibt es
~
Zahlenpaare
n n
(1, n), (2, n - 1), ... , (2' 2 + 1)
mit dem Summenwert n + 1 und damit gilt 1 + ... + n = ~(n + 1). Im
Fall, wo n eine ungerade natürliche Zahl ist, gibt es n;-l Zahlenpaare
(l,n)(2,n _1), ... ,(n;-l, nt 3 ) mit dem Summenwert n + 1 sowie die
mittlere Zahl nt l , so daß sich wieder
1 + ...
n-l
n+l
2
2
+ n = - - ( n + 1) + - - = n(n + 1)/2
°
ergibt. Dabei kann man diese letzte Argumentation dadurch vereinfachen, daß man bei zu zählen beginnt. Auf diese Weise erhält man nt l
Zahlenpaare (0, n), (1, n -1), ... , (n;-l, nt l ) mit dem Summenwert n, so
daß sich unmittelbar 1 + ... + n = n( n + 1) /2 ergibt.
2. Geometrisch
In einem Quadrat der Seitenlänge n mit n 2 Quadraten jeweils der Fläche
1 erhält man den Summenwert von 1 + ... + n, indem man die Hälfte
2
der Gesamtfläche, also ~ , um die Hälfte der Flächen der die Diagonale
in nordöstlicher Richtung begleitenden n Einzelquadrate vermehrt, d. h.
1 + ... + n = ~2 + ~ = n(n + 1)/2.
3. Rekursiv
Bezeichnet Sn den Summenwert von 1 + ... + n, so gilt
Sn+l - Sn
= n + 1, n = 0,1, ... , mit
So
= 0.
Es liegt daher nach den obigen Überlegungen für den Wert von Sn nahe,
den Ansatz Sn = a o + aln + a2n2 mit den Unbekannten ao , al, a2 zu
wählen.
Der Spezialfall n = liefert dann a o = und damit erhält man
°
Sn+! - Sn
°
°
= al + (2n + l)a2 = n + 1,
woraus für n = bzw. n = 1 die Gleichungen al +a2 = 1 und al +3a2 = 2
folgen. Als Lösung für die Unbekannten al, a2 ergeben sich al = a2 = ~
2
und damit wieder Sn = ~ + ~ = n(n + 1)/2.
Übrigens gibt es keine weitere Lösung t n mit t n+1 - t n = n + 1 für
jedes n = 0,1,2, ... , und t o = 0. Für die Differenz dn = Sn - t n erhält
man nämlich dann dn + l = dn für jedes n = 0,1,2, ... , woraus, wegen
do = So - t o = 0, folgt dn = 0, also Sn = tn, für jedes n = 0,1,2, ....
Ferner trifft auf Sn = n(n + 1)/2 die Beziehung sn+! - Sn = (n + 1)(n +
2)/2 - n(n + 1)/2 = n + 1 zu.
1. Vollständige Induktion
3
4. Kombinatorisch
Zunächst soll überlegt werden, daß es genau n(n2-1) zweielementige Teilmengen der Menge {l, 2, ... ,n} gibt. Dazu kann man von allen n( n + 1)
geordneten Paaren (i,j), i -I j, i = 1, ... ,n, j = 1, ... ,n, ausgehen,
aus denen dann die n(n2-1) zweielementigen Teilmengen {i,j}, i -I j, i =
1, ... ,n, j = 1, ... ,n, entstehen. Daher besitzt die Menge {I, 2, ... ,n+ I}
genau n(n2+1) zweielementige Teilmengen, die man auch folgendermaßen
klassifizieren kann: Es gibt genau n zweielementige Teilmengen der Menge {l, 2, ... , n + I}, die das Element n + 1 enthalten sowie genau n - 1
zweielementige Teilmengen der Menge {I, 2, ... , n}, die das Element n
enthalten und allgemein genau k zweielementige Teilmengen der Menge
{I, 2, ... ,k + I}, die das Element k enthalten, k = 1,2, ... ,n. Also trifft
"n k _ n(n+l)
L..k=l
- - 2 - zu.
