Roter Faden Elektrostatik 9 - Evangelische Schule Frohnau

Roter Faden Physik
Elektrostatische Felder
9. Auflage
Elektrische Ladung, Elektrisches Feld, Kondensator
Mit Aufgaben und Lösungen
von
Dr. Ortwin Fromm
Evangelische Schule Frohnau, Berlin
 Copyright, Ortwin Fromm. [email protected]
http://www.ev-frohnau.de/Projekte-Physik,rotefaedenphysik.html
1
A) Das Atom als Ursprungsort der elektrischen Ladung.
Körper sind aus Atomen aufgebaut. Ein Atom besteht aus einem elektrisch positiv geladenen Kern
und einer elektrisch negativ geladenen Elektronenhülle. Von jeder elektrischen Ladung geht eine
elektrische Kraft aus. Kern und Hülle ziehen sich an und sorgen für den Zusammenhalt des Atoms.
Die Elektronen stoßen sich ab und sorgen für das Volumen der Hülle. Außerhalb heben sich die
Kraftwirkungen auf, wodurch das Atom nach außen neutral erscheint. Die Abtrennung bzw. Anlagerung von Elektronen vom (ans) Atom heißt Ionisation. Die Elektrizität ist also im Atom verborgen, sie tritt erst heraus, wenn wir Atome „zerstören. „Elektrizität ist also Atomphysik“. Weil man
das ganze 19. Jahrhundert zu ihrem Verständnis brauchte, heißt dieses „elektrisches Jahrhundert“.
Das Atom
Äußere Elektronenhülle. Entscheidend
für elektrisches Leitvermögen, chemische Bindung und Ionisationsfähigkeit
−e
Erzeugung
eines positiven Ions
Atomrumpf
= Atomkern + innere Elektronen
Innere Elektronen. Unbedeutend für die
Chemie und den elektrischen Strom
−e
Erzeugung eines
negativen Ions
Atomkern (sehr klein) = Protonen + Neutronen
Freie elektrische Ladungsträger:
1) Elektron (-e)
Metalle geben ihre äußeren
Elektronen frei, so dass diese
von Atom zu Atom springen
können. Deshalb sind Metalle
elektrische Leiter.
Nichtmetalle schicken ihre
äußeren Elektronen in den
Bereich der Chemischen Bindung zum Nachbaratom. Dort
sitzen diese fest. Deshalb sind
die Nichtmetalle Isolatoren.
2) Anion ( −n ⋅ e )
3) Kation ( + n ⋅ e )
B) Die elektrische Ladung Q
1) Jede elektrische Ladung setzt sich aus einer Anzahl von Elementarladungen e zusammen.
Die Elektronen der Atomhülle tragen eine negative und die Protonen des Atomkerns tragen eine
positive Elementarladung e. Bruchteile der Elementarladung kommen im Atom nicht vor. Auf
Grund dessen tragen nicht nur Ionen, sondern sämtliche Körper ausschließlich ganzzahlige Anzahlen von Elementarladungen. Dies wurde 1910 experimentell durch Millikan nachgewiesen.
2) Größe und Maßeinheit der elektrischen Ladung
Da jegliche elektrische Ladung Q aus einer ganzzahligen Anzahl von Elementarladungen e
besteht, könnte man Q im Prinzip in „kiloe“ bzw. „Megae“ bzw. „Gigae“ usw. messen.
Aus historischen Gründen fasst man jedoch 6, 241 ⋅1018 e zu einem Coulomb zusammen.
kilo = 103
Mega = 106
Giga = 109
Tera = 1012
Peta = 1015
Exa = 1018
⇒ ..1C = 6 241 506 363 000 000 000 e = 6, 241⋅10 18 e = 6, 241 Exae. bzw. 1e = 1,6 ⋅ 10−19 C .
64g Kupfer bestehen aus ≈ 6 ⋅1023 (Avogadrozahl) Cu-Atomen. Etwa jedem hunderttausendsten
muss man ein Elektron abnehmen, um das Kupferstück mit 1C positiv aufzuladen.
3) Urtümliche Messung der elektrischen Ladung Q nach Faraday.
Von einem Metallstück wird eine gewisse Ladungsmen+Q
-Q
ge Q mit einer Influenzmaschine „abgewischt“ und auf
ein anderes Metallstück übertragen. Zur Bestimmung
der Ladungsmenge muss man die Anzahl ihrer Elementarladungen abzählen. Beim elektrolytischen MessvermAg
Ag Cl
+
fahren „heftet“ man jeweils ein Elektron an ein SilberAg
Cl ion, welches sich dann als atomares Silber abscheidet.
Anheftung
Aus der Wägung der Silbermasse mAg lässt sich anschließend auf die Ladungsmenge schließen: Ein Silberatom hat die Masse mAg = 179 ⋅10−27 kg .
Um 1C = 6, 241⋅10 18 e Elektronen „abzuzählen“, kann man daher ersatzweise
M Ag = 6, 241⋅10 18 ⋅179 ⋅10−27 kg = 1,118 ⋅10−6 kg = 1,118 mg Silber bei der Elektrolyse abwiegen.
Ein Coulomb wird ersatzweise durch Wiegen von abgeschiedenem Silber definiert.
2
4) Nachweis einer Ladungsmenge durch das Elektroskop.
In einem geerdeten Gehäuse (Faradayscher Käfig) befindet sich eine feste, geknickte, senkrechte Metallstange und ein fast mittig gelagerter, beweglicher Metallzeiger,
der im ungeladenen Zustand mit der schweren Seite nach unten fällt. Die Stange ist
isoliert nach außen durchgeführt. Wird sie positiv oder negativ aufgeladen, so verteilt sich die Ladung auf Stange und Zeiger. Die Abstoßung der gleichnamigen Ladung hebt den Zeiger. Der Ausschlag ist dann ein Maß für die aufgebrachte Ladung.
5) Punktldg: Den Ort einer Ladungsverteilung kann man durch ihren „Ladungsschwerpunkt“ ersetzen.
6) Flächenladungsdichte σ.
Für den realen Ladungsauftrag einer Ladungsmenge Q benötigt man ein Trägermaterial.
Beim Metall drängen sich die zusätzlichen Teilladungsträger wegen ihrer Beweglichkeit und gegenseitigen Abstoßung auf der Oberfläche, das Innere bleibt somit neutral. Deshalb betrachtet
man die (Ober) Flächen-Ladungsdichte σ (sigma) als Ladung pro Fläche .. σ = Q / A .. .
Q
Q
Verdoppelung der Fläche bringt bei gleicher Ladung eine Halbierung der Ladungsdichte σ.
7) Zusatzladung auf Isolatoren.
Im Metall verteilen sich die frei beweglichen Ladungsträger auf der
Oberfläche. Beim Isolator verbleiben die zusätzlichen Elektronen
an ihrer Einbringungsstelle. Im Inneren herrscht jeweils Neutralität.
zusätzliche
Elektronen
auf …
… Metall
…Isolator
C) Elektrische Ladung und elektrisches Feld: Ladung erzeugt Feld
0) Überlagerungsprinzip = Superpositionsprinzip.
Felder verschiedener Ladungen beeinflussen sich nicht, sie überlagern sich
nur, als würden sie aus unterschiedlichen Welten stammen. Weil die Feldstärke
vektoriell ist, ergibt die Addition mitunter scheinbare Feldlinienverbiegungen.
1) Ursprungsformel der elektrische Feldstärke E einer großen Platte der Ladungsdichte σ.
Probeladung ∆Q
Bringt man auf ein Blech der Fläche A die negative Ladung − Q auf, so umgibt es
sich beidseitig mit einem anziehenden elektrischen Feld. Das Feld lässt sich durch E
Feldlinien darstellen. Da man im Prinzip zu jeder aufgebrachten Elementarladung
eine Feldlinie von oben und unten zeichnen kann, ist die Feldliniendichte zur La-Q
dungsdichte proportional. Da aber .Feldliniendichte = Feldstärke. ist, folgt E ~σ .
E
2
∆Q
1
1
1 Q
−12 C
Mit
als Propfaktor gilt E =
⋅σ =
⋅ . , wobei ε 0 = 8,85 ⋅10
= elektr. Feldkonst.
Jm
2ε 0
2ε 0
2ε 0 A
2) Coulomb-Gesetz: Elektrische Feldstärke einer Punktladung bzw. einer geladenen Metallkugel
σ
Auf eine Metallkugel mit dem Radius R werde die Ladung Q aufgebracht.
E =2⋅
2
2ε 0
Diese verteilt sich gleichmäßig auf der Oberfläche der Größe A = 4π R .
E=0
Zwei sich gegenüberstehende Flächenstücke tragen Ladungen gleichen
Vorzeichens. Die Teilfelder reichen jeweils bis ins Unendliche. Im Inneren der Kugel bringt die Überlagerung Auslöschung und feldfreien Raum
(Faradayscher Käfig). Im Äußeren erfolgt Verdopplung. Auf der AußenZum Coulomb1
σ
Q
Q
haut gilt E = 2 ⋅
⋅σ = =
=
. Diese Feldstärke setzt sich
sches Gesetz
2
ε 0 ε 0 A 4πε 0 R
2ε 0
im Außenraum für r ≥ R gemäß .. E =
Coulombsches
Q
4πε 0 r
2
Gesetz
.. kontinuierlich fort.
