Anleitung 1 Komplexe Funktionen für Studierende der

Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg
SoSe 2015
Dr. Hanna Peywand Kiani
Anleitung 1 Komplexe Funktionen für Studierende der
Ingenieurwissenschaften
Komplexe Zahlenebene, Elementare Funktionen
10.4.2015
Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der
Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen).
Tipp– oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz
erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!
Komplexe Zahlenebene
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
0
z ∈ C : z := x + iy,
x =: Re z,
−5
−6
5
x, y ∈ R ,
−4
−2
0
2
4
6
i = imaginäre Einheit mit i2 = −1.
y =: Im (z)
|z| := Abstand zu 0 + i · 0
= Länge des Ortsvektors
p
= x2 + y 2.
Addition: wie im R2 komponentenweise: (a + ib) + (x + iy) =
2
2
Polarkoordinaten: wie im R :
x = r cos(ϕ),
y = r sin(ϕ) ,
p
r = x2 + y 2
z = r ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ) = reiϕ = |z|eiϕ
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
Beispiele:
√
z =2 3−i·2 =
0
5
√
c=2+i·2 3 =
3
Einheitskreis:
K1 := {z ∈ C : z = reiϕ, r = 1 }
= {z ∈ C : z = eiϕ, ϕ ∈ (−π, π]}
Addition: ?
Konjugiertkomplexe Zahl:
z̄ := x − iy
Geometrisch : Spiegelung an der reellen (x)-Achse
4
Multiplikation im R2 ←→ C
Im R2 gab es bisher keine Multiplikation v, w ∈ R2, v ∗ w ∈ R2, nur
w.v := < w, v > ∈ R,
Av ∈ R2,
A ∈ R2×2
In der komplexen Zahlenebene
(a + ib)(x + iy) := ax + iay + ibx + i2by = (ax − by) + i(ay + bx) ∈ C
Einfacher: mit c = a + ib = ρeiω und z = x + iy = reiφ
=⇒ c · z =
Beispiele:
π
z = 0 + 1 · i = ei 2 =⇒ z · z = i2 =
5
√
−i π6
z = 2 3 − i · 2 = 4e
p
π
c = 2 + i · 2 (3) = 4ei 3
√
√
Kartesisch: c · z = (2 + i · 2 3) · (2 3 − i · 2)
Polar: c · z =
z1 · z¯2
z1
:=
Division:
z2
z2 · z¯2
Beispiel:
1 + 3i
2+i
polar: c = a + ib = ρeiω und z = x + iy = reiφ
c
=⇒
=
z
6
Betrag / Modul:
|z|2 = x2 + y 2 = (x + iy)(x − iy) = z · z̄ .
Geometrisch : Abstände
Beispiele: Welche geometrische Gebilde werden beschrieben durch
{z ∈ C | z − z̄ = 2} ,
(z − 5)(z̄ − 5) = 4,
|z + 2 + i| ≤ 3,
|z − 2i| = |z − 1|
7
Argument
z = reiϕ =⇒
ϕ =:
Argument von z.
z = x + iy : Argument nur bis auf Vielfache von 2π bestimmt, denn
reiϕ = rei(ϕ + 2kπ)
k∈Z
{arg z} := Menge aller Argumente von z
arg (z) := Hauptwert von Argument z, festgelegt durch zusätzliche Bedingung
i.d.R.
ϕ ∈ ] − π, π]
(Hauptwert)
arg (0) ist nicht definiert!
Beispiel: z = − i
√
z = 2 3 − 2i
8
Geometrische Interpretation der Addition/Multiplikation:
Addition z 7→ c + z : Verschiebung um c
Multiplikation
1. Fall: a ∈ R+, z := reiϕ ∈ C
z 7→ az = areiϕ
: Streckung (Stauchung) um Faktor a.
2. Fall: c = eiα ∈ C, z := reiϕ ∈ C
z 7→ cz = rei(ϕ + α)
: Drehung um Winkel α.
3. Fall: c = aeiα ∈ C, z := reiϕ ∈ C
z 7→ cz = arei(ϕ + α)
: Drehstreckung.
Beträge werden multipliziert. Argumente werden addiert.
9
Beispiel: Geometrische Lösung von
Re ((1 + i)z̄ ) = 0
(Klausur 2005)
10
Geometrische Interpretation der affin linearen Funktion
vgl.
Vorlesungsfolien 18 und 23-25
f (z) = cz + d
Drehstreckung + anschliessender Verschiebung
Streckung ist in alle Richtungen gleich!
