Numerische Lineare Algebra

TU Chemnitz
Professur Numerische Mathematik
Prof. Dr. Oliver Ernst
Dipl.-Math. Ingolf Busch
5. Februar 2014
Numerische Lineare Algebra
Wintersemester 2013/14
9. Übungsblatt
Aufgabe 29:
Gegeben sei die bidiagonale Matrix

α1 β1


B=


α2

..
..
.
. βm−1
αm


.


Für diese Matrix soll eine SVD berechnet werden.
(a) Wie vereinfacht sich die Bestimmung der SVD, falls βi = 0 für ein i = 1, 2, . . . , m gilt?
(b) Beschreiben sie für den Fall α1 = 0, wie man mit geeigneten Givens-Rotationen der
Zeilen von B erreichen kann, dass α1 = β1 = 0 und die resultierende Matrix bidiagonal
ist (αi und βi werden natürlich bei diesen Rotationen immer wieder überschrieben).
(c) Was ist im Fall αm = 0 zu tun, damit auch βm−1 = 0 ist?
(d) Was ist im allgemeinen Fall αi = 0 mit i 6= 1, m zu tun, damit βi = 0 und βi−i = 0?
(e) Wie vereinfacht sich die Bestimmung der SVD im Fall αi = 0 nachdem man die Transformationen aus (a), (b) oder (c) angewendet hat?
Aufgabe 30:
Gegeben sei die Matrix


1 β


1 β

B=

1 β 
1
mit β = 1234567
(a) Zeigen Sie, dass für jede Matrix A ∈ Cm×m gilt, dass | det(A)| = σ1 σ2 · · · σm . Dabei sind
die σi die Singulärwerte (inklusive 0) von A. Folgern Sie daraus, dass das Produkt der
Singulärwerte von B 1 ergibt.
(b) Berechnen Sie mit MATLAB die Singulärwerte von B und B > und jeweils das Produkt der
Singulärwerte. Wie genau sind die einzelnen Singulärwert jeweils? Warum kann man aus
dem Produkt der Singulärwerte auf deren Genauigkeit schließen?
Aufgabe 31:
Sei
A = Ak Ak−1 · · · A1 ∈ Cn×n
und

Ak
 A1


A2
C=


..




.


.
Ak−1
Zeigen Sie dann, dass die komplexe Zahl λ genau dann ein Eigenwert von A ist, wenn die
komplexen Zahlen λ1/k , λ1/k ω, λ1/k ω 2 , . . . , λ1/k ω k−1 alles Eigenwerte von C sind. Dabei ist ω =
e2πi/k und λ1/k eine k-te Wurzel von λ.
(a) Sei x = [x1 , x2 , . . . , xk ]> ein Eigenvektor (aufgeteilt entsprechend der Blockstruktur von
C) von C zu einem Eigenwert τ 6= 0. Nutzen Sie die Eigenvektorbeziehung von x und C
um zu zeigen, dass kein Teil xi von x der Nullvektor ist. Zeigen Sie weiterhin, dass x1 ein
Eigenvektor von A mit dem Eigenwert τ k ist. Das bedeutet, dass jeder Eigenwert von C
eine k-te Wurzel eines Eigenwertes von A ist.
(b) Zeigen Sie, dass auch die anderen Teile des Vektors x Eigenvektoren von bestimmten
Produktmatrizen sind, wobei der Eigenwert immer τ k entspricht.
(c) Sei α eine beliebige k-te Einheitswurzel. Zeigen Sie, dass dann y
=
k−1
k−2
0
>
[x1 α , x1 α , . . . , xk α ] eine Eigenvektor von C mit Eigenwert ατ ist. Wenn
also eine k-te Wurzel von λ ein Eigenwert von C ist, so sind es auch alle anderen.
(d) Sei z1 ein Eigenvektor von A zu einem Eigenwert λ 6= 0 und τ eine beliebige k-te Wurzel
von λ. Konstruieren Sie aus z1 einen Eigenvektor von C zum Eigenwert τ . Damit ist
gezeigt, dass jede k-te Wurzel eines Eigenwertes von A ein Eigenwert von C ist.
(e) Zeigen Sie, dass 0 genau dann ein Eigenwert von A und C ist, wenn mindestens ein
Faktor Aj einen nichttrivialen Nullraum hat. Wie sehen in diesem Fall die Eigenwerte
aus? Zeigen Sie weiterhin, dass 0 ein Eigenwert sein muss, wenn nicht alle Faktoren Aj
quadratisch sind.
Aufgabe 32:
Zeigen Sie, dass
f (z) = (z − µ)(z − µω)(z − µω 2 ) · · · (z − µω k−1 ) = z k − µk
mit
z ∈ C,
µ ∈ C, und
2
ω = e2πi/k .