3
3) Elektrische Feldstärke zwischen zwei unterschiedlich geladenen Platten: Plattenkondensator
Die beiden Platten seien entgegengesetzt gleich geladen.
null
1
⋅ (σ − σ ) = 0
E=
Pro Flächeneinheit A befinde sich die Ladung ±Q = ± σ ⋅ A
2ε 0
+Q
auf ihnen. Die Flächen seien (gedanklich) unendlich groß.
Beide Platten sind dann jeweils von oben und unter mit ho1
σ
E=
⋅ (σ + σ ) =
doppelt
mogenen Feldern umgeben, die sich störungsfrei überla2ε 0
ε0
gern. Obwohl beide Felder überall vorhanden sind, hat man
als Ergebnis der Überlagerung außerhalb der Platten doch
-Q
1
die Feldstärke null, also einen feldfreien Raum. Zwischen
E=
⋅ (σ − σ ) = 0
2ε 0
null
1
Q
den Platten verdoppelt sich die Feldstärke: E = ⋅ σ =
.
ε0
ε0 ⋅ A
4) Faradayscher Käfig = Superposition mit Sekundärfeld ergibt feldfreien Raum.
E
Wird ein Metallrahmen in ein elektrisches Feld eingebracht, so zieht E die E
Elektronen in den Schenkeln oben und unten nach links. (s. Abb.). Dadurch
wird der linke Schenkel negativ und der rechte positiv aufgeladen. Nach
-Q feldfreier Raum +Q
C3) entsteht so zwischen den Schenkeln ein begrenztes homogenes, dem
Originalfeld entgegen gerichtetes, Sekundärfeld. Die Superposition von
E
E
Originalfeld und Sekundärfeld bringt dann im Inneren des Käfigs einen
feldfreien Raum. (Diese Feldverteilung ist die Umkehrung des Feldes im Plattenkondensator.
5) Abschirmung eine Ladung durch Metallblech = Superposition mit Sekundärfeld, Spiegelladung.
Links: Eine ⊕ -Ladung steht vor einem
Summenneutralen Metallblech. Die Feldlinien
feld …
laufen schräg darauf zu. Dadurch werden -Ladungen des Bleches zur Mitfeldte verschoben. Mitte: Die - Ladfreier
ungen erzeugen ein Sekundärfeld,
Raum
das rechts so aussieht, als würde es
wie Feld
… wie Feld
von einer linken Spiegelladung erzeugt
.. wie
der linken
der rechten
Dipolund links so aussieht, als würde es von
SpiegellaSpiegellafeld
dung
dung
einer rechten Spiegelladung erzeugt.
Rechts: Die Überlagerung des ursprünglichen Feldes mit dem durch Influenz entstandenen Sekundärfeld ergibt links ein halbes Dipolfeld und rechts einen feldfreien Raum, also Abschirmung.
6) Influenz auf Metalloberfläche: Senkrechter Feldlinienverlauf.
E⊥
Influenz = Beeinflussung einer Ladungsverteilung durch ein elektrisches
Feld: Treffen Feldlinien E schräg auf eine Metalloberfläche, so ist die
senkrechte Komponente E⊥ wirkungslos, während E die beweglichen
E
Ladungsträger so weit verschiebt, bis die Feldlinien des Summenfeldes
von Original- und Sekundärfeld senkrecht auf der Oberfläche stehen.
E
7) Feldstärke zweier Punktladungen, Konstruktion eines Dipolfeldes
P 1 / 25
Wir zeichnen die beiden Punktladungen im Abstand a und wählen
einen Punkt P in welchem die Überlagerungsfeldstärke bestimmt
3
5
E
werden soll. Dazu misst man die Abstände PQ1 und PQ2 , bildet
1/9
die reziproken Quadrate, bestimmt so die beiden Teilfeldstärken
a
Q1
Q2
und setzt entsprechend lange Vektorpfeile in P an. Die Vektoraddition ergibt dann die in P herrschende Gesamtfeldstärke E .
8) Spezielle Feldformen und ihre Bezeichnungen.
Durch die Vektoraddition scheinen
sich die Feldlinien
zu „verbiegen“.
4
Homogenes Feld
Radialfeld
Dipolfeld (anziehend) Dipolfeld (abstoßend)
9) Felder über gekrümmten Flächen.
Die Ladung konzentriert sich in Bereichen starker Flächenkrümmung. Deshalb besteht hier eine große Feldliniendichte und damit
eine große Feldstärke. Technische Anwendung: Blitzableiterspitze, Feldemissionsmikroskopie.
10) Technische Anwendungen
Die Anziehungs- bzw. Abstoßungskraft wird technisch genutzt:
Lackieren, Rauchgasreinigung, Ionenantrieb von Raketen,
Elektrische
Elektrostatische Linsen im Elektronenmikroskop.
Linse
11) Messformel der elektrischen Feldstärke E bei unbekannter Ladungsdichte σ.
Das elektrische Feld kann man nicht sehen, es lässt sich aber über seine Kraftwirkung auf eine
Messladung (Probeldg) nachweisen: Die Messvorschrift lautet . E = ∆F / ∆Q . . Das Experiment
zeigt nun, dass die Kraft F proportional zu ∆Q ist. Daher ist der Quotient F / ∆Q unabhängig
von der Größe der Probeladung ∆Q , welche somit immer kleiner und schließlich gegen null ge( F / ∆Q) die eigenständige Existenz des
wählt werden kann. Damit beweist die Feldstärke E = ∆lim
Q →0
Feldes, unabhängig davon, ob es gemessen wird oder nicht. Die Feldstärke E ist eine Feldgröße.
12) Kraft zwischen zwei geladenen Kugel bzw. Pktldg. im Abstand r (Coulombsches Kraftgesetz)
Q ⋅Q
∆Q = Q2 erfährt im Feld E von Q1 die Kraft ∆F = F F = Q2 ⋅ E bzw. F = 1 22 Coulomb4πε 0 r sches Gesetz
Analogie: Kraft auf Masse im Schwerefeld F = m ⋅ g
Bem.: Die Rollen von Q1 als „Erregerldg.“ und Q2 als „Probeldg.“ sind vertauschbar ⇒ Newton III
D) Spannungs- (Feld-) quellen:
Erzeugung eines elektrischen Feldes durch Ladungstrennung = Primäre Ladungsbewegung
-1)Vorbemerkung: Vergleich: Schwerefeld der Erde - Elektrostatisches Feld
Das Gravitationsfeld (z.B. der Erde) existiert an jedem Ort (Ortsfaktor g). Wird eine Masse angehoben, so gewinnt sie in diesem Feld potentielle Energie. Verschiebt man die Masse in gleichbleibender Höhe, so kann sie an anderem Ort, bzw. zu anderer Zeit, durch Hinunterfallen Arbeit
verrichten. Nach erneutem Anheben, Verschieben und Fallenlassen entsteht ein „Masse-Kreislauf“, der Energie transportiert bzw. speichert. - Im Pumpspeicherwerk wird so etwas realisiert.
Einen entsprechenden Energietransport möchte man elektrisch nachbilden. Das elektrische Feld,
in welchem die Ladung „anzuheben“ ist, ist aber zunächst nicht vorhanden, es verbirgt sich im
Atom und muss erst freigesetzt werden. Dazu dient die primäre Ladungstrennung. - In dem dann
verfügbaren elektrischen Feld lässt sich anschließend ein entsprechender Stromkreis einrichten.
0) Eine Vorrichtung zur Erzeugung eines elektrischen Feldes heißt Spannungsquelle.
Die Spannungsquelle beinhaltet einen Mechanismus, der eine Trennkraft bereitstellt, welche Ladungsträger von einem Metallstück (Pol) auf einen anderen transportiert. Zwischen den Polen und
den angeschlossenen Leitern (des noch offenen Netzes) entsteht so ein elektrisches Feld. Das Feld
bewirkt eine Gegenkraft. Die Ladungstrennung endet, wenn Trennkraft und Gegenkraft im Gleichgewicht sind. Z.B wird das Feld des ges. Berliner Niederspannungsnetzes durch eine primär Ladungstrennung von ≈ ± 8 C erzeugt. Für den Energieanbieter sind primäre Ladungstrennung und
Feldaufbau zwingende „AnfangsinvestitioIsolator
Cu-Leiter
nen“, um die anschließend im Stromkreis
Feld
Feld
umlaufenden Ladungsträger zum EnergieCu-Leiter
transport zu befähigen. Das Feld spüre ich
Querschnitt
Längsschnitt durch einen zweiadrigen Leiter
durch den Schlag beim Berühren der Leiter.
1) Typ Eins: Trennen geladener Platten: Bandgenerator, Schuheschlürfen, Plastikhemd ausziehen.
