QUANTENMECHANIK Quizfragen Sommersemester 2011

QUANTENMECHANIK
Quizfragen
Sommersemester 2011
Prof. J. Ankerhold, Prof. S. Huelga
Aufgabe 1: Welchen Betrag hat der Ausbreitungsvektor ~k einer Lichtwelle im Vakuum?
2 λ, 2 1/λ, 2 2π/λ, 2 ω/c.
Aufgabe 2: Was bedeutet E bei der Beziehung E = h̄ω für Elektronen?
2
2
2
2
Die Energie zur Erzeugung eines Elektrons
Die kinetische Energie eines Elektrons
Die Gesamtenergie des Elektrons
die relativistische Energie mc2
Aufgabe 3: Die Deltafunktion δ(x − x′ ) ist gleich
R
2 δ(x − y)δ(y − x′ ), 2 δ(x − y)δ(x′ + y), 2 dy δ(x − y)δ(x′ − y),
R
R
2 dy δ(x − y)δ(x′ + y), 2 dy δ(x − y)δ(y − x′ ), 2 δ(x − y) − δ(y − x′ )
Aufgabe 4: Welche der folgenden Beziehungen für die Komponenten des Ortsoperators (x̂, ŷ, ẑ)
und des Impulsoperators (p̂x , p̂y , p̂z ) sind richtig?
2
2
2
2
2
2
x̂ŷ − ŷx̂ = h̄/i
x̂p̂x − p̂x x̂ = h̄/i
p̂x ŷ − ŷ p̂x = 0
p̂x x̂ + x̂p̂x = h̄/i
p̂x x̂ − x̂p̂x = h̄/i
x̂ẑ − ẑ x̂ = 0
Aufgabe 5: Welche physikalische Dimension hat die Deltafunktion δ(x − x0 )?
2 Länge, 2 1/Länge, 2 dimensionslos.
Aufgabe 6: Welche Eigenschaften müssen Messoperatoren haben?
2 normiert, 2 hermitesch, 2 orthogonal, 2 selbstadjungiert, 2 unitär
Aufgabe 7: Warum sind nur quadratintegrable Lösungen der Schrödingergleichung Wellenfunktionen?
2
2
2
2
2
Weil
Weil
Weil
Weil
Weil
die Randbedingungen sonst nicht zu erfüllen sind.
alle anderen Funktionen im Unendlichen unendlich groß werden.
man andere Funktionen nicht als Wahrscheinlichkeitsamplitude deuten kann.
nicht normierbare Funktionen keine Lösung der Schrödingergleichung sein können.
die Gesamtladung bzw. -Masse eines physikalischen Systems endlich ist.
Aufgabe 8: Was besagt das Korrespondenzprinzip (Ehrenfest)?
2
2
2
2
Die
Die
Die
Die
Wellenfunktionen genügen der Schrödingergleichung.
Messoperatoren sind hermitesche Operatoren
Erwartungswerte der Messgrößen gehorchen den klassischen Gesetzen.
Erwartungswerte der Messgrößen haben eine Mindestunschärfe.
Aufgabe 9: Wann ist die Schrödingergleichung eine gewöhnliche Differentialgleichung?
2
2
2
2
2
Wenn die potentielle Energie nicht explizit von der Zeit abhängt.
Wenn es sich um die zeitunabhängige Schrödingergleichung handelt.
Bei stationären, eindimensionalen Problemen.
Wenn sie separierbar ist.
Bei gebundenen Zuständen.
Aufgabe 10: Ein Teilchen der Energie E > V0 > 0 läuft von links gegen die Potentialstufe V =
V0 Θ(x). Der Reflexionskoeffizient sei R→ . Was gilt für den Reflexionskoeffizienten R← eines von
rechts kommendes Teilchens derselben Energie?
2 R← < R→ , 2 R← = R→ , 2 R← > R→ , 2 R← = 0.
Aufgabe 11: Ist die Aussage, dass in stationären Zuständen die Energie genau bestimmt werden
kann mit der Unschärferelation verträglich?
Aufgabe 12: Wann kann man die Lösungen der Schrödingergleichung in solche mit gerader und
ungerader Parität einteilen?
2
2
2
2
2
Wenn die potentielle Energie V (~r) nur von |~r| abhängt.
immer.
Wenn V (~r) = −V (−~r).
