Logarithmen - Maschinen- technik

Hinweise zur Logarithmusrechnung
Logarithmen
1
Logarithmenbegriff
Beispiel
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f: y = 2x - 8 und bestimmen Sie die Nullstelle.
Lösung
Wertetabelle
x
y
-2
-1
0
- 7,8 - 7,5 - 7
1
2
3
4
-6
-4
0
8
Bestimmung der Nullstelle:
y = 0:
2x - 8 = 0
2x = 8
Aus Wertetabelle und Graph findet man als Lösung dieser Exponentialgleichung
x = 3.
Da wir die Exponentialgleichung noch nicht nach
x auflösen können, wollen wir die Lösung mit
Worten umschreiben:
"x ist der Exponent zur Basis 2, der zum Potenzwert 8 führt"
(kurz: x = exp2 8 = log2 8)
Da die Bezeichnung "exp" für die e-Funktion
verwendet wird, wurde für den Exponenten die
Bezeichnung Logarithmus (log) 1 eingeführt.
x = log2 8 = 3
x= logab
(Numerus)
Definition
Der Logarithmus ist der Exponent, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um die Zahl (Numerus) b zu erhalten.
gelesen:
1
"x gleich Logarithmus b zur Basis a" Der
Logarithmus ist also eine Hochzahl.
lógos arithmós (griech.) = Rechengröße
numerus (lat.) = Zahl
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Den Logarithmus berechnen heißt, den Exponenten einer bestimmten Potenz zu bestimmen.
Beispiele
log5 25 = 2,
denn 52 = 25
log3 9 = 2,
denn 32 = 9
log4 4 = 1,
denn 41 = 4
log10 10 = 1,
denn 101 = 10
loga a = 1,
denn a1 = a
loge e = 1,
denn e1 = e
log5 1/25 = - 2,
denn 5 - 2= 1/25
log3 1/27 = - 3,
denn 3 - 3 = 1/27
log5 1 = 0,
denn 5 0 = 1
log7 √7= 1/2,
denn 7 ½ = √7
log10 0,01 = - 2,
denn 10 - 2 = 0,01
log10 0,001 = - 3,
1
3
log3 4
4
√27
denn 10 - 3 = 0,001
log10 1000 = 3,
log10 100 = 2,
denn 10 3 =1000
denn 10 2 = 100
-3
denn 3
4
4
1
√27
Die Beispiele zeigen, dass die Logarithmen sowohl positive als auch negative rationale Zahlen sein
können. In den meisten Fällen sind die Logarithmen jedoch irrationale Zahlen, deren Näherungswerte
früher tabelliert wurden, heute jedoch mit dem elektronischen Taschenrechner ermittelt werden.
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Logarithmensysteme
Logarithmen mit gleicher Basis bilden ein Logarithmensystem. Um bei Logarithmen von gängigen
Systemen die Basis nicht immer mitschreiben zu müssen, werden folgende Kurzschreibweisen benutzt:
Basis 2:
Basis e:
Basis 10:
2
log 2 = Id = Ib
Zweierlogarithmus
(Logarithmus dualis, binärer Logarithmus)
Natürlicher Logarithmus
log e = In
(Logarithmus naturalis)
log 10 = Ig
Zehnerlogarithmus
(dekadischer Logarithmus, Briggs'scher Logarithmus 2)
Nach dem englischen Mathematiker Henry Briggs (1561 … 1630), der diese Logarithmen 1617 einführte.
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2.1 Natürliche Logarithmen
Die Logarithmen zu der Grundzahl e spielen in der Physik und Technik eine wichtige Rolle. Bei der
praktischen Rechnung wird jedoch häufiger der Zehnerlogarithmus angewandt. In manchen Fällen ist
eine Umrechnung erforderlich.
Zusammenhang zwischen dem natürlichen und dem Zehnerlogarithmus
Wir bilden von einem beliebigen Numerus N den
natürlichen Logarithmus und nennen diesen x.
N = beliebiger Logarithmus
Aus der Definition des natürlichen Logarithmus
folgt log e N = x oder die Umkehrung ex = N.
ln N = x (1)
ex = N Ig
Durch Logarithmieren mit dem Zehnerlogarithmus erhält man Ig ex = Ig N.
Nach Umformung mit Hilfe eines Logarithmengesetzes erhält man x.
ex = Ig N
x • Ig e = Ig N (2)
In N • Ig e = Ig N
Setzt man Gl. (1) in Gl. (2) ein, so erhält man den
rechnerischen Zusammenhang zwischen den
beiden Logarithmenarten. Mit Hilfe dieser Beziehung lassen sich natürliche Logarithmen in Zehnerlogarithmen umrechnen und umgekehrt.
Mit Ig e = 0,43429 und 1/lg e = 2,30259
ergibt sich eine praktische Näherungsgleichung
für die Umrechnung.
Ig N = Ig e • In N ::: 0,43 • In N
In N = lg N/lg e ::: 2,3 • Ig N
Umrechnung beliebiger Logarithmen verschiedener Basen a und b
Zwischen Logarithmen der Basis a und der Basis b gilt die Beziehung:
loga N = logb N / logb a
Beispiel
Berechnen Sie x = log7 6314
Lösung
Um den Zahlenwert mit dem Taschenrechner berechnen zu können, muss für die Basis b entweder 10 oder e gewählt werden, da andere Logarithmen in der Regel nicht
vorliegen. Wir wählen als Basis b = 10.
x = log7 6314 = lg 6314 / lg 7
x = 4,49688
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2.2 Zehnerlogarithmen
Beim Zehnerlogarithmus wird die Zahl 10 als Basis gewählt, d. h. jede Zahl wird als Potenz von 10
dargestellt:
1000
100
10
1
= 103
2
= 10
1
= 10
0
= 10
Ig 1000 = 3
Ig 100
Ig 10
Ig 1
= 2
= 1
= 0
0,1
0,01
0,001
0,0001
= 10-1
Ig 0,1
= -1
-2
Ig 0,01
= -2
-3
Ig 0,001
= -3
-4
Ig 0,0001
= -4
= 10
= 10
= 10
Bei den bisherigen Beispielen sind wir jeweils von Zehnerpotenz zu Zehnerpotenz fortgeschritten und
haben damit ganzzahlige Logarithmen erhalten.