F
Zwei aufeinander liegende Metallplatten (in deren unterer
F
etwas Plastikstaub eingeschmolzen ist) werden seitlich
gegeneinander gerieben. Dadurch „kratzt“ die untere Platte
feldfrei
bewegte Platte
von der oberen einige Elektronen ab, sodass die
+Q
Platten mit ± Q aufgeladen sind. Nun wird die
Feld
−Q
5
LK
untere Platte fixiert und die obere über einen Kraftmesser empor gezogen. (Die Gewichtskraft
werde vernachlässigt). Wir
q
berechnen die Anziehungsq
kraft pro Flächenstück A von
r
∆R
zwei (unendlich) großen, par
R
rallelen Platten. Die Plattenlad F
q
F⊥
dungsdichte betrage ± σ =
F⊥
∆
Q
∆Q
F
F
= ±Q / A . Der Plattenabstand
wird nun kontinuierlich von
R
null auf d vergrößert.
Abb.: Links: Räumliche Ansicht. Mitte: Aufsicht. Rechts: Seitenansicht.
Berechnung: Auf der oberen Platte wählt man zunächst eine Teilladung q und stellt ihr alle Ladungen ∆Q der unteren Platte gegenüber, welche den Abstand r zu q haben. Von den Teilkräften dieses Ladungsringes wird jeweils nur das F⊥ wirksam, weil sich die F paarweise in ihrer Wirkung
auf q aufheben. Wegen F⊥ / F = d / r gilt für die senkrechte Komponente der Kraft von ∆Q auf
1 q ⋅ ∆Q d
∆Q
q nach dem Coulombschen Gesetz ∆F⊥ (q ) = −
⋅ . Mit σ =
und ∆A = 2π R ⋅ ∆R
2
∆A
4πε 0 r
r
1 q ⋅ σ ⋅ 2π ⋅ R ⋅ ∆R d
1 q ⋅σ ⋅ d ⋅ R
⋅ =−
∆R .
folgt ∆Q = σ ⋅ 2π ⋅ R ⋅ ∆R und damit ∆F⊥ (q ) = −
2
4πε 0
r
r
2ε 0 ( R 2 + d 2 )3/ 2
q ⋅σ ⋅ d
Integrieren von R = 0 bis R = ∞ : F⊥ (q ) = −
2ε 0
∞
∞
R
0
( R2 + d 2 )2
∫
3

q ⋅σ ⋅ d 
1
q ⋅σ
dR =
=−
 2

2ε 0  R + d 2  0
2ε 0
Q ⋅σ
1 Q2
Summieren über alle q ergibt mit ∑ q = Q die Kraft zw. den Platten FPlatten = −
=− ⋅
.
2ε 0
2 ε0 A
1 d
Da FPlatten nicht von Plattenabstand abhängt ⇒ Trennarbeit WTrenn = Fel ⋅ d = ⋅
⋅ Q2 .
2 ε0 A
Ergebnis: Weil die bewegte Platte nur durch ein Halbfeld bewegt wird ergibt sich der Faktor ½ .
2) Typ Zwei: Schrittweise Ladungstrennung: Batterie, (Akku), Generator, Fotozelle
Bei feststehenden Platten (Polen) wird das primäre Feld nun durch schrittweise Überführung kleiner Ladungsportionen mittels chemischer, magnetischer bzw, optischer Kraft erzeugt: Das erste
∆Q wird (fast) kräftefrei überführt, denn sowohl die Plattenladungen
+Q
± Q , als auch Feldstärke E sind vor der Aufladung noch null. Das zwei∆Q
te ∆Q muss bereits gegen das Feld des ersten ∆Q anlaufen. Ein belie- ∆W
… E
biges ∆Q muss gegen das Feld E = Q / (ε 0 ⋅ A) der bereits überführten
−Q
Ladung Q =∆Q + ∆Q +…anlaufen. Die Überführungsarbeit dafür beträgt
F
Q
⋅ ∆Q ⋅ d . Die Gesamtarbeit folgt durch Summation bzw. Integration:
ε0 ⋅ A
Q
d
d
d Q2
lim
WÜberf = ∑ ∆W =
Q ⋅ ∆Q
Q
⋅
dQ
=
⋅
= WTrenn .
∑
∫
ε0 ⋅ A
ε0 ⋅ A 2
∆Q → 0 ε 0 ⋅ A 0
 d Q 2 ′ 1 Q 2
⋅
Ableiten nach d liefert die Kraft zwischen den Platten: FPlatten = 
 = ⋅
 ε0 ⋅ A 2  2 ε0 A
∆WÜberf = E ⋅ ∆Q ⋅ d =
Ergebnis: Im Mittel ist nur die halbe Kraft erforderlich.
3) Vergleich der beiden Methoden der primären Ladungstrennung.
Kraft und Arbeit stimmen überein. Sie sind unabhängig davon, wie das elektrische Feld erzeugt
Q
σ
wird. Die Arbeit WTrenn = WÜberf verwandelt sich in Feldenergie, denn wegen
= =E
ε0 ⋅ A ε0
6
2
V
1
1 Q2
1  Q 
2
ergibt sich WTrenn = WÜberf = ⋅
⋅ d = ⋅
 ε 0 ⋅ A ⋅ d = ⋅ ε 0 ⋅ E ⋅ V = WFeld . Dieser Aus2
2 ε0 A
2  ε0 A 
druck hängt nämlich nur von der Feldstärke E und dem Volumen V des felderfüllten Raumes ab.
Ergebnis: Befinden sich auf zwei Platten der Größe A im Abstand d die Ladungen ±Q , so gilt
Feldstärke
Anziehungskraft
Trennarbeit = Überführungsarbeit = Feldenergie
1
1 1
1 d
1
E=
⋅Q
FPlatten = ⋅
⋅ Q2
WTrenn = WÜberf = Wel Feld = ⋅
⋅ Q 2 = ⋅ ε 0 ⋅ E 2 ⋅V
ε0 A
2 ε0 A
2 ε0 A
2
4) Veranschaulichung des Faktors ½ in der Kraft- und Energieformel der primären Ladungstrennung.
Woher kommt der Faktor ½ in der Kraft- bzw. Energieformel der primären Ladungstrennung?
- Bei der Plattentrennung erfolgt die Bewegung z.B. der Plusplatte durch
feldfrei
F
einen Raum, der nur zur Hälfte felderfüllt ist.
- Bei der schrittweisen Ladungstrennung beträgt der Kraftmittelwert zwiFeld
schen F1 = 0 für das erste ∆Q und Fn = F für das letzte ∆Q gerade ½ F .
fest
5) Wie funktioniert die Ladungstrennung in der Praxis? Wie funktionieren die Spannungsquellen?
Da es zwei Methoden der primären Ladungstrennung gibt, gibt es auch zwei Arten von
Spannungsquellen, bzw. zwei Arten der Felderzeugung.
i) Mechanische Abstandsvergrößerung geladener Platten (Pole).
1. Natürlicherweise geschieht dies z.B. bei der Bildung von Gewitterwolken.
2. Technisch nutzt man dieses Prinzip bei dem Bandgenerator und der Influenzmaschine.
3. Die Entladung kann hier mit höchster Leistung schlagartig erfolgen, z.B. durch einen Blitz.
Die Entladung führt zum Zusammenbruch des Feldes.
ii) Schrittweise Ladungstrennung
1. Technisch wird die kontinuierliche Ladungstrennung in Batterie (elektrochemische Kraft),
Generator (mechano-magnetische Kraft) und Fotozelle (opto-atomare Kraft) realisiert.
2. Die Ladungstrennung endet, wenn die elektrische Gegenkraft im entstehenden Feld den Wert
der Trennungskraft erreicht hat. Deshalb ergibt sich hier stets ein fester Spannungswert.
3. Werden die Pole verbunden, so setzt Entladung ein, welche jedoch bei geeignetem Widerstand sofort durch Nachladen ausgeglichen wird. Dadurch bleiben ± Q und E konstant.
Beispiel: Ladungstrennung durch eine Batterie.
E
In der Batterie läuft ein elektrochemischer Vorgang ab: Steckt man z.B. ZinkZink e
blech in ein Säurebad, so wird Zink abMinus e
gelöst. Da aber nur Ionen in Lösung geKohlenhen, bewirkt der Lösungsvorgang eine
Zn ++
++
Ladungstrennung: Jeweils zwei ElektroZn
Zn
Plus stoff
nen bleiben im Blech zurück, sodass sich
dieses negativ auflädt. Das Säurebad wird entsprechend positiv. Bringt man als zweite Elektrode z.B. einen Kohlenstoffstift ein, so überträgt sich die positive Ladung auf diesen.
Die Ladungstrennung endet, wenn das Dissoziationsvermögen vom Zink und die Feldstärke E
zwischen den Polen im Gleichgewicht sind. Verbindet man die Pole über einen Widerstand, so
gleicht weitere Ablösung von Zn 2+ die Abnahme der Feldstärke aus, sodass E = const bleibt.
E) Aufnahme von potentieller Energie durch eine Ladung ∆Q im Feld von ±Q , Potential ϕ .