5. Analytisch
Für die Partialsummen der geometrischen Reihe gilt L~=o x k = xnx+~~l,
wobei diese Beziehung für alle reellen Zahlen x -11 zutrifft. Hieraus folgt
durch Differenzieren
d
n
(-d ~ x
x 6
d x n+1 - 1
n
k
)x=l
k=O
= 6~ k = x--tl
lim -d (
X
k=l
.
= hm
x--tl
x-I
)
nx n+1 - (n + 1 )xn
(x-l)2
+1
---,----'---:-=-----
und daher nach der Regel von de I'Hospital
n k
~
6
k=l
..4.(nxn+1
_ (n + l)x n + 1)
= lim -,od"'
-x_ _----:_ _ _ _ _ __
..4.(x-l)2
x--tl
dx
= lim n(n + l)x n - 1 = n(n + 1) .
x--tl
2
2
Als Anwendung von 1 + ... + n = n( n + 1) /2 für jede natürliche Zahl
n soll folgendes Wägungsproblem gelöst werden: Wie stellt man mit einer
einzigen Wägung fest, welcher von n Stapeln von je n(n > 1) Münzen aus
gefälschten Münzen besteht, wenn das Folgende bekannt ist: Genau ein Stapel der n Stapel besteht aus gefälschten Münzen, wobei sich alle gefälschten
Münzen jeweils um den absoluten Gewichtsunterschied d von dem Gewicht einer echten Münze unterscheiden. Neben d ist auch das Gewicht g einer echten
Münze bekannt. Wählt man nun vom ersten Stapel eine Münze, vom zweiten
Stapel zwei Münzen, ... , vom n-ten Stapel alle n Münzen aus und stellt das
Gesamtgewicht G fest, so ergibt sich für den unbekannten v-ten Stapel mit
den gefälschten Münzen die Bestimmungsgleichung n(n~l)g ± vd = G und
damit ±v = (G - n(n~l)g)/d, wobei man noch über den Fall "+" bzw. "-"
zusätzlich die Information erhält, daß die gefälschten Münzen zu schwer bzw.
zu leicht sind.
4
1. Vollständige Induktion
Ist übrigens d unbekannt, so kommt man mit der zusätzlichen Wägung
aus, indem man vom ersten Stapel alle n Münzen auswählt, vom zweiten
Stapel n - 1 Münzen auswählt, ... , und schließlich vom n-ten Stapel eine
Münze auswählt. Ist G' das zugehörige Gewicht und besteht der v-te Stapel
aus gefälschten Münzen, so gilt
n(n; l)g ± (n _ v + l)d = G',
woraus
n(n + 1)g ± (n
also
+ 1)d = G + G',
±d = G + G' - n(n + 1)g
n+1
und
G_
v=
n(n+!)g
2
G+G'- n (n+1)g
(n+1)
folgt.
Eine weitere Anwendung von 1 + ... + n = n( n + 1) /2 betrifft nach Steiner
das folgende geometrische Problem: In wieviele durch Geraden begrenzte Gebiete wird die Ebene höchstens von n Geraden zerlegt? Zur Berechnung der
maximalen Anzahl an stellt man folgendermaßen eine rekursive Beziehung
zu an+l her: Die zusätzliche (n + 1)-te Gerade wird von den übrigen n Geraden in n verschiedenen Punkten geschnitten, da man zur Bestimmung von
an+! annehmen kann, daß sich jeweis zwei der n + 1 Geraden in einem Punkt
schneiden und daß alle Schnittpunkte verschieden sind. Orientiert man sich
an den n verschiedenen Schnittpunkten der n Geraden mit der (n + l)-ten
Geraden, so entstehen zusätzlich n + 1 durch Geraden begrenzte Gebiete.
Also gilt die rekursive Beziehung
an+l
also
an+!
