Nur für die mündliche Prüfung re

Examenskolloquium SoSe 10: Stochastik I
Susanne Koch
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Begriffe und Sätze aus der Vorlesung und den Übungen, die Sie kennen und mit denen
Sie umgehen können sollten 1 :
1
Auswertung statistischer Daten (Nur für die mündliche Prüfung relevant!)
1.1
Merkmale, Urliste, Strichliste, Stengel- und Blattdiagramm
Begriff Stichprobe
1.2
Klasseneinteilungen
1.3
Relative Häufigkeiten und Häufigkeitsverteilungen
Begriffe absolute und relative Häufigkeit (insbes. Def. 1.1)
Def. 1.2 - Häufigkeitsverteilung
Strecken-/Stabdiagramm
1.4
Kenngrößen von Häufigkeitsverteilungen
1.4.1
Mittelwerte
Def. 1.3 - arithmetisches Mittel, Eigenschaften des arithmetischen Mittels
Def. 1.4 - Median
1.4.2
Streuungsmaße
Spannweite
Halbweite
Boxplot
Def. 1.6 - mittlere quadratische Abweichung, Standardabweichung
2
Modelle für Vorgänge mit zufälligem Ergebnis
Begriff mathematisches Modell
2.1
Ergebnismenge und Ereignisse (Für die Klausur besonders wichtig!)
Def. 2.1 - Ergebnismenge, Ergebnis
Def. 2.2 - Ereignismenge, sicheres Ereignis, unmögliches Ereignis
Sie müssen Zufallsexperimente modellieren können - also die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsräume,
bestehend aus Ergebnismenge, Ereignismenge (s.o.) und Wahrscheinlichkeitsverteilung (s.u.) angeben
können! Dafür gibt es kein Standard-Verfahren - hier hilft nur viel Üben!
1
Alle Nummernangaben beziehen sich auf die entsprechenden Nummern in den handschriftlichen Aufzeichnungen zur
Vorlesung.
1
2.2
Das empirische Gesetz der großen Zahl
2.3
Operationen mit Ereignissen (Für die Klausur besonders wichtig!)
Begriffe Schnitt, Vereinigung, Gegenereignis
2.4
Wahrscheinlichkeit (Für die Klausur besonders wichtig!)
2.4.1
Axiome einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Def. 2.3 - Wahrscheinlichkeitsverteilung, Ereignismenge, Wahrscheinlichkeitsraum, Wahrscheinlichkeitsmodell
S. 81: Begriff Laplace-Raum (kennen und damit umgehen können)
2.4.2
Weitere Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Satz 2.2
Satz 2.3
S. 84: Begriff Wahrscheinlichkeitsfunktion
Satz 2.5: Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und -funktion.
2.4.3
2.5
Wahrscheinlichkeit und Erfahrung
Mehrstufige Vorgänge und Baumdiagramme (Für die Klausur besonders wichtig!)
Im Zuge der Modellierung von Zufallsexperimenten müssen Sie Baumdiagramme aufstellen und auslesen“
”
können!
2.7
Anzahlbestimmung mit Hilfe von Baumdiagrammen (Für die Klausur besonders
wichtig!)
URNENMODELLE (alle vier) kennen und anwenden können - Tabelle Seite 117!!!!
Produktregel der Kombinatorik (S. 123)
3
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit (Für die Klausur besonders wichtig!)
3.1
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Def. 3.1 - Bedingte Wahrscheinlichkeit
Satz 3.1
Satz 3.2; überlegen Sie sich auch, wie man P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) berechnet....
Das Ziegenproblem müssen Sie nicht im Speziellen kennen! Sie müssen aber die damit verbundenen
Begriffe (bedingte Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm etc.) beherrschen!