Wir bringen eine weitere Ladung ∆Q in das durch ± Q erzeugt Feld ein
+Q
und bewegen ∆Q in Richtung der äußeren Kraft Fä = − Fel von 0 nach z. Fä
z
Die zugeführte Arbeit = Kraft äußere i Weg innen wird dann von ∆Q als
∆Q
d
E
potentielle Energie ∆W pot ( z ) = Fä ⋅ z = ∆Q ⋅ E ⋅ z aufgenommen. (Für E
Fel
schreibt man jetzt E). Die pro ∆Q aufgenommene potentielle Energie
-Q
heißt Potential ϕ ( z ) = ∆W pot ( z ) / ∆Q = E ⋅ z , also ϕ ( z ) = E ⋅ z .
Erdung
7
Durch die „Erdung“ wurde der Nullpunkt des Potentials willkürlich auf den Minuspol gelegt.
Auf dem Pluspol liegt dann der Potentialwert ϕ (d ) = E ⋅ d . (Die Betragsstr. wurden weggelassen)
Aus ∆W pot (d ) = ϕ (d ) ⋅ ∆Q folgt, dass ϕ und ∆Q bei festem ∆W pot antiproportional sind. D.h.:
Bei großem ϕ kann dieselbe Energiemenge ∆W pot von weniger Ladung ∆Q transportiert werden.
Anwendung: Bei der Energiefernübertragung verwendet man hohes Potential (Hochspannung), um
mit wenig ∆Q viel Energie zu transportieren.
Äquipotentialflächen:
Äquipotentialflächen
In die Formel ϕ ( z ) = E ⋅ z geht der Abstand z
der Potentialfläche zum Minuspol ein.
Falls der Leiterabstand an einer Stelle z.B.
kleiner wird, so drängen sich die Flächen
Erdung
gleichen Potentials = Äquipotentialflächen durch Anreicherung von ±Q zusammen, sodass die Feldstärke E in dem Maße steigt, wie der Abstand d kleiner wird. Auch an dieser Stelle nähme ∆Q
bei Überführung von Minus nach Plus dieselbe pot. Energie ∆W pot , max = ϕ (d ) ⋅ ∆Q = E ⋅ d ⋅ ∆Q auf.
F) Abgabe von potentieller Energie durch eine Ladung ∆Q im Feld von ±Q , Spannung U .
Greift die äußere Kraft des Verbrauchers an der kleinen Teilladung ∆Q an und kompensiert dabei
Fel , so verrichtet ∆Q bei Bewegung in Feldrichtung die Arbeit ∆W = ∆W pot .
Die pro ∆Q verrichtete Arbeit heißt Spannung. U = ∆W / ∆Q = W pot / ∆Q . Also U = E ⋅ d .
Stromquelle
+Q
Fä
E
ϕ
∆Q
∆W
∆Q
U
Fel
Erzeuger
Fä
∆Q
Fel
∆Q
Erdung
-Q
∆W
Verbraucher
Stromkreis als Energie Transporteur
Zusammenfassung
Potential ≙ aufgenommener W pot . ϕ zählt von Minus nach Plus positiv
. ϕ Θ→⊕ = E ⋅ d .
Spannung ≙ verrichteter Arbeit . U zählt von Plus nach Minus positiv .
. U ⊕→Θ = E ⋅ d .
Ergebnis: Potential und Spannung sind betragsgleich, doch zählen sie umgekehrt.
Maßeinheiten: Potential und Spannung haben beide die Maßeinheit . Volt = Joule / Coulomb .
Bemerkung: Potential und Spannung sind Feldgrößen, denn sie hängen nur von der Stärke und
der Ausdehnung des Feldes ab. ϕ und U lassen sich auch dann ermitteln, wenn gar keine Ladung
bewegt wird und ∆Q → 0 strebt. Z.B.: ϕ ( z ) = lim ∆W pot ( z ) / ∆Q = E ⋅ z
∆ Q →0
Spannung U = Arbeit pro Ladung, welche ∆Q verrichten würde, wenn sie flösse.
Deshalb verwendet die Elektrotechnik meist den Spannungs- und nur selten den Feldstärkebegriff.
Potentiometer (auch „Poti“) = Spannungsteiler = Regelbarer Widerstand.
x
Die an der Stelle x abgegriffene Teilspannung beträgt U x = ⋅ U
l
U
l
x Ux
R
G) Die elektrischen Energien lassen sich durch die Spannung U ausdrücken.
In der Elektrotechnik vermeidet man meist den Feldstärkebegriff E und verwendet bevorzugt die
Spannung U, welche ja ebenfalls eine Feldgröße ist. Dabei ist zu beachten, dass Spannung absolut
nichts mit Druck oder Antrieb von Ladungsträgern zu tun hat (s.u.). Spannung ist diejenige Arbeit,
die ein Ladungsträger (pro seiner Ladungsmenge) abgeben könnte, wenn er durch das Feld flösse.
8
Umschreibung der Energien auf Spannung:
a) Feldenergie: Die Vorraussetzung für den Energietransport im Stromkreis ist die primäre Ladungstrennung und der Aufbau eines elektrischen Feldes zwischen den Leitern. Die Trennarbeit
wird zur Feldenergie Wel = ½ ⋅ ε 0 ⋅ E 2 ⋅V . Ersetzt man den einen Faktor E durch E = Q / (ε 0 A)
U
Q U
und den anderen durch E = , so folgt Wel = ½ ⋅ ε 0 ⋅
⋅ ⋅ V , also Wel = ½ ⋅ Q ⋅ U .
d
ε0 ⋅ A d
V
b) Potentielle Energie: Die von ∆Q innerhalb des Feldes maximal gewinnbare potentielle Energie
∆W pot = ∆Q ⋅ E ⋅ d ist gleich der Arbeit ∆W = ∆Q ⋅ U , welche die Ladung verrichten kann.
Da im Stromkreis insgesamt die Ladung ∆Q = Q bewegt wird, schreibt man WStromkreis = Q ⋅ U .
c) Vergleich: Die beiden Formeln geben Anlass zur Verwirrung, denn verkürzt hat man einerseits
W = ½ ⋅ Q ⋅ U und andererseits W = Q ⋅ U . Wie wir wissen, beziehen sich die Energieausdrücke
aber auf völlig unterschiedliche Sachverhalte, die noch einmal veranschaulicht werden sollen:
Spannungsquelle: Erzeugung eines neuen Feldes. Stromquelle: Bewegung im vorhandenen Feld.
Die bewegte obere Plus-Ladung(splatte) wird Der bewegte Ladungsträger ∆Q des Stromes
nur von unten angezogen. Das Feld greift also wird abgestoßen und angezogen. Das primäre
nur einseitig mit halber Wirkung an.
Feld greift doppelt, also mit voller Wirkung an.
. Wel Feld = ½ ⋅ Q ⋅ U ..
.. WStromkreis = Q ⋅ U ..
+Q
Primärladung
primäreTrennarbeit
Sekundäre
Ladungsbewegung
+Q
Primärladung
E
Primärladung
W
Ein F
-Q
W
U
Primärladung
F
+
F
=
2F
E
U
-Q
H) Spannungs-(Feld)quelle, Stromquelle, Stromkreis, Antrieb der Ladungsträger
Nachdem die Spannungsquelle ein elektrisches Feld zwischen den Leitern erzeugt hat, lässt die
Stromquelle anschließend Ladungsträger im Stromkreis umlaufen. Die Spannungsquelle schafft
die Vorrausetzung zum Energietransport, die Stromquelle verwirklicht den Energietransport.
Das Verwirrende: Alle Quellen realisieren beide Funktionen zugleich, allerdings zeitversetzt.
Beispiel Batterie:
1) In den ersten wenigen Millisekunden fungiert die Batterie als Spannungsquelle und baut das elektrisches Feld auf dem Leiternetz auf. Das gilt für das offene Netz, wie auch, bei ausreichend
großem Verbraucherwiderstand, für das geschlossene Netz. Auf Spannung umgeschrieben, beträgt die Trennarbeit Wel = ½ ⋅ Q ⋅ U . Bei der Spannungsquelle taucht also der Faktor ½ auf.
2) In der zweiten Zeitphase wechselt die Batterie ihre Funktion, sie wird zur Stromquelle.
Sobald im Verbraucher eine (technisch positive) Ladungsmenge ∆Q unter Abgabe ihrer potentiellen Energie vom Plus- zum Minuspol überführt wurde, übertrifft die Trennkraft der Batterie
die Gegenkraft des Feldes, so dass die Batterie die Ladungsmenge ∆Q gegen die volle Feldkraft vom Minus- zum Pluspol nachliefert. Auf Spannung umgeschrieben, nimmt ∆Q dabei die
potentielle Energie ∆W pot = ∆Q ⋅ U auf. Bei der Stromquelle fehlt also der Faktor ½.
3) Der Antrieb der Ladungsträger beruht also nicht auf der Spannung, sondern auf dem Überschuss der Trennkraft nach „Kurzschluss“ im Verbraucher: Ohne „Stromentnahme“ kein Strom!
Stromrichtungen: Im geschlossenen Stromkreis fließt der Strom (technische Stromrichtung)
… in der Stromquelle mit dem Potential gegen die Feldrichtung und gegen die Spannung.
… im Verbraucher mit der Spannung und mit der Feldrichtung gegen das Potential.
Im Ohmschen Verbraucher sind Strom und Spannung gleichgerichtet, sie sind „in Phase“.