+ n + 1 = an-l + n + n + 1
+ n - 1 + n + n + 1 = al + 2 + 3 + ... + n + 1,
=
an
=
a n -2
= 1 + 1 + 2 + ... + n + 1 wegen
an+l
und damit
al
= 2, d. h.
(n+l)(n+2)
= 1+
2
an =1+ n (n+1)
2
.
Als weiteres Beispiel für vollständige Induktion kann man im Zusammenhang
mit dem eben betrachteten geometrischen Problem das folgende Färbungsproblem behandeln.
1. Vollständige Induktion
5
Beispiel (Färbungsproblem )
Das hier betrachtete Färbungsproblem besagt, daß bei n Geraden alle die
durch Geraden begrenzten Gebiete mit nur zwei Farben so gefärbt werden
können, daß jeweils zwei längs eines Geradenstücks benachbarte Gebiete verschiedene Farben haben (reguläre Färbung). Dies ist für n = 1 offenbar zutreffend und bei n + 1 Geraden lassen sich die bei Wegnahme einer Geraden
verbleibenden beiden Gebiete nach Induktionsannahme regulär färben. Färbt
man nunmehr noch eines dieser bei den Gebiete durch vertauschen der beiden
Farben um, so entsteht insgesamt durch die n + 1 Geraden ein Gebiet mit
regulärer Färbung.
Beispiel (Beweis von Cauchy für die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel)
Bezeichnen al, ... , an positive, reelle Zahlen, so soll die Ungleichung (al· ... ·
an)l/n :S (al + ... + an)/n bewiesen werden, wobei (al + ... + an)/n bzw.
(al· .... an)l/n arithmetisches bzw. geometrisches Mittel der al, ... , an heißt.
Für diese Ungleichung kann man auch kürzer (TI7=1 ai)l/n :S (~~l ai)/n
schreiben, wenn man zur Abkürzung al +.. ·+an = ~7=1 ai bzw. al··· .·an =
TI7=1 ai setzt. Es wird zunächst der Spezialfall (TI;:1 bi )I/2n :S (~;:l bi )/2n
für positive, reelle Zahlen bl , ... ,b2 n behandelt. Im Fall n = 1 hat man also
(b l b2)1/2 :S (bI + b2)/2 zu zeigen, was aber mit hb2 :S (bI + b2)2/4, also mit
(bI - b2)2 2: 0 gleichwertig ist. Ausgehend von der Voraussetzung, daß
(II b )I/2 :S (2: b )/2n
2n
2n
n
i
i
i=l
i=l
für positive, reelle Zahlen bl , ... ,b2 n zutreffend ist, soll jetzt die Gültigkeit
von
(rr
2 n +1
(rr
2 n +1
bi )1/2 + :S
1
n
i=l
bi )/2 n +l
i=l
für positive, reelle Zahlen bl , ... ,b2 n+l gezeigt werden. Dies folgt aus
2n + 1
(2: bi )/2 n+1 =
2n
2n + 1
i=l
i=2 n +1
~((2:bi)/2n + (
i=l
(II bi )I/2
n
+1
• (
i=l
(rr
2 n +1
=
i=l
bi )/2 n )
2n +1
2n
2:
L
bd/ 2n + 1
II
bi )I/2 n +1
6
1. Vollständige Induktion
Damit ist
i=l
i=l
für positive, reelle Zahlen b1 , ... , b2 n bewiesen. Hieraus ergibt sich folgendermaßen
für positive, reelle Zahlen al, ... , an : Man führe positive, reelle Zahlen
b1, ... ,b2n gemäß bi = ai, i = 1, ... ,n, und bi = C'E.7=laj)/n, ~ =
n + 1, ... , 2n , ein. Nach dem bereits Bewiesenen ergibt sich dann
i=l
i=l
woraus, wegen
n
2n
n
II bi = (II ai) . ((L ai)/n)2 -n
n
i=l
i=l
i=l
und
i=l
i=l
die Ungleichung
n
n
n
(II ai)1/2 ((L ai)1-n/2 ~ (L ai)/n,
n
i=l
also
und damit schließlich
n
•
i=l
i=l
n
n
i=l
i=l
n
n
i=l
i=l
folgt. Bei diesem auf Cauchy zurückgehenden Beweis wird die Ungleichung
2n > n für jede natürliche Zahl n benutzt, die nun als weiteres Beispiel zur
vollständigen Induktion behandelt wird.
