Semestralklausur zu Logik

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Vorname:
Matr.-Nr.:
Universität Duisburg-Essen
Ingenieurwissenschaften / Informatik
Dozent: Prof. Dr. Barbara König
WS 2013/2014
11. Februar 2014
Klausur
Semestralklausur zu Logik
Hinweise:
• Es gibt 5 Aufgaben, für die insgesamt 40 Punkte zu vergeben sind.
• Zur Bearbeitung der Aufgaben stehen Ihnen 120 Minuten zur Verfügung.
• Die Klausur ist bestanden, wenn 50% der Punkte (also 20 Punkte) erreicht werden.
• Fertigen Sie alle Lösungen selbständig an. Plagiate können auch nach Abgabe der
Klausur identifiziert werden und führen zu einer Bewertung der Klausur mit null
Punkten.
Aufgabe 1
Kurze Behauptungen
(8 Punkte)
(a) Seien F und G zwei aussagenlogische Formeln, so dass F erfüllbar aber nicht gültig ist,
und G gültig ist. Nehmen Sie Stellung zu den folgenden Behauptungen über F und G.
Geben Sie jeweils eine kurze Begründung an; bei unwahren Behauptungen reicht ein
Gegenbeispiel als Begründung aus. Antworten ohne Begründung erhalten keine Punkte.
(1) F und G sind äquivalent.
(1 p)
(2) F und G sind erfüllbarkeitsäquivalent.
(1 p)
(3) ¬F ist unerfüllbar.
(1 p)
(b) Sei H eine beliebige prädikatenlogische Formel. Nehmen Sie Stellung zu den folgenden
Behauptungen über H. Geben Sie jeweils eine kurze Begründung an; bei unwahren
Behauptungen reicht ein Gegenbeispiel als Begründung aus. Antworten ohne Begründung
erhalten keine Punkte.
(1) Es gibt eine zu H erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemform.
(1 p)
(2) Es gibt eine zu H äquivalente Formel, die keine Existenzquantoren enthält.
(1 p)
(3) Wenn es eine Struktur A gibt, so dass A(H) = 0, dann ist H unerfüllbar.
(1 p)
(c) Sei M eine unendliche Menge aussagenlogischer Formeln. Nehmen Sie Stellung zu den
folgenden Behauptungen über M . Geben Sie jeweils eine kurze Begründung an; bei
unwahren Behauptungen reicht ein Gegenbeispiel als Begründung aus. Antworten ohne
Begründung erhalten keine Punkte.
(1) Wenn M erfüllbar ist, dann gibt es eine endliche Teilmenge M 0 ⊆ M , die erfüllbar
ist.
(1 p)
(2) Wenn M unerfüllbar ist, dann gibt es eine endliche Teilmenge M 0 ⊆ M , die unerfüllbar
ist.
(1 p)
1
Aufgabe 2
Wahrheitstafeln
(8 Punkte)
(a) Gegeben seien die Formel
F1 = (¬(A → B) ∧ C) ↔ C
und F2 = ¬(C ∧ (A → (B ∨ ¬C)))
Zeigen Sie, mit Hilfe einer Wahrheitstafel, dass F1 ≡ F2 .
Begründen Sie Ihre Antwort indem Sie die von Ihnen benutzte Wahrheitstafel angeben
und beschreiben Sie, wie aus dieser Wahrheitstafel F1 ≡ F2 folgt.
(4 p)
(b) Gegeben sei die folgende Wahrheitstafel für die Formel G und H:
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
1
1
1
0
1
1
1
G
0
0
1
0
0
0
1
0
(1) Geben Sie möglichst kurze (max. 10 Zeichen) Formeln F und G an, so dass sie die
oben angegeben Wahrheitstafel haben.
(2 p)
(2) Gilt F |= G, G |= F oder F ≡ G? Begründen Sie kurz Ihre Antwort.
(1 p)
(c) Sei H eine beliebige aussagenlogische Formel mit 8 Variablen. Wieviele Zeilen hat die
Wahrheitstafel von H?