9
I) Der Kondensator
Abgesehen von Gewitterwolken, Nervenbahnen usw. ist das elektrische Feld im Atom verborgen.
Der Kondensator macht das elektr. Feld im Großen verfügbar. Er besteht aus zwei gegeneinander
isolierten Leiterstücken und bildet den „Rahmen“ für das Feld. So etwas haben wir bereits in C3),
D2) und D3) betrachtet. Auch die beiden sich gegenüberstehenden Leiter des offenen Stromnetzes
stellen einen Kondensator, den Netzkondensator, dar. Technisch realisiert wird der Kondensator
durch zwei parallele isolierte Platten, zwei aufgewickelte isol. Folien, zwei durch eine Elektrolytschicht getrennte Metallteile und durch viele weitere Bauformen. Der bisherige Gedankengang
startete mit der primären Ladungstrennung ±Q . Daraus folgten σ und E. Aus E und dem Plattenabstand d ergab sich die Arbeit ∆W , die ein ∆Q verrichten könnte. Aus der möglichen Arbeit
∆W ergibt sich die Spannung U. Die Gedankenkette lautet also: ±Q → σ → E → ∆W → U .
Nun wird der Gedankengang umgedreht und aus der angelegten Spannung U (also dem Vermögen,
Arbeit pro Ldgmenge zu verrichten) auf die getrennte Ladung ±Q ( bzw Q ) zurück geschlossen:
E ⋅d
U ε ⋅A
Q = ε0 ⋅ A ⋅ E = ε0 ⋅ A⋅
= ε0 ⋅ A⋅ = 0
⋅ U . Ergebnis: Q ist proportional zu U: Q ∼ U .
d
d
d
C
ε ⋅A
Die Prop-konst. . C = 0 . liefert die baubedingte Formel für die Kapazität des Kondensators.
d
Setzt man C = ε 0 ⋅ A / d ein, so folgt Messformel für C: . C = Q / U . bzw. . Q = C ⋅ U . .
Ergebnis: 1) Die Kapazität ergibt sich aus den geometrischen Daten der Bauform: C = ε 0 ⋅ A / d .
2) Die Kapazität lässt sich messen, als Verhältnis von aufbringbarer Ladungsmenge
zu angelegter Spannung: C = Q / U .
Die Maßeinheit der Kapazität = Farad = [C ] =
[Q ] = C
[U ] V
bzw. [C ] =
[ε 0 ] ⋅ [ A] = C /(Vm) ⋅ m2 = C
m
V
[d ]
ergibt sich aus beiden Formeln gleichermaßen. Häufig wird µ F , nF und pF verwendet.
1) Energieinhalt des Kondensatorfeldes
Die Feldenergie zwischen den Platten beträgt Wel Feld = ½ QU .
Mittels C = Q / U ergeben sich die drei Versionen .. Wel = ½ C U 2 = ½ QU = ½ Q 2 / C ...
2) Kraft zwischen den Kondensatorplatten ausgedrückt in U.
Experimentelle ε0-Bestimmung.
ε AU 2
ε A
1 Q
1 Q
1 CU 2
Aus FPl = ⋅
und C = 0 folgt FPl = ⋅
bzw. FPl = ⋅
bzw. FPl = 0 2
d
2 d
2d
2 ε0 A
2 Cd
2
2
Die letzte Gleichung dient zur experimentelle ε 0 -Bestimmung. (Siehe Aufgabe 18)
3) Veränderung des Plattenabstandes d eines Kondensators mit fester Flächengröße A.
Ein Plattenkondensator mit Plattenabstand d und Kapazität C = ε 0 ⋅ A / d sei an eine Spannungsquelle U angeschlossen, sodass die Ladung Q auffließt. Daraus ergeben sich Feldstärke
E = U / d und Feldenergie Wel = ½ QU . Nun wird der Plattenabstand auf den Wert x verändert. Gesucht sind die Werte von Q, C, U, Wel und E nach der Abstandsänderung.
Die Änderung des Plattenabstandes erbringt je nach Situation unterschiedliche Ergebnisse.
a) Veränderung des Plattenabstandes bei abgeklemmter Spannungsquelle.
Die Ladungen ±Q können jetzt weder auf- noch abfließen, deshalb bleibt Q konstant.
vorher
Konst=Q
Abstand
Kapazität
Spannung
Energie
Feldstärke
Q
d
C
U
Wel
E =U / x
x
C ( x) d
=
C
x
U ( x) x
=
U
d
Wel ( x) x
=
Wel
d
E ( x) = E
antiprop. zu x
prop. zu x
prop. zu x
konstant
nachher Q( x) = Q
konstant
10
,
Wie verändert sich die Anziehungskraft bei Abstandsänderung im abgeklemmten Fall?
1 Q2
Die Formel FPl = ⋅
enthält nur Größen, welche konstant bleiben. Daher ändert sich die
2 ε0 A
Anziehungskraft der Platten bei Abstandsänderung in diesem Falle nicht.
b) Veränderung des Plattenabstande bei angeschlossener Spannungsquelle.
Die Batterie erzwingt Spannungsgleichheit. Die Feldstärke E = U / x nimmt mit x ab.
Q
LK
vorher
Q
nachd
Q
(
x
)
=
⋅Q
her
x
antiprop. zu x
Abstand
Kapazität
Spannung
Energie
Feldstärke
d
C
U
W
x
C ( x) d
=
C
x
U ( x) = U
E =U / x
d
E ( x) = ⋅ E
x
antiprop. zu x
konstant
W ( x) =
d
⋅W
x
antiprop. zu x
antiprop. zu x
Wie verändert sich die Anziehungskraft bei Abstandsänderung im angeschlossenen Fall?
1 Q 2 1 C 2 ⋅ U 2 1 (ε 0 A / d ) 2 ⋅ U 2 ε 0 A ⋅ U 2 1
Umformung: FPl = ⋅
= ⋅
= ⋅
=
⋅ 2.
ε0 A
2 ε0 A 2 ε0 A
2
2
d
Weil die Spannung U = const ist, nimmt FPl umgekehrt proportional zum Quadrat von d ab.
Wie lässt sich dieser Fall verstehen? Bei Abstandsvergrößerung fließt Ladung aus dem Kondensator in die Spannungsquelle zurück, sodass beide Platte proportional weniger Ladung
tragen. Wegen FPl ∼ Q1 ⋅ Q2 nimmt die Kraft dann quadratisch ab.
4) Einbringen eines Stoffes zwischen die Platten
a) Einbringen von Metall ist technisch uninteressant
Es sind zwei Isolierspalte d einzuhalten. Durch Influenz bauen
sich im Metall gegenüber den Kondensatorplatten Ladungen auf,
die denen der Kondensatorplatten vorzeichenumgekehrt gleichen.
Somit entspricht die Anordnung einer Reihenschaltung von zwei
Kondensatoren und ist daher nutzlos.
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
+
Metall
-
Auf den Platten. befinden sich jeweils „drei“
Ladungseinheiten.
b) Einbringen eines Isolators bzw. Dielektrikums.
Isolatormaterial polarisiert sich im elektrischen Feld. Im Inneren
hebt sich die Wirkung auf. An den Rändern bilden sich Ladungshäute, wodurch bei gleicher anliegender Spannung weitere Ladungen auf die Platten gezogen werden. Dadurch vergrößert sich das
Verhältnis Q / U und somit die Kapazität. Der Vergrößerungsfaktor heißt relative Dielektrizitätskonstante ε r . Sie beträgt zwischen
ε r = 2 für Glas und 104 für Keramik und Oxydhäute. Mit Dielektrikum gilt: . C = ε r ε 0 ⋅ A / d .
c) Doppelschichtkondensatoren bringen es heute, bei einer Durchschlagsfestigkeit von max. 20 V,
auf Werte im kF-Bereich. Sie konkurrieren in der Anwendung mit Hochleistungsakkumulatoren. Ihr Dielektrikum ist nur einige Atomlagen dick, es basiert auf der Dissoziation von Ionen in
einem flüssigen Elektrolyten.
5) Parallelschaltung von Kondensatoren.
A1
Zur Bestimmung der Gesamtkapazität zweier parallel geschalteter Kond
densatoren betrachten wir einfachheitshalber beide Kondensatoren mit
gleichem Plattenabstand d und unterschiedlicher Plattengröße. Man kann
die beiden Plattenpaare dann gedanklich zusammen schieben und erhält
einen Kondensator mit der Fläche A = A1 + A2 und damit der Kapazität
d
ε 0 ⋅ A ε 0 ⋅ ( A1 + A2 )
A
2
C=
=
= C1 + C2 . Daher gilt CParallel = C1 + C2
d
d
11
+Q
∆Q1
Verbraucher
Erzeuger
J) Wiederholung: Netzkapazität, Spannungsquelle, Stromquelle, Energietransport.