Beispiel (2 n > n)
Im Fall n = 1 erhält man 2 > 1 und aus der Gültigkeit von 2n > n für eine
natürliche Zahl n ergibt sich 2n + 1 > 2n, woraus, wegen 2n 2': n + 1, was mit
n 2': 1 gleichwertig ist, die Beziehung 2n+1 > n+ 1 folgt, so daß 2n > n für jede natürliche Zahl n zutrifft. Übrigens kann man die Ungleichung 2n > n für
jede natürliche Zahl n auch kombinatorisch folgendermaßen beweisen: Beim
1. Vollständige Induktion
7
n-fachen Münzwurf gibt es insgesamt 2n Möglichkeiten, wenn man beachtet,
daß bei jedem einzelnen Münzwurf jeweils zwei Möglichkeiten existieren. Bezeichnet nämlich an die betreffende Anzahl an Möglichkeiten beim n-fachen
Münzwurf, so ist die Behauptung an = 2n für n = 1 richtig und aus an = 2n
folgt an+l = 2n + 2n = 2n+1. Vergleicht man die 2n Möglichkeiten insgesamt
mit den n Spezialfällen, wo genau beim k-ten Münzwurf "Kopf" vorkommt
(und sonst "Zahl"), k = 1, ... , n, so folgt hieraus 2n > n für jede natürliche
Zahl n.
Bezeichnet nun A( n) in Abhängigkeit von der natürlichen Zahl n eine
(mathematische) Aussage, wie z. B., daß 1 + ... + n = n(n + 1)/2 gilt, daß
2n > n gilt, oder, daß die genaue Anzahl von Bruchvorgängen zur Zerlegung
einer Tafel Schokolade in ihre n einzelnen Stücke n-1 beträgt, bzw., daß für n
positive, reelle Zahlen al, ... ,an die Ungleichung (I1~=l ay/n :s: (L~=I ai)/n
zutrifft, und kann man beweisen:
1. A(n) ist für n = 1 gültig (Induktionsanfang),
2. aus der Gültigkeit von A(k) für k = 1, ... , n folgt die Gültigkeit von
A(n + 1) (Induktionsschritt n -+ n + 1),
so ist A( n) für jede natürliche Zahl n gültig (Prinzip der vollständigen Induktion). Zur Begründung geht man am besten davon aus, daß A(n) nicht für alle
natürlichen Zahlen n gilt. Dann gibt es darunter eine kleinste natürliche Zahl
nl, die, wegen des Induktionsanfangs, größer als 1 ist. Damit trifft A(k) für
alle k = 1, ... , nl - 1 zu, so daß nach dem Induktionsschritt n -+ n + 1 auch
A( nl) gilt, was aber einen Widerspruch darstellt. Manchmal ist es notwendig,
den Induktionsanfang statt mit der natürlichen Zahl 1 mit einer natürlichen
Zahl n o zu beginnen, wobei dann auch beim Induktionsschritt n -+ n + 1 aus
der Gültigkeit von A(k) für k = n o , ... , n (für eine natürliche Zahl n 2: n o )
die Gültigkeit von A(n + 1) zu schließen ist. In solch einem Fall hat man
dann die Gültigkeit von A( n) für jede natürliche Zahl n 2': n o bewiesen. In
den meisten Fällen kann man beim Induktionsschritt n -+ n + 1 bereits aus
der Gültigkeit von A(n) (anstelle von A(k) für k = 1, ... , n) auf die Gültigkeit von A( n + 1) schließen. Lediglich das Schokoladenbeispiel benötigte die
verfeinerte Argumentation. Für den Beweis des Prinzips der vollständigen
Induktion ist die Tatsache benutzt worden, daß eine (nicht leere) Teilmenge
der Menge der natürlichen Zahlen eine kleinste natürliche Zahl besitzt. Dies
leitet zum nächsten Abschnitt, den Mengenbegriff betreffend, über.