Unterschied zu linearen Abbildungen im R2:
zum Beispiel :
v 7→
1
2 0
v
0 3
Streckung um 1/2 in x−Richtung und um 3 in y−Richtung
11
1 1
0
1
A =
=⇒ A
=
0 1
1
1
Winkel zwischen Urbildern = π2 ,
Winkel zwischen Bildern =
1
1
A
=
0
0
π
4.
Bei der komplexen Multiplikation c · z wird nur gedreht und
gestreckt. Winkel bleiben erhalten!
Lineare Funktionen in C können viel weniger als lineare
Funktionen in R2
Zur Erinnerung: Differenzierbarkeit= hinreichend gute Approximierbarkeit durch lineare Funktionen
Differenzierbarkeit in C : viel mehr als Differezierbarkeit im R2!
12
Lokal: f (z) ≈ az + b =: u(x, y) + i v(x, y)
Im R2 :
x
u(x, y)
ux uy
f˜
=
=⇒ J f˜(x, y) =
y
v(x, y)
vx vy
x
x
2
Drehstreckung im R :
→A·
mit
y
y
k cos(α) −k sin(α)
A =
k sin(α) k cos(α)
Später: Diffbarkeit in C :
ux = vy , vx = −uy
(Cauchy-Riemannsche DGL’n).
13
Beispiel für eine Lineare Funktion: Die halbe Kreisscheibe
K := {z ∈ C : |z − 2 − i| < 3, Re (z) > 2}
soll auf die obere Hälfte des Einheitskreise (|z| < 1) transformiert
werden. Wie geht das?
14
Natürliche Potenzen/Wurzeln
z = reiϕ =⇒ z n = rneinϕ
√
√
iϕ
n
n
z = r e n ? VORSICHT!!
Beispiel 1:
√
2
2
iπ
z = i ⇐⇒ z = i = e 2
2
2
i2ϕ
z = r ·e
!
2
iπ
2
= 1 ·e
Anschaulich: z liegt auf dem Einheitskreis und wenn man den Winkel zu z verdoppelt landet
man in i.
Zwei verschiedene Punkte der komplexen Zahlenebene.
15
Beispiel zu Potenzen: Gesucht z = reiφ mit
√ !
√ !
3
3
1
1
4
+i
z = − +i
·81
2
2
2
2
|
|
{z
}
{z
}
π
cos( π
3 )+i sin( 3 )
iπ
3 4
e z = 81e
i2π
3
2π )
)+i
sin(
cos( 2π
3
3
⇐⇒
|z 4| = |z|4 =
4
4 i 4φ
arg (z ) = arg (r e
!
)=
{arg (z 4)} = {
{arg (z)} = {
Vier verschiedene Punkte der komplexen Zahlenebene.
16
Allgemein:
n ∈ N,
1
n
iφ
z = re ,
φ 2kπ
i( n
+ n )
w = |z| e
w := z
1
n
k = 0, 1, 2, · · · , n − 1
n paarweise verschiedene Punkte der C− Ebene
Hauptwert :
−π < φ < π,
1
n
1
n
φ
i( n
)
z = |z| e
17
Exponentialfunktion:
(vgl. Vorlesungsfolien 31-34)
∞
X
zk
= ex+iy = ex · eiy = ex(cos(y) + i sin(y))
exp(z) :=
k!
k=0
| ez | = eRe (z) ,
Beispiel: Lösungen von
Im (z) ∈ {arg (ez )}
(ez )2 = −25i
(ez )2 = e2z = e2x+2iy = −25i
z 2
!
2x !
|(e ) | = e
= 25 ⇐⇒
!
{arg ((ez )2)} = {2y + 2kπ} = {arg (−i)} ⇐⇒
18
Trigonometrische/hyperbolische Funktionen:
Additionstheoreme (siehe Vorlesungsfolien 55-57) oder e-Funktion nutzen!
ei(x+iy) − ei(−x−iy)
sin(z) =
2i
1 −y
=
(e (cos(x) + i sin(x)) − ey (cos(x) − i sin(x))
2i
ey − e−y
ey + e−y
= i cos(x)
+ sin(x)
2
2
= sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y) .
19
Zu Bestimmen seien Lösungen von sin(z) = 5i bzw. sin(z) = 5.
a) sin(z) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y) = 5i
b) sin(z) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y) = 5
Merke: In C gilt nicht mehr | sin |, | cos | ≤ 1 !
20