1) Stromkreis (Gleichstromkreis)
Der Stromkreis dient der Energiefernübertra+Q
gung. Das soll mit umlaufenden Ladungsträgern erreicht werden. Die Ladungsträger könE
nen aber nur dann Energie aufnehmen, transportieren und wieder abgeben, wenn ein primäres elektrisches Feld vorhanden ist. Man
−Q
muss den Betrieb des Stromkreises deshalb
gedanklich in zwei Schritte auflösen:
Verbraucher
6) Reihenschaltung von Kondensatoren
Zur Bestimmung der Gesamtkapazität zweier in Reihe geschalteter KondenA
A
satoren betrachten wir einfachheitshalber beide Kondensatoren mit gleicher
d1
d2
Plattengröße A und unterschiedlichem Plattenabständen. Die beiden mittleren Platten kann man gedanklich zusammenschieben und das gemeinsame
Blech dann seitlich herausziehen. Dadurch erhält man einen Kondensator mit dem Plattenabstand
ε ⋅A
ε ⋅A
1
d
d
d
1
1
d = d1 + d 2 . Aus d1 = 0
und d 2 = 0
folgt dann
=
= 1 + 2 = +
C1
C2
CRe ihe ε 0 ⋅ A ε 0 ⋅ A ε 0 ⋅ A C1 C2
Erzeuger
1. Schritt: Das verbraucherseits offene
Stromnetz stellt einen Kondensator mit der
E
Netzkapazität CNetz dar. Nach Betriebsauf∆Qges
∆Q2
nahme mit z.B. U = 230 V lädt das Kraft−Q
werk diesen Kondensator, also die beiden
unverbundenen Leiter, mit ± Q = C Netz ⋅ U
auf. Durch diese primäre Ladungstrennung entsteht ein dauerhaftes elektrisches Feld.
2. Schritt: Nach Schließen der Schalter wird durch sekundäre Bewegung der Ladung ∆Q in
diesem Feld, analog zum „Masse-Kreislauf“ im Gravitationsfeld, Energie transportiert.
2) Stromstärke
Elektrischer Strom ist das Strömen, Fließen bzw. Bewegen von elektrischen Ladungen. Die
Stromstärke fragt, wieviel Ldg. pro Zeit durch einen Leiter fließt. Dabei ist die Querschnittsgröße unwichtig. 1 Ampere liegt vor, wenn die Ladungsmenge 1 Coulomb, also 6,42 Exa e ,
innerhalb von einer Sekunde den Querschnitt durchfließt. I = ∆Q / ∆t . Für zeitlich veränderliche Ladungsmengen wird daraus . I (t ) = Qɺ (t ) . . Maßeinh: Ampere = Coulomb / sekunde .
3) Elektrische Leistung im Stromkreis.
Fließt die (positive) Ladung ∆Q mit der potentiellen Energie ∆W pot = ∆Q ⋅ ϕ durch den
Verbraucher von Plus nach Minus, so verrichtet ∆Q an diesem die Arbeit ∆W = ∆Q ⋅ U .
Bei höherer Spannung reichen daher weniger Ladungsträger zum Verrichten der gleichen Arbeit aus. Die pro Zeit verrichtete Arbeit beträgt dann W / ∆t = ∆Q ⋅ U / ∆t . Das ist aber die Leistung P. Da ∆Q / ∆t = I = Stromstärke , folgt (für konst. U) die Leistungsformel . P = U ⋅ I . .
4) Das Ohmsche Gesetz.
Im Vakuum werden Ladungsträger durch ein el. Feld beschleunigt. Im Leiter hingegen erfolgen
fortwährend inelastische Zusammenstöße mit den Atomrümpfen, wodurch sich der Leiter erwärmt und die Beschleunigung stets von neuem beginnt. Es stellt sich eine mittlere Ladungsträgergeschwindigkeit v ein, welche einem konstanten Strom entspricht. Für feste Spannung U
ist die Stromstärke I zum Kehrwert von R proportional. Es gilt I = U / R . bzw. . U = R ⋅ I . .
Der Widerstandswert R hängt nicht davon ab, unter welcher Spannung die Ladungsträgerbewegung erfolgt, so wie die Rollreibung eines Rades nicht von der Höhe (im Gebirge), sondern
nur von der Beschaffenheit der Straße abhängt. Ist RLeitung der Widerstandswert der Leitungs12
teile von der Quelle zum Verbraucher, so beträgt der Leitungsverlust PVerl = RLeitung ⋅ I 2 , woran
man wieder sieht, dass der Energietransport mit möglichst geringer Stromstärke, also mit möglichst wenig bewegten Ladungsträgern erfolgen sollte. Unter der kleinen Stromstärke I soll aber
die Nutzleistung PNutz = U ⋅ I nicht leiden, weshalb, insbesondere für die Energiefernübertragung, eine hohe Spannung U benötigt wird.
Elektrische Leitung findet man in Elektrolyten, Metallen, aber auch in Graphit und gewissen
Polymeren. Im Stromkreis setzen sich alle beweglichen Ladungsträger gleichzeitig in Gang.
Die mittlere Geschwindigkeit v ist prop. zur „Stromentnahme“ im Verbraucher v ∼ 1/ RVerbr .
5) Ursache des Stromflusses (Idealfall: Leitungswiderstand RLtg ≪ Verbraucherwiderstand RVerbr)
I = U / RVerbr verführt oft zu der Fehlmeinung, U sei der Antrieb für I, falsch! U ist nur Bedingung, Ursache des Stromes ist die „Stromentnahme“ im Verbraucher (also 1/ RVerbr ), wodurch
das Gleichgewicht zwischen Trenn- und Feldkraft gestört wird und die Quelle CNetz nachlädt.
6) Feldaufbau im (Berliner) Stromnetz, Netzkapazität
UR
Der Energietransport vom Kraftwerk zum
Hinleitung
R
Verbraucher erfolgt nach dem gleichen Prinzip, wie der Energietransport beim „Massekreislauf“ im Gravitationsfeld. Doch während
Netzkapazität C
UG Generator
das Gravitationsfeld zum Anheben und zum
UC
Gewinn potentieller Energie einer z.B. WasFeld E
sermasse bereits vorhanden ist, muss das entsprechende elektrische Feld erst hergestellt
I
Rückleitung
werden. Dieser Feldaufbau (primäre Ladungstrennung) soll jetzt im Detail betrachtet werden. Der Generator erzeugt eine Spannung U G . Das
offene Leitungsnetz kann man als zwei sich gegenüberstehende „Metallplatten“ interpretieren.
Es besitzt auf Grund dessen eine gewisse Kapazität C. Nach der Formel Q = C ⋅ U G fließen deshalb entsprechende Ladungsmengen auf die Leitungen und erzeugen das erwünschte Feld. Die
Ladungen würden schlagartig auffließen, wenn die ohmschen Widerstände R des Leitungssystems und der Generatorwicklung diesen Vorgang nicht behindern würden. Nach Kirchhoff
gilt U G = U R + U C . Nun wird U R = R ⋅ I und Q = C ⋅ U C eingesetzt: U G = R ⋅ I + Q / C .
Diese Gleichung wird nach t abgeleitet. Weil U = const sein soll und Qɺ = I gilt, erhält man
LK
G
1
Iɺ(t ) = −
I (t ) . Gesucht ist also eine Zeitfunktion, deren Ableitung sich bis auf den VorfakR⋅C
t
−
RC
tor selbst ergibt. Die Probe zeigt, dass dies von I (t ) = I 0 ⋅ e
erfüllt wird. Dabei ist I 0 die
noch unbekannte Anfangsstromstärke. Sie wird so bestimmt, dass die insgesamt aufgeflossene
∞
 − RCt 
U
!
Ladung Q = C ⋅ U G beträgt: C ⋅ U G = I 0 ⋅ ∫ e dt = I 0 ⋅ (− RC ) ⋅ e
 = I0 ⋅ R C ⇒ I0 = G .
R
0

 0
t
U G I(t)
U G − RC
Der Feldaufbau erfolgt also durch den Ladestrom I (t ) =
⋅e
.
R
R
Q(t)
t
Der innere Widerstand Ri der Leitungen und Generatorwicklungen soll
zur Vermeidung von Verlusten sehr klein sein. Dann aber gibt es beim Feldaufbau, vor der
eigentlichen Betriebsaufnahme, einen gewaltigen Stromstoß. Ohne Schutzmaßnahmen
würde eine überschnelle primäre Ladungstrennung den Generator zerstören.
In der Mittelstufe lernt man, dass Strom nur fließt, wenn der Stromkreis geschlossen ist.
Der Ladestrom der primären Ladungstrennung fließt aber in das offene Netz. Er lädt den „Netzkondensator“ auf und bereitet so den anschließenden Energietransport im geschlossenen Stromfluss vor. – Auch am offenen Netz kann man sich einen Schlag holen.
∞
−
t
RC
13
K) Aufgaben
1) Erkläre die Ladungsmessung nach Faraday und die Ladungsmessung mittels des Elektroskops.
2) Wieviel Ladung Q muss auf ein kreisförmiges Kupferblech mit 40cm Durchmesser und 1mm Dicke aufgebracht werden, um die abstoßende Feldstärke E = 5 N / C zu erzeugen? Jedem wievielten Cu-Atom muss dazu ein Elektron abgenommen werden? Welche Raumteile um das Blech herum sind dann felderfüllt?
ρCu = 8930 kg/m3 ; rel. Atommasse: ACu = 63,55 kg/kmol ; Avogadrozahl = 6,02⋅1026 Teilchen/kmol.