Für die innerhalb einer Dekade liegenden Zwischenwerte ergeben sich irrationale Zahlen. So erhalten
wir beispielsweise für die Zahl 3, dargestellt als Zehnerpotenz
3 = 10 0,4771213...
Ig 3 = 0,4771213...
Durch Umrechnung nach folgendem Schema:
30 = 3 • 10 = 10 0,4771 • 101 = 10 1,4771 Ig 30 = 1,4771
lassen sich z. B. weitere Logarithmen ermitteln:
Ig 300
Ig 3000
lg 0,3
lg 0,03
lg 0,003
= 0,4771 + 2 = 2,4771
= 0,4771 + 3 = 4,4771
= 0,4771 - 1
= 0,4771 - 2
= 0,4771 - 3
Mantisse
Kennziffer
Der Logarithmus besteht somit aus zwei Teilen:
1
aus einer Kennziffer oder Kennzahl, die vor dem Komma steht, und
2
aus der Mantisse, die hinter dem Komma steht.
In den Logarithmentafeln sind nur die Mantissen tabelliert.
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Logarithmengesetze
Die Logarithmengesetze ergeben sich aus den Potenzgesetzen. Sie gelten für alle Logarithmensysteme. Wir wollen sie hier mit Hilfe des Zehnerlogarithmus formulieren.
Bildet man die Summe der Hochzahlen zweier
Potenzen mit gleicher Grundzahl, so erhält man
die Hochzahl des Produktes der Potenzen:
10 2 • 10 3 = 10 2 + 3
Nun ist:
Ig 10 2 = 2 (= Hochzahl zur Grundzahl 10)
Ig 10 3 = 3 (= Hochzahl zur Grundzahl 10)
Da die Hochzahlen zur Grundzahl 10 die Logarithmen dieser Grundzahlen sind, lässt sich die
Summe der obigen Logarithmen auch schreiben
Ig 10 2 + Ig 10 3 = 2 + 3
Andererseits ist
lg(10 2 • 10 3) = lg(10 2 + 3) = 2 + 3
Wir erhalten aus der Summe der Logarithmen die
Hochzahl des Produktes von Potenzen gleicher
Grundzahl:
Hochzahl des Produktes von Potenzen:
Ig (102 • 103) = Ig (10 2 + 3) = 2 + 3
Addition der Logarithmen:
lg10 2 + lg10 3 = 2 + 3
Daraus folgt das 1. Logarithmengesetz
Ig (102 • 10 3) = Ig 10 2 + Ig 10 3
Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der
Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.
Durch Logarithmieren wird das Multiplizieren zum
Addieren.
Die Rechenart wird damit von einer höheren Stufe auf eine niedrigere reduziert und damit vereinfacht.
Beispiele
1 Ig 70
Ig (a • b) = Ig a + Ig b
a, b ∊ IR +
= Ig (10 • 7) = Ig 10 + Ig 7
= 1 + Ig 7 = 1 + 0,84509
= 1,84509
2 Ig 2 +Ig 5 = Ig (2 • 5) = Ig 10 = 1
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Entsprechend kann der Logarithmus eines Quotienten ermittelt werden:
Für a = c m und b = c n gilt:
a / b = c m / c n = c m-n
Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der
Differenz der Logarithmen von Zähler und Nen- ner.
lg(a / b) = lg a - lg b
a, b ∊ IR +
Durch Logarithmieren wird das Dividieren zum
Subtrahieren.
Beispiele
1 Ig ½
Den Logarithmus einer Potenz erhält man, indem
man die Potenz in ein Produkt zerlegt:
Ig an = Ig (a • a • a • ... • a)
n Faktoren
2 Ig 28 - Ig 7 = lg (28 / 7) = lg 4
= 0,60205
= Ig 1 - Ig 2 = 0 - Ig 2
= - Ig 2 = - 0,30103
= (lg a + lg a + ... + lga)
n Summanden
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem
Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Potenzbasis.
Durch Logarithmieren wird das Potenzieren zum
Multiplizieren.
Beispiele
1 Ig 310
Ig an = n • Ig a
a, b ∊ IR +
= 10 • Ig 3 = 10 • 0,47712 = 4,7712
2 Ig ∛10 6 = 6/3 • Ig 10 = 2 • Ig 10 = 2
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/3 Ig 27 - ½ Ig 3 2 = lg (∛27/√32) = lg 2/3 = 0
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Logarithmische Berechnung von Termen
1
Durch Anwendung der Logarithmengesetze lassen sich Terme vereinfachen.
Beispiele
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
2
Sehr große Zahlenterme (> 1099), die zu einer Kapazitätsüberschreitung des üblichen Taschenrechners führen können, lassen sich logarithmisch folgendermaßen berechnen:
Beispiele
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AUFGABEN
Geben Sie die Logarithmen an und überprüfen Sie die Ergebnisse durch Potenzieren.
1
2
3
Bestimmen Sie:
4
Berechnen Sie:
5
Zerlegen Sie die Logarithmusterme und vereinfachen Sie dieselben.
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