Logik und Diskrete Strukturen

Hertrampf/Wächter/Walter/Weiÿ
Wintersemester 2014/15
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 3
Abgabe: bis Mo 24.11. 12:50 in den Abgabekästen im Mittelgang des 1. Stocks.
Besprechung: In den Kalenderwochen 48 und 49.
1.
Syntax der Temporallogik (schriftlich)
Wir denieren induktiv die Formelmenge LTL:
(2
Punkte )
• Jede atomare Formel Ai für i ∈ {0, 1, . . . , } ist in LTL.
• Sind die Formeln F und G in LTL, so gilt dies auch für die Formeln
(¬F ), (F ∨ G), (F ∧ G), (XF ) und (F U G).
Zur Vereinfachung der Schreibweise vereinbaren wir, dass auch A, B etc. statt A0 , A1 etc. geschrieben werden darf, sofern dies nicht zu Verwechslungen führt.
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen syntaktisch korrekte Formeln in LTL sind:
a)
b)
c)
d)
2.
((X (X(A ∨ B))) U (¬B))
((X U A) ∨ B)
((B ∧ ¬B) U (A ∧ ¬A))
((XA) ↔ B)
Semantik der Temporallogik (schriftlich)
Wir denieren nun die Semantik der in Aufgabe 1 denierten Formeln in LTL.
Eine endliche Folge T = (A0 , A1 , . . . , An ) von Belegungen
(8
Punkte )
Ai : {A0 , A1 , . . . , Am } → {0, 1}
für i = 0, 1, . . . , n mit m ∈ {1, 2, . . . } heiÿt passend für eine Formel F ∈ LTL, falls die in F
vorkommenden atomaren Formeln eine Teilmenge von {A0 , A1 , . . . , Am } bilden.
Zu jeder endlichen Folge T = (A0 , A1 , . . . , An ) von Belegungen wird Tt := (At , At+1 , . . . , An )
für alle t ≤ n deniert. D. h am Anfang der Folge werden t viele Elemente abgeschnitten.
Sei F ∈ LTL und T = (A0 , A1 , . . . , An ) eine zu F passende Folge von Belegungen. Dann ist
der Wahrheitswert T (F ) von F unter T induktiv folgendermaÿen deniert:
• Ist F = A eine atomare Formel, so ist T (F ) = A0 (A).
• Ist F = (¬G) für eine Formel G ∈ LTL, so ist
(
0 falls T (G) = 1
T (F ) =
1 falls T (G) = 0.
• Ist F = (G ∨ H) für zwei Formeln G, H ∈ LTL, so ist
(
1 falls T (G) = 1 oder T (H) = 1
T (F ) =
0 sonst.
• Ist F = (G ∧ H) für zwei Formeln G, H ∈ LTL, so ist
(
1 falls T (G) = 1 und T (H) = 1
T (F ) =
0 sonst.
• Ist F = (XG) für eine Formel G ∈ LTL, so ist
(
0
falls n = 0
T (F ) =
T1 (G) sonst.
• Ist F = (G U H) für


1
T (F ) =


0
zwei Formeln G, H ∈ LTL, so ist
falls es ein t0 ∈ {0, 1, . . . , n} gibt, sodass
Tt0 (H) = 1 und für alle t ∈ {0, 1, . . . , t0 − 1} Tt (G) = 1
sonst.
Nach dieser Denition sind (wie in der Aussagenlogik) ∨ und ∧ assoziativ. Wie üblich
kann (und wird) also F ∧ G ∧ H statt ((F ∧ G) ∧ H) geschrieben werden. Auÿerdem werden
die üblichen Präzendenzregeln der Aussagenlogik angewendet und entsprechende Klammern
weggelassen. Auch beim einstelligen Operator X werden Klammern weggelassen, er hat dabei
die selbe Präzedenz wie die Negation.
Ist T (F ) = 1, so heiÿt T Modell für F .
a) Geben Sie für jede der folgenden Formeln ein Modell T = (A0 , A1 , . . . , An ) mit n < 5
an:
•
•
•
•
F0
F1
F2
F3
= A ∧ (¬A ∨ ¬XA)
= A ∧ XB ∧ XXC ∧ X¬XA
= F1 ∧ (¬A ∨ ¬XA) ∧ (¬XB ∨ XX¬B)
= F2 ∧ ((A U B) U (C ∧ XC))
b) Zeigen oder widerlegen Sie: A U (B ∨ C) besitzt genau die selben Modelle wie
(A U B) ∨ (A U C).
c) Zeigen oder widerlegen Sie: X¬A besitzt genau die selben Modelle wie ¬XA.
3.
4.
Endlichkeitssatz I (schriftlich)
(5
Punkte )
Sei M = {F1 , F2 , . . .} eine unendliche Menge von Formeln. Seien die Teilmengen Kp =
{F1 , . . . , Fp } ⊆ M für jede Primzahl p erfüllbar. Für welche m ∈ N ist dann die Menge
Lm = {Fk | k ≥ m2 } erfüllbar? Beweisen Sie Ihre Antwort!
Endlichkeitssatz II
a) Gibt es eine unendliche Menge von Formeln M = {F1 , F2 , . . .}, sodass M unerfüllbar
ist, aber für alle m = 1, 2, . . . die Formelmenge M \ {Fm } erfüllbar ist?
b) Ist die folgende Aussage wahr?
Sei M = {F1 , F2 , . . .} eine unendliche Menge von Formeln. Seien die Mengen Kn =
{Fn , . . . , F2n } für alle n = 1, 2, . . . erfüllbar, dann ist M erfüllbar.
Beweisen Sie Ihre Antworten!
5.
Resolution
Die Formel F sei in KNF wie folgt gegeben:
F = (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ C) ∧ ¬C
Zeigen Sie mittels Resolution, dass F unerfüllbar ist.
6.
Gültigkeit mittels Resolution
Zeigen Sie mittels Resolution, dass die Formel
F = A ∧ ¬B ∨ B ∧ ¬C ∨ B ∧ ¬D ∨ A ∧ C ∧ D ∨ ¬A
gültig ist.