Seite 151: Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Seite 156: Bayes-Formel (Satz)
2
3.2
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Def. 3.2 - stochastisch unabhängig
3.3
Unabhängigkeit von mehr als zwei Ereignissen
Def. 3.3 - stochastisch unabhängig
Satz 3.3
3.4
Operationen mit unabhängigen Ereignissen
3.7
Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten
Seite 172: Def. Bernoulli-Experiment
Seite 178: Def. Bernoulli-Kette
Seite 181: Aussage im Kasten (unten) - Binomialverteilung (Wichtig!!!).
4
Diskrete Zufallsvariablen/Zufallsgrößen (In erster Linie für die
mündliche Prüfung relevant, allerdings müssen Sie in der Klausur
einen Erwartungswert berechnen können!)
4.1
Zufallsgrößen und ihre Verteilung
Def. 4.1 - Zufallsgröße
Seite 192: Def. verallgemeinertes Inverses
Def. 4.2 - Verteilung einer Zufallsgröße
Seite 197 ff.: Spezielle Verteilungen: Bernoulliverteilung, Binomialverteilung, geometrische Verteilung, Poissonverteilung
4.2
Der Erwartungswert einer Zufallsgröße
Def. 4.3 - Erwartungswert (für Beispiele berechnen können)
Seite 209: Satz im Kasten
3
Wichtige Übungsaufgaben, die Sie für die Klausur wiederholen sollten:
Blatt 2: (P5), (H8)
Blatt 3: (P7), (H11), (H12)
Blatt 4: (H13), (H15), (H16), (H17)
Blatt 5: (H18), (H19), (H20), (H21)
Kurztest: (2.)
Blatt 6: (P12), (P13), (P14), (H23), (H24)
Blatt 7: (P15), (P16), (P17), (H26), (H27), (H28)
Blatt 8: (P18), (H30), (H31), (H33)
Blatt 9: (P20), (H34), (H35)
Blatt 10: (H40), (H41)
Üb.-kl.: komplett bis auf (ÜK2), besonders wichtig: (ÜK3), (ÜK5) bis (ÜK9)
Links mit Kombinatorik-Aufgaben2 :
• http://www.mathe-bf.ch/,
besonders http://www.mathe-bf.ch/s/s1/s13/aufg_s13.html
• http://schulen.eduhi.at/riedgym/mathematik/klasse7/kombvermischt.htm
• http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Stochastikpdf/wBlatt3.pdf
und http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Stochastikpdf/WrechnungAufg2.pdf
• http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/K/kombinatorik.html
• ...
2
Ohne Gewähr für die Richtigkeit der Löungen!
4
Aufgaben:
(EK1) Beantworten Sie die folgenden Fragen.
wahr
falsch
(a)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B), falls A ∪ B = ∅:
(b)
Die Ereignisse A und Ac sind immer unabhängig:
(c)
Es gibt 580 Möglichkeiten, wie 13 Personen bei einer Wahl
ihre Stimmen auf 4 Kandidaten verteilen können:
Die Wahrscheinlichkeit, beim Lottospielen 6 aus 49“
”
höchstens 6 Richtige zu tippen, ist 49
:
6
der/die Klassensprecher/in ganz vorne stehen soll:
(g)
A \ B = A \ (A ∩ B):
(h)
Beim einfachen Würfelwurf mit einem fairen Würfel
(d)
(e)
n
n
Für alle n ∈ N0 und k ∈ {0, 1, . . . , n} gilt
=
:
k
n−k
(f)
Es gibt 29! Möglichkeiten, die 29 Schülerinnen und Schüler
einer Klasse in eine Reihe zu stellen, wenn
ist der Erwartungswert der geworfenen Augenzahl 3, 5:
(EK2) Es seien A und B unabhängige Ereignisse mit P (Ac ) =
(a)
(b)
(c)
(d)
2
5
und P (B|A) =
7
10 .