(1 p)
Aufgabe 3
Normalformen
(8 Punkte)
(a) Sei die folgende Formel F gegeben:
F = ((A ∧ B) → C) ∧ ((¬C ∨ D) → ¬A)
Wandeln Sie diese Formel F mit Hilfe der Äquivalenzgesetze aus der Vorlesung in zwei
äquivalente Formeln F 0 und F 00 um, so dass die Formel F 0 in konjunktiver sowie die
Formel F 00 in disjunktiver Normalform ist. Geben Sie bei der Umwandlung ausreichend
Zwischenschritte und die verwendeten Äquivalenzgesetze an.
(4 p)
(b) Sei die folgende Formel G gegeben:
G = ∀x
∃y R(y, x) → ∃y R(x, y) ∧ ∀z R(x, z) → P (z)
Geben Sie für die Formel G eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Klauselform an. Geben
Sie dabei außerdem jeweils die folgenden Formeln als Zwischenschritte an:
• eine zu G äquivalente, bereinigte Formel,
• eine zu G äquivalente Formel in Pränexform und
• eine zu G erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemform.
2
(4 p)
Aufgabe 4
Strukturen und Modelle
(8 Punkte)
In dieser Aufgabe ist P ein einstelliges Prädikatsymbol, R ein zweistelliges Prädikatsymbol, f
ein einstelliges Funktionssymbol, g ein zweistelliges Funktionssymbol und a eine Konstante.
(a) Gegeben seien die folgende Strukturen A und B:
• A = (N0 , IA ), wobei die Prädikate und Funktionsymbole folgende Interpretationen
haben:
P A = {x ∈ N0 | x ist eine Primzahl}
RA = {(x, y) ∈ N0 × N0 | x ≤ y}
g A (x, y) = x · y
aA = 2
• B = (UB , IB ), wobei UB = {Frosch, Frog, Kikker , Grenouille} und die Prädikate und
Funktionsymbole folgende Interpretationen haben:
P B = {Frosch, Frog, Kikker }
RB = {(Frog, Frosch), (Frog, Kikker ), (Kikker , Frosch), (Grenouille, Frog)}
g B (x, y) = Frosch
(für alle x, y ∈ UB )
B
a = Frosch
Geben Sie jeweils für die folgenden Formeln F1 , F2 an, ob A |= Fi und ob B |= Fi . (Es ist
auch möglich, dass keine oder beide Aussagen gelten.)
(1) F1 = ∀x ∃y g(a, y) = x → x = a ∨ ¬P (x)
(2 p)
(2) F2 = ∀x∀y R(x, y) ∧ P (x) → P (y)
(2 p)
Hinweis. Die Menge N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} ist die Menge aller natürlichen Zahlen. Eine
natürliche Zahl n > 1 ist eine Primzahl, falls sie nur durch 1 und durch sich selbst teilbar
ist. Die erste 5 Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7 und 11.
Ein Frosch ist ein Tier aus der Klasse der Amphibien. Obwohl Frösche wechselwarme
Tiere sind, auch kaltblütig genannt, kommen sie nicht in der Antarktis vor. Sonst fühlen
sie sich überall auf der Erde sehr wohl, außer in Frankreich, wo ihre Oberschenkel (cuisses
de grenouille) eine Delikatesse sind.
(b) Gegeben seien die Formeln
G1 = ∀x ∃y R(x, y) → P (f (x))
G2 = ∀x R(x, f (x)) → P (f (x))
Zeigen Sie, indem Sie eine geeignete Struktur angeben, dass G1 6≡ G2 .
3
(4 p)
Aufgabe 5
Resolution
(8 Punkte)
(a) Zeigen Sie, mit Hilfe aussagenlogischer Resolution, dass die folgende Klauselmenge nicht
erfüllbar ist:
{A}, {¬A, ¬B, ¬C}, {¬A, C}, {B, D}, {B, ¬D}
(3 p)
(b) Zeigen Sie, mit Hilfe prädikatenlogischer Resolution, dass die folgende Klauselmenge nicht
erfüllbar ist:
{¬Q(b)}, {¬P (f (f (a))), Q(y)}, {¬P (x), P (f (x))}, {R(y, z), Q(z)}, {¬R(x, y), P (x)}
(In der obigen Klauselmenge sind P , Q und R Prädikatsymbolen, a eine Konstante, f ein
Funktionssymbol und x, y und z Variablen.)
(5 p)
(Insgesamt werden für diese Klausur 40 Punkte vergeben.)
4