3) Wie groß ist die Feldstärke E einer Punktladung Q1 =1C im Abstand r = 1m ? Wie groß ist die Kraft auf
eine zweite Punktladung Q2 =1C dort? Welche Kantenlänge hat ein Wasserwürfel gleicher Gewichtskraft?
4) Erläutere die Feldfreiheit innerhalb eines Metallrahmens. (Faradayscher Käfig)
5) Erläutere, inwiefern ein elektrisches Feld durch ein Metallblech abgeschirmt werden kann.
6) Erkläre die Bedeutung der Influenz am Beispiel einer Metallplatte mit schräg auflaufenden Feldlinien.
7) Konstruiere den Feldstärkevektor zweier gegengleicher Punktladungen im Abstand a = 6LE an einem
Punkt P, welcher 5 bzw. 3 LE’s von den Ladungen entfernt ist.
8) Berechne die Kraft F, welche ein el. Feld der Stärke E = 3 N / C auf eine Probeladung ∆Q = 1mC ausübt.
9) Erläutere die beiden Methoden der Ldgstrennung (primäreLdgbewegung) bzw. die beiden Arten von Spannungsquellen und begründe das jeweilige Auftreten des Faktors ½ in der Formel für Kraft und Feldenergie.
10) Zum Feldaufbau braucht das Berliner Niederspannungsnetz ± Q ≈ ± 8 C Primärladung. Wie lange würde
die Aufladung mit einem konstanten Ladestrom von 1000A dauern?
11) Erläutere die Doppelfunktion der Batterie als Spannungs- und Stromquelle. Überlege, ob der Transport
elektrischer Energie auch ohne Ladungstrennung (primäre Ladungsbewegung) möglich ist.
12) Beurteile die Aussagen und begründe a)Spannung ist der Antrieb für das Fließen von Ladung. b) Beim
Trennen geladener Platten erzeugt man Spannung. c) Ein Wasserkreislauf mit Pumpe und Mühlrad ist eine gute Veranschaulichung des Stromkreises. d) Der Straßenverkehr ist eine gute Veranschaulichung für
den Strom. e) Eine Hochspannungsleitung ist eine Stromautobahn. f) Spannung = Potentialdifferenz.
13) Erkläre die Funktionsweise einer einfachen Batterie. Begründe den festen Spannungswert einer Batterie.
14) Gib die Definition des Potentials ϕ und der Spannung U an. Begründe, warum ϕ und U unterschiedliche
Zählrichtungen haben. Im Ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung „in Phase“. Erkläre dies.
15) An ein Potentiometer der Baulänge l = 30cm wird die Spannung U = 20V gelegt.
Es fließt ein Strom von I = 2A. Welche Teilspannung greift man an der Stelle x = 9cm ab?
16) Es gibt die beiden Energieausdrücke W = Q U und W = ½ Q U . Erläutere den Unterschied.
17) Erläutere, was ein Kondensator ist und inwiefern er Ladung, Feld und Energie speichern kann.
18) Zwei parallele sich gegenüberstehende Metallplatten haben jeweils 20cm Länge und 5cm Breite. Ihr Abstand beträgt d = 4 mm . Es wird eine primäre Ladungstrennung von ±Q = ±1 nC vorgenommen.
a) Berechne σ , E und Wel Feld . b) Wie ändern sich σ , E und Wel Feld wenn d bzw. ±Q verdoppelt wird?
c) Nun wird die (sekundäre, positive, (techn. Stromrichtung)) Ladung ∆Q = 0, 5 C von der - zur ⊕-Platte
bewegt. Berechne die aufgenommene potentielle Energie ∆W pot , sowie das pro Ladung aufgenommene
potentielle Energie ϕ . d) Wie ändern sich ∆W pot und ϕ , wenn ∆Q einhundert mal so klein gewählt wird?
19)
20)
21)
22)
23)
24)
14
e) Nun wird ∆Q = 0, 5 C im Verbraucher von der ⊕- zur -Platte bewegt. Bestimme die abgegebene Arbeit ∆W , sowie die pro Ldg abgegebene Arbeit U. Wie ist die Maßeinheit Volt erklärt? f) Wie ändern
sich ∆W und U, wenn ∆Q einhundert mal so klein gewählt wird? g) Warum sind ϕ und U Feldgrößen?
Erläutere den Antrieb der Ladungsträger im Stromkreis. Begründe, warum dies nicht die Spannung ist.
Eine Gewitterwolke befindet sich in d = 800 m über der Erdoberfläche. Sie ist A ≈ 105 m 2 groß. Zwischen
Wolke und Erde herrscht eine Feldstärke E = 3000 V / m . Wie groß ist die Spannung zwischen Wolke und
Erde? Wie groß sind Ladung und Energie? Wie ändert sich U, wenn die Wolke auf 1600m aufsteigt?
Spannungswaage: Zwei Platten von je 900 cm 2 im Abstand 4 mm üben bei einer angelegten Spannung von
5kV eine Kraft von 0,61 N aufeinander aus. Bestimme aus diesen Messdaten den Wert von ε 0 .
Der Kondensator eines Blitzgerätes hat C = 0, 5 mF . Wieviel Energie speichert er bei 500V ?
Wie groß ist die Lichtleistung, wenn in 2 ms 20% der Energie in Licht umgesetzt wird?
Berechne die Plattengröße für einen Kondensator mit C = 40 pF und d = 0,3 mm unter Verwendung von
Glimmer ( ε r = 6 ) . Erkläre, inwiefern das Dielektrikum die Kapazität beeinflusst.
Eine Zweidrahtleitung der Länge l mit Leiterabstand s und Leiterdurchmesser d hat die Kapazität
C = π ⋅ ε 0ε r ⋅ l / ln(2 s / d ) . Das Berliner Netz ist l = 216 000 km lang. Wegen der Isolierung gilt s = 1, 2d
und ε r = 1, 4 . Berechne die Gesamtkapazität. Wieviel Ladung nimmt das Netz bei U = 230V auf?
25) Die Platten eines Demonstrationskondensators haben A = 0, 25 m 2 und den Abstand d = 0, 2 mm .
Man legt 220V an. a) Wie groß ist die Kapazität? b) Wieviel Ladung befindet sich auf jeder Platte?
c) Wie groß ist die Feldstärke zwischen den Platten? d) Wieviel Energie ist in dem Feld enthalten?
26) Die Platten des Kondensators aus Aufgabe 22) werden auf d 2 = 1 mm auseinander gezogen. Wie ändern
sich Spannung und Ladung, wenn a) die Spannungsquelle angeschlossen bleibt?
b) die Spannungsquelle vor dem Auseinanderziehen abgeklemmt wird ?
27) Berechne alle Kapazitäten, die sich aus C 1 = 1 µ F ; C 2 = 2 µ F ; C 3 = 4 µ F ; C 4 = 8 µ F bilden lassen.
28) Welche Gesamtkapazitäten lassen sich aus vier gleichen Kondensatoren von 2 µ F zusammenschalten?
29) Ein Kondensator der Größe C1 = 2 µ F liegt an einer Gleichspannungsquelle mit U = 200V . Wie ändern sich
Spannung und Ladung an C1 , wenn ein zweiter Kondensator C2 = 6µ F in Reihe hinzugeschaltet wird?
30) Ein Kondensator C 1 = 0,3 µ F ist mit Q = 6 µ C geladen.
a) Wie groß sind Spannung und Energieinhalt an C 1 ?
b) C 1 wird nun mit einem ungeladenen Kondensator C 2 = 0,5 µ F parallel geschaltet, ohne dass dabei
Ladung verloren geht. Wie groß ist die Gesamtkapazität C und welche Spannung liegt nun an?
c) Wieviel Ladungen und Energien enthalten die beiden Kondensatoren jeweils einzeln und in Summe?
d) Wo ist die Energiedifferenz im Vergleich zu Aufgabe a) geblieben?
L) Lösungen
1) Siehe B3) und B4)
2) Aus E = Q /(2ε 0 ⋅ A) ⇒ Q = E ⋅ 2ε 0 ⋅ A = E ⋅ 2ε 0 ⋅ (d / 2) 2 ⋅ π = 5 ⋅ ( N / C ) ⋅ 2 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ π ⋅ (C / V ⋅ m) ⋅ 0, 22 ⋅ m 2
= 1,112 ⋅ 10−11 ( N ⋅ C ⋅ m 2 / C ⋅ V ⋅ m) = 1,112 ⋅ 10−11 ( N ⋅ m ⋅ C / C ⋅ V ) = 1,112 ⋅ 10−11 ( J ⋅ C / J ) = 1,112 ⋅ 10−11 C .
Das ≙ ne = Q / e = 6,95 ⋅ 107 Elektronen. Das Blech hat die Masse m = V ⋅ ρ = 1,12 kg und enthält damit die
Stoffmenge n = m / ACu = 1,12kg /(63,55kg / kmol ) = 0,0177 kmol . Das ergibt nkmol ⋅ N A = 1,063 ⋅ 1025 Kupferatome. Daher muss jedem 1,063 ⋅ 1025 / 6,95 ⋅ 107 = 1,529 ⋅ 1017 -tem Kupferatom ein Elektron abgenommen
werden. Feld: Ober- und unterhalb (Nahbereich) der Platte homogenes Feld. Das Blechinnere ist feldfrei.
