Diskrete Mathematik LVA 703015 4. PS

Diskrete Mathematik
4. PS-Blatt für den 3. April 2017
LVA 703015
Institut für Informatik
1) Sei der gerichtete Graph G gegeben durch die Eckenmenge
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
und die Kantenmenge
K = {(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ 3} ∪ {(i, j) | 4 ≤ i < j ≤ 7}.
a) Visualisieren Sie den Graphen G (falls möglich ohne Kanten zu überkreuzen) und geben
Sie für jede Ecke ihren Eingangsgrad bzw. Ausgangsgrad an.
b) Wie viele Zykel hat G?
c) Finden Sie alle maximalen Teilgraphen von G die stark zusammenhängend sind.
d) Finden Sie eine möglichst kleine Äquivalenzrelation R, so dass G ein Teilgraph des
Graphen von R ist, und geben Sie die entsprechenden Äquivalenzklassen an.
2) Wie ist die transitive Hülle einer Relation R definiert?
Zeichnen Sie den gerichteten Graph G der durch die Relation
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 5)}
auf M = {1, 2, 3, 4, 5} gegeben ist.
Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Warshall die transitive Hülle von R.
3) Aufgabe 5.3.
4)
a) Gegeben seien die Abbildungen f (n) = n log n und g(n) = n2 + 2n + 1. Berechnen Sie
(n)
sowohl lim supn→∞ fg(n)
als auch lim supn→∞ fg(n)
(n) und schließen Sie aus den Resultaten
ob f ∈ O(g), Ω(g), Θ(g), o(g) und/oder vice versa. (Die Abbildungen f und g können zum
Beispiel als Komplexitäten der Sortieralgorithmen Merge Sort und Bubble Sort betrachtet
werden.)
b) Sei F = {f | N → [0, ∞)} die Menge aller Abbildungen von den natürlichen Zahlen auf
die nicht negativen reellen Zahlen. Zeigen Sie dass die folgenden Eigenschaften für die
Relation v auf F , gegeben durch f v g wenn f ∈ O(g), gelten:
• v ist reflexiv,
• v ist transitiv,
• v ist nicht antisymmetrisch und
• v ist nicht total.
(Hinweis: Finden Sie Abbildungen f und g deren Werte im Vergleich „alternieren“
(n)
und „erhöhen“ Sie dann diese Abbildungen so dass fg(n)
mit passendem n jeden
beliebigen Wert übersteigt (und dasselbe für
1
g(n)
f (n) .)
5) Gegeben ein gerichteter Graph G durch die Relation
{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 5)}
auf M = {1, 2, 3, 4, 5} und Kantenbewertung
b((1, 2)) = 2, b((1, 3)) = 5, b((1, 4)) = 7, b((2, 3)) = 1, b((2, 4)) = 4, b((3, 4)) = 2, b((3, 5)) = 1,
b((4, 5)) = 3, b((5, 5)) = 1.
Ist G ein Wurzelbaum? Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Floyd die Eckenabstände im
Graphen G.
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