Zuvor soll noch zur weiteren Illustration der Eigenschaft der Menge 1N
aller natürlichen Zahlen, wonach jede Teilmenge von 1N ein kleinstes Element
besitzt, gezeigt werden, daß Vk für jede natürliche Zahl k, die keine Quadratzahl ist, also k -# n 2 für jede natürliche Zahl n, keine rationale ist, d. h.
daß Vk nicht von der Gestalt !!:!:
mit m, n als natürliche Zahl ist.
n
8
1. Vollständige Induktion
Beispiel (Irrationalität von
Jk
für jede natürliche Zahl k, die keine
Quadratzahl ist)
Es wird zur Annahme, daß Jk = !!f: mit m, n als natürliche Zahlen und mit
k als natürlicher Zahl, die keine Quadratzahl ist, folgendermaßen ein Widerspruch hergestellt: Es bezeichne mo die kleinste natürliche Zahl der Menge
aller natürlichen Zahlen m, so daß es eine natürliche Zahl n gibt mit Jk = !!f:.
Ist no die zugehörige natürliche Zahl mit Jk = !!!Q,
no so wird gezeigt, daß
(Jk - [Jk])mo und ~ (Jk - [Jk])mo natürliche Zahlen sind, wobei offenbar
zutrifft. Dies ist dann ein Widerspruch zur Wahl von mo, da Jk - [Jk] <
1 gilt, denn [Jk] bezeichnet den ganzzahligen Anteil von Jk, also die
größte natürliche Zahl, die kleiner als Jk ist. Da Jk keine Quadratzahl ist,
trifft insbesondere Jk - [Jk] > 0 zu, so daß auch (Jk - [Jk])mo > 0 und
~ (Jk - [Jk])mo > 0 gilt. Es bleibt noch zu zeigen, daß (Jk - [Jk])mo und
~( Jk - [Jk])mo natürliche Zahlen sind. Zu diesem Zweck beachtet man,
daß ~
= no zutrifft und damit
(Jk - [Vk])mo = kno - [Vk]mo
und
gilt.
Eine geometrische Anwendung der Irrationalität von v'3 nach Lucas besteht im Nachweis, daß man kein gleichseitiges Dreieck mit Eckpunkten in den
Gitterpunkten eines Schachbretts findet. Man erreicht nämlich sonst folgendermaßen einen Widerspruch: Legt man einen Eckpunkt des als gleichseitig
angenommenen Dreiecks in den Nullpunkt und bezeichnet a den zugehörigen
Dreieckswinkel von der Größe i, so gilt, wegen a = ß-"(, mit ß, "( als Winkel,
die zwischen den vom Nullpunkt ausgehenden beiden Dreieckseiten mit der
daß
Abszissenachse gebildet werden, zusammen mit tga = v'3 =
v'3 eine rationale Zahl ist. Die Zahlen tgß, tg"( sind nämlich nach Annahme
rational.
Eine geometrische Anwendung der vollständigen Induktion, die ebenfalls
zum Mengenbegriff des nächsten Abschnitts überleitet, betrifft eine Aussage
von Helly über die Existenz eines gemeinsamen Punktes von konvexen Punktmengen in der Ebene. Dabei heißt eine Punktmenge K in der Ebene konvex,
falls mit zwei Punkten von K auch die Strecke zwischen den bei den Punkten
zu K gehört. Mit Hilfe vollständiger Induktion soll nun gezeigt werden, daß n
konvexe Punktmenten in der Ebene einen gemeinsamen Punkt besitzen, falls
;J{;Jfl'r'
1.