3) E = Q1 / 4πε 0 r 2 = 8,992 ⋅ 109 N / C ; F = Q1 ⋅ Q2 / 4πε 0 r 2 = 8,992 ⋅ 109 N .
Kantenlänge des entsprechenden Wasserwürfels:
FG = g ⋅ m = g ⋅ V ⋅ ρ = g ⋅ k 3 ⋅ ρ ⇒ k = 3 FG / g ⋅ ρ = 3 8,992 ⋅ 109 N /(9,81m / s 2 ) ⋅ 1000kg / m3 = 97,14m
4) Siehe C4).
5) Von der Ladung geht, unbeeinflusst vom Blech, ein Radialfeld bis ins Unendliche aus. Dieses zieht im Metallblech eine Ladungsverteilung umgekehrter Polarität in den Bereich des Lotfußpunktes. Diese Ladungsverteilung erzeugt ihrerseits ein Feld vor und hinter dem Blech. Die Überlagerung von Original- und Sekundärfeld liefert hinter dem Blech den Wert null und vor dem Blech ein halbes Dipolfeld.
6) Influenz = Beeinflussung einer Ladungsverteilung durch ein elektrisches Feld: Trifft ein Feld schräg auf
eine Metalloberfläche, so bewirkt die senkrechte Komponente E⊥ (bei mäßiger Feldstärke) nichts. E hingegen verschiebt die beweglichen Ladungsträger so weit, bis die Überlagerung von Original- und Sekundärfeld senkrecht auf der Oberfläche stehen. Elektr. Feldlinien stehen also stets ⊥ auf der Metalloberfläche.
7) Siehe C7)
8) F = ∆Q ⋅ E = 1 ⋅ 10−3 C ⋅ 3 N / C = 3mN
9) Spannungsquelle sind Vorrichtungen, welche ein elektrisches Feld erzeugen. Sie sind also Vorrichtungen
der primären Ladungstrennung und bereiten den Energietransport im Stromkreis vor.
1. Möglichkeit: Bereits geladene Platten werden auseinander gezogen, bzw. räumlich getrennt.
Dadurch wird der felderfüllte Raum und somit die Spannung vergrößert. Faktor ½ : Die bewegte (z.B. obere) Platte wird nur durch ein Halbfeld geführt, denn oberhalb besteht feldfreier Raum.
2. Möglichkeit: Die Ladungstrennung zwischen feststehende Platten wird portionsweise vollzogen.
Die erste Teilladung wird kräftefrei überführt. Bei der letzten Teilladung sind Feld und Gegenkraft voll
ausgebildet. Der Mittelwert liefert daher den Faktor ½.
10) Der Feldaufbau dauert in diesem Modell t = Q / I = 8ms .
11) Erst Spannungsquelle zum Feldaufbau, dann Stromquelle zum Energietransport im Stromkreis.
12) a) Spannung ist keine Kraft, sie ist verrichtbare Arbeit pro Ladung. b) Man erzeugt einen größeren felder-
15
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
füllten Raum, aber keine Spannung, obwohl sich im größeren Feld natürlich durch ein ∆Q mehr Arbeit
verrichten lässt. c) , d) und e) sind gefährliche Irreleitungen. f) Spannung = „Minus Potentialdifferenz“.
Siehe D5 ii). Die Batteriespannung ist hier durch das Dissoziationsvermögen des Zinks limitiert.
ϕ = potentielle Energie / Ladung, welche bei einer Bewegung von +∆Q durch das Feld von Minus nach
Plus gewonnen wird. U = Spannung = Arbeit / Ladung, welche bei einer Bewegung von +∆Q durch das
Feld von Plus nach Minus an einem Verbraucher verrichtet werden könnte. Daher sind die Zählrichtungen
unterschiedlich. Der Ohmsche Widerstand ist ein Verbraucher. In ihm fließt der Strom in der Richtung
des Feldes und somit der Spannung. Daher sagt man. „Strom und Spannung sind in Phase“.
U x = x ⋅ U / l = 6V . Die Stromstärke spielt beim Spannungsteiler keine Rolle. (Doch siehe Belastbarkeit)
Siehe D4) , G) und H).
Ein Kondensator besteht aus zwei, gegeneinander isolierten Metallstücken (Platten, Drähten, ..).
Der Plattenkondensator hat die baubedingte Kapazität C = ε r ε 0 ⋅ A / d . Klemmt man die Pole an eine Spannungsquelle, so fließt die Ladung Q = C ⋅ U auf , welche zwischen den Platten das Feld E = Q / ε r ε 0 ⋅ A =
= Q ⋅ d / C mit der Feldenergie W = ½ Q U erzeugt. Nach Abklemmen bleiben U, Q und W erhalten.
a) σ = 0,1µ C / m 2 ; E = 11299 J / Cm ; WFeld = 22, 6nJ . b) d verdoppeln ⇒ σ , E bleibt, WFeld verdoppelt sich . Q
verdoppeln: σ , E verdoppelt sich , WFeld vervierfacht sich . c) W pot = 22, 6 J ; ϕ = 45, 2 J / C . d) W pot /100 ; ϕ bleibt .
e) W = W pot ; U = ϕ in umgekehrter Zählrichtung f) W /100 ; U bleibt g) ϕ und U bleiben im Limes ∆Q → 0
gleich. Auch wenn ϕ und U zu ihrer Def. ein ∆Q brauchen, so sind sie doch unabhängig von der Größe.
Der Antrieb der Ladungsträger erfolgt nicht durch die Spannung, sondern durch den Überschuss der
Trennkraft nach einem Stromfluss im Verbraucher: „Ohne Stromentnahme kein Strom.“
C = ε 0 ⋅ A / d = 1,1 pF ;U = E ⋅ d = 2, 4 MV ; Q = C ⋅ U = 2,655mC ; W = ½ QU = 3,186kJ . U verdoppelt sich.
21) Aus F =
C ⋅U 2 ε 0 ⋅ A U 2
2 Fd 2
N ⋅ m2
N ⋅ m2
N ⋅m
J
C ⋅V
C
=
⋅
⇒ ε0 =
= 8,676 ⋅ 10−12 2 2 , 2 2 =
=
=
=
.
2
2
2
2
m
⋅
V
m
⋅
V
m
⋅
V
m
⋅
V
m
⋅V
d
AU
m ⋅V
2d
2d
22) W = 0,5 C ⋅ U 2 = 62,5 J ; P = W / ∆t = 31, 25kW . 20% davon sind 6, 25kW .
23) Es gilt A =
C ⋅d
ε rε 0
=
40 ⋅ 10−12 F ⋅ 0,3 ⋅ 10−3 m
(C / V ) ⋅ m
= 2, 26 ⋅ 10−4
= 2, 26 ⋅ 10−4 m 2 = 2, 26cm 2 . ε r Siehe 5b)
−12
6 ⋅ 8,85 ⋅ 10 C / Vm
C /(Vm)
24) C = π ⋅ ε r ε 0 ⋅ l / ln(2 ⋅ 1, 2) ≈ 9,6mF ⇒ Q = C ⋅ U ≈ 2, 2 C
b) Q = 2, 434 µ As
c) E = 1,1 M V / m d) W = 267,7 µ J
25) a) C = 11,06 nF
26) C2 = 2, 212 nF a) U 2 = U ; Q2 = C2 ⋅ U 2 = 487,75 nC
b) Q2 = Q U 2 = Q2 / C2 = 1100V .
−1
27) C = C1 + (1/(C2 + C3 ) + 1/ C4 ) = 12, 2 µ F .
28) Cmax = 15 µ F , Cmin = 8 /15 µ F .
A
29)
B
C
H
E
F
CA =
D
G
I
1
4
6
8
10
3
µ F ;C B = µ F ;C C = 2 µ F ;C D = µ F ;C E = µ F ;C F = 5 µ F ;C G = µ F ;C H = µ F ;C I = 8 µ F
2
5
5
3
3
2
30) Vor den Einbau von C2 gilt Q1 = 0, 4µ C . Neue Gesamtkapazität und Ladung: C = 1,5 µ F , Q = 0,3µ C .
U bleibt gleich, weil nicht abgeklemmt wird. Bei Reihenschaltung gilt Q1 = Q2 = Q ⇒ U1 = Q1 / C1 = 150V .
31) a) U = 20 V ; W = 60 µ J b) C = 0,8 µ F ; U = Q / C = 7,5V
c) Q1 = 2, 25 µ C ; Q2 = 3, 75 µ C
; W1 = 8, 438 µ J ; W2 = 14, 063 µ J
d) W1 + W2 = 22,5 µ J , 37,5 µ J gehen dem elektrischen Feld also verloren.
Diese Energie ist in dem Umladestrom enthalten, denn die Ladung schwingt so lange zwischen den
beiden Kondensatoren hin und her, bis der Ohm’sche Widerstand der Leitungen die Schwingung abklingen lässt. Die verlorene Energie geht letztlich in Wärme über.
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