Berechnen Sie hiermit
P (A)
P (B)
P (A ∪ B)
P (A \ B)
(EK3) Ein Gärtner versucht sich an der Zucht einer neuen Pflanze. Dazu pflanzt er l ∈ N Samen dieser
Pflanze ein. Ihm ist bekannt, dass jeder der l Samen mit Wahrscheinlichkeit 32 keimt, falls das in
diesem Fall häufig gebräuchliche Düngemittel Alpha verwendet wird, und dass die Samen sicher
keimen, falls das ganz neu entwickelte Düngemittel Beta verwendet wird. Das Düngemittel Alpha
kostet den Gärtner pro Samen 0, 16 Euro, das Düngemittel Beta hingegen 0, 3 Euro. Der Gärtner
5
wird alle Pflanzen mit demselben Dünger behandeln; in Abhängigkeit der Liefermöglichkeiten wird
dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 41 das neue Mittel Beta sein.
Einige Wochen nach dem Einpflanzen der Samen kommt ein Kollege des Gärtners ins Gewächshaus
und informiert sich über den Ausgang des Pflanz- und Düngexperiments; er weiß, dass l Samen
eingepflanzt wurden, aber nicht, welcher Dünger verwendet wurde.
Stellen Sie eine Ergebnismenge Ω für alle möglichen Beobachtungen des Kollegen auf und beschreiben Sie die Ereignisse A := Es wurde das Düngemittel Alpha verwendet“ Ki := Der i-te Samen
”
”
hat gekeimt“ (i ∈ {1, . . . , l}) und K := Alle Samen haben gekeimt“ als Teilmengen dieser Ergeb”
nismenge. Bestimmen Sie |Ω|, |A|, |K| und |Ki | für alle i = 1, . . . , l.
Beantworten Sie außerdem folgende Fragen:
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Düngemittel Beta verwendet wurde, wenn der
zweite Same gekeimt hat?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Düngemittel Beta verwendet wurde, wenn genau
ein Same nicht gekeimt hat?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Düngemittel Alpha verwendet wurde, wenn alle
Samen gekeimt haben? Wie verhält sich diese Wahrscheinlichkeit für l → ∞?
(d) Sei R(l) die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Same nicht gekeimt hat. Wie verhält sich
R(l) für l → ∞?
(e) Wie hoch sind die durchschnittlichen Kosten pro Aufzucht einer Pflanze bei Verwendung des
Düngemittels Alpha bzw. Beta. Womit steht sich der Gärtner günstiger?
(EK4) Tim und Tom spielen ein Spiel, welches sich wie folgt in mehrere Runden unterteilt: In jeder Runde
wird ein fairer Würfel geworfen und die dabei gefallene Augenzahl betrachtet: Ist diese 1 oder 6,
so hat Tim die Runde gewonnen, in allen anderen Fällen Tom. Dies wiederholen die Spieler so oft,
bis einer von ihnen zwei Runden gewonnen hat (nicht notwendig direkt hintereinander). Tim zahlt
einen Einsatz von einem Euro für das gesamte Spiel, Toms Einsatz beträgt zwei Euro. Der Sieger
des Spiels erhält die Summe dieser Einsätze.
(a) Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum für das Experiment an.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tom Gesamtsieger wird?
(c) Untersuchen Sie das Spiel auf Fairness.
(d) Für alle l ∈ N sei Sl das Ereignis, dass die Münze genau l-mal geworfen wurde bis der Gesamtsieger feststeht. Beschreiben Sie Sl als Teilmenge Ihrer Ergebnismenge aus (i) und bestimmen
Sie die Wahrscheinlichkeit von Sl .
(e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tim mindestens einmal in Führung gelegen hat,
gegeben, dass Tom gewinnt.
(f) Wie sind die drei Euro aufzuteilen, wenn das Spiel beim Spielstand von 1 : 1 plötzlich abgebrochen werden muss und das Geld so aufgeteilt werden soll, dass jeder Spieler denjenigen
Anteil bekommt, der proportional ist zu der Wahrscheinlichkeit, mit der er, ausgehend von der
derzeitigen Situation, als Gesamtsieger aus dem Spiel hervorgehen würde?
6