Vollständige Induktion
9
jeweils drei der konvexen Punktmengen einen gemeinsamen Punkt enthalten.
Diese geometrische Anwendung der vollständigen Induktion ist Gegenstand
des nachfolgenden Beispiels.
Beispiel (Existenz eines gemeinsamen Punktes von konvexen Punktmengen in der Ebene nach Helly)
Es wird zunächst als Induktionsanfang gezeigt, daß 4 konvexe Punktmengen K o, K 1 , K 2 , K 3 der Ebene einen gemeinsamen Punkt besitzen, falls Po
ein gemeinsamer Punkt von K 1 , K 2 , K 3 , P1 ein gemeinsamer Punkt von
K o, K 2 , K 3 , P2 ein gemeinsamer Punkt von K o, K 1 , K 3 , und P3 ein gemeinsamer Punkt von K o, K 1 , K 2 ist. Die Konvexität der Punktmengen
K o, K 1 , K 2 , K 3 impliziert, daß das Dreieck mit den Endpunkten Po, P 1 , P2
in K 3 , das Dreieck mit den Endpunkten Po, P1 , P3 in K 2 , das Dreieck mit
den Endpunkten Po, P2 , P3 in K 1 und das Dreieck mit den Endpunkten
P1 , P2 , P3 in K o enthalten ist. Im Folgenden werden die beiden Fälle unterschieden:
1. Einer der Punkte Po, P1 , P2 , P3 liegt im Dreieck, das von den anderen
Punkten gebildet wird. Liegt z. B. Po in dem Dreieck mit den Endpunkten
P1 , P2 , P3 , dann gehört Po zu K o, K 1 , K 2 , K 3 , auch im Fall, wo das
Dreieck mit den Endpunkten P1 , P2 , P3 ausgeartet als Strecke vorliegt.
2. Keiner der Punkte Po, P1 , P2 , P3 liegt in dem Dreieck, das von den anderen Punkten gebildet wird. Also bilden die Punkte Po, P1 , P2 , P3 die
Eckpunkte eines konvexen Vierecks. Dann gehört aber der Schnittpunkt
der Diagonalen dieses Vierecks zu K o, K 1 , K 2 , K 3 .
Damit ist der Induktionsanfang als zutreffend nachgewiesen, so daß man jetzt
von konvexen Punkt mengen K o, K 1 , ... , K n , K n +1 ausgehen kann mit n 2': 4,
wobei je drei von ihnen einen gemeinsamen Punkt haben. Bezeichnet K~ die
gemeinsame Punkt menge von K n und K n +1, so sind K o, K 1 , ... , K n - 1 , K~
konvexe Punktmengen der Ebene mit der Eigenschaft, daß je drei von ihnen einen gemeinsamen Punkt haben, wenn man beachtet, daß der Induktionsanfang als zutreffend bewiesen worden ist. Daher besitzen nach Induktionsvoraussetzung K o, K 1 , ... ,Kn - ll K~ einen gemeinsamen Punkt, der dann
auch allen Punktmengen K o, K 1 , ... , K n - 1 , K n , K n +1 angehört, womit gezeigt worden ist, daß n konvexe Punktmengen der Ebene einen gemeinsamen
Punkt besitzen, falls je drei von ihnen einen gemeinsamen Punkt haben.
Übrigens bleibt die Aussage für beliebig viele konvexe Punktmengen der
Ebene richtig, falls wenigstens eine der konvexen Punktmengen beschränkt
ist, d. h. in einem hinreichend großen Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt enthalten ist. Dies liegt an einer Aussage von Bolzano-Weierstraß,
wonach eine beschränkte Folge von Punkten der Ebene einen Häufungspunkt
besitzt.
Als Anwendung der soeben bewiesenen Aussage von Helly für endlich viele
konvexe Punktmengen der Ebene wird noch die folgende, auf Jung zurückgehende Aussage bewiesen: Haben n Punkte der Ebene die Eigenschaft, daß je