Wenn V (~r) = V (−~r).
Nur bei eindimensionalen Problemen.
Aufgabe 13: Welchen Wert hat die Stromdichte bei reellen Wellenfunktionen ψ und welchen bei
rein imaginären Wellenfunktionen ψ?
Aufgabe 14: Wie groß ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens in einer unendlich
hohen Potentialwand endlicher Dicke?
2 Null. 2 Sehr klein. 2 Hängt vom Außenraum ab.
Aufgabe 15: χ(k) und φ(p) seien Fouriertransformierte von ψ(x) bezüglich Wellenvektor k und
Impuls p. Welcher Zusammenhang besteht zwischen φ und χ?
√
2 φ(p) = χ(k), 2 φ(p) = √1h̄ χ(k), 2 φ(p) = h̄χ(k),
2 φ(p) = χ(h̄k), 2 φ(p) = χ(k/h̄), 2 φ(p) = h̄1 χ(h̄k).
Aufgabe 16: Kann in einem unendlich tiefen Kasten mit E0 =
dig stationären Zustand
der Energiewert E = 3E0
a) Als Messwert vorkommen?
b) Als Erwartungswert von Messergebnissen vorkommen?
der Energiewert E = 4E0
c) Als Messwert vorkommen?
d) Als Erwartungswert von Messergebnissen vorkommen?
der Energiewert E = 21 E0
e) Als Messwert vorkommen?
f) Als Erwartungswert von Messergebnissen vorkommen?
h̄2 π 2
2mL2
in irgendeinem nicht notwen-
Aufgabe 17: Der Dichteoperator ρ(t) in Schrödingerdarstellung ist gegeben durch:
i
i
i
i
i
2 ρ0 , 2 e− h̄ Ht ρ0 , 2 e h̄ Ht ρ0 e− h̄ Ht , 2 e− h̄ Ht ρ0 e h̄ Ht .
Aufgabe 18: Wann sind die Messungen zweier Größen  und B̂ verträglich?
2
2
2
2
Wenn
Wenn
Wenn
Wenn
die Operatoren  und B̂ dieselben Eigenwerte haben.
die Eigenvektoren zu  und B̂ dieselben sind.
die Operatoren  und B̂ vertauschbar sind.
eine Messung von B̂ die vorausgehende Messung von  nicht ungültig macht.
Aufgabe 19: |mi und |ni sind Eigenvektoren von Ĥ zu verschiedenen Eigenwerten.
2 |mi und |ni sind linear unabhängig.
2 |mi und |ni sind orthogonal.
Aufgabe 20: Durch eine vollständige Messung ist
2
2
2
2
2
Die Energie des Systems festgelegt.
Der Zustand des Systems vor der Messung festgelegt.
Der Zustand des Systems nach der Messung festgelegt.
Ein eindimensionaler Unterraum des Hilbertraums des Systems herausprojiziert.
Energie, Impuls und Drehimpuls des Systems festgelegt.
Aufgabe 21: Ein Spinsystem sei vor einer Messung in
√1 (|+i + |−i)
2
Zustand 21 (|+ih+| +
a) einem reinen Zustand
b) einem gemischten
|−ih−|).
Was sind die Erwartungswerte von σx und σz ?
In welchem Zustand ist das System nach einer eben durchgeführten Messung?
In welchem Zustand wird das System nach einer in der Zukunft liegenden Messung sein?
Aufgabe 22: Folgt aus der Operatorgleichung Â2 = 0 die Gleichung  = 0?
Aufgabe 23: Wie groß ist der Hilbertraum eines Teilchens im eindimensionalen Kastenpotenzial?
2 eindimensional, 2 zweidimensional, 2 dreidimensional ,2 unendlichdimensional.
ˆ~
Aufgabe 24: Sei ~σ , der aus den drei Paulimatrizen bestehende Vektor, mit den Operatoren A
und
ˆ~
B vertauschbar.
Bestimmen Sie
a) [σj , σk ]
b) [σj , σk ]+
~ σ · B)
~
c) (~σ · A)(~
~ ~σ · B]
~
d) [~σ · A,
~ 2
e) (~σ · A)
Aufgabe 25: Kann es vorkommen, dass hψ|Â|ψi2 = hψ|Â2 |ψi ist?
Aufgabe 26: Wann ist die WKB nicht mehr gültig?