Ubungen zur Analysis 4

TU Ilmenau
Prof. Dr. Carsten Trunk
Florian Kelma
Sommersemester 2015
Übungen zur Analysis 4
Blatt 2 (Untermannigfaltigkeiten)
Aufgabe 3 ( 3 + 3 + 3 + 4 Punkte )
(i) Zeigen Sie: Der Graph M einer stetig differenzierbaren Abbildung f : U → Rm , U ⊆ Rn
offen, ist eine Untermannigfaltigkeit von Rn × Rm der Dimension n.
(ii) Zeigen Sie: Der Kegel K = {x ∈ Rn+1 : x21 +. . .+x2n = x2n+1 } ist keine Untermannigfaltigkeit
in Rn+1 .
(iii) Welche der folgenden Ziffern sind (als Linien aufgefasst) Untermannigfaltigkeiten des R2 ?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
(Ausnahmsweise dürfen Sie hier anschaulich argumentieren.)
(iv) Sei M (n) der Vektorraum der quadratischen n × n-Matrizen mit reellwertigen Einträgen.
Zeigen Sie: Die spezielle lineare Gruppe SL(n) := {A ∈ M (n) : det(A) = 1} ist eine
(n2 − 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit in M (n).
Aufgabe 4 ( 4 + 5 Punkte )
(i) Zeigen Sie: Der Torus
p
T = {(x, y, z) ∈ R3 : ( x2 + y 2 − 2)2 + z 2 = 1}
ist eine Untermannigfaltigkeit des R3 . Bestimmen Sie ihre Dimension.
p
(ii) Es seien 0 < r < R < ∞, T̃ := {(x, y, z) ∈ R3 : ( x2 + y 2 − R)2 + z 2 = r2 } und


(R + r cos y) cos x
2
3
f : R → R , f (x, y) :=  (R + r cos y) sin x  .
r sin y
Zeigen Sie, dass das Bild der Abbildung g : R → R3 , g(t) := f (t, αt) für α ∈ Q eine
Untermannigfaltigkeit des R3 ist, für α ∈ R \ Q jedoch nicht.
Abgabe: Dienstag, 5. Mai 2014 zu Beginn der Vorlesung
Die Übungsblätter finden Sie in elektronischer Form unter der Adresse:
http://www.tu-ilmenau.de/orsto/team/florian-kelma/