Kapitel 9: Numerische Charakteristika von Verteilungen

Kapitel 9: Numerische Charakteristika von
Verteilungen
1. Eine Zufallsvariable X besitzt eine Betaverteilung mit den Parametern a, b ∈ {1, 2, ..}, falls die Verteilung von X folgende Lebesguedichte hat
(
(a+b−1)!
ta−1 (1 − t)b−1 für 0 < t < 1,
(a−1)!(b−1)!
fX (t) =
0,
sonst.
Berechnen Sie für a = 3 und b = 2 den Erwartungswert von X ! Zeigen Sie,
dass EX = 21 für beliebiges a = b gilt!
2. Beim dreimaligen Würfeln bezeichne Xi die Augenzahl im i−ten Wurf.
Berechnen Sie den Erwartungswert der Gesamtsumme der Augen Y = X1 +
X2 + X3
Hinweis: Ermitteln Sie zunächst die Verteilung und den Erwartungswert
von Xi .
3. Die Zufallsvariable X habe eine Binomialverteilung mit den Parameternm n und p, d.h.
P (X = k) = nk pk (1 − p)n−k , k = 0, 1, ..., n.
Berechnen Sie die erzeugende Funktion gX (z), den Erwartungswert und die
Varianz von X. Verwenden Sie hierbei die Beziehung
d2 gX (z)
|z=1 = EX(X − 1).
dz 2
4. Berechnen Sie die Varianz der Poissonverteilung mit Hilfe der erzeugenden Funktion!
5. X möge eine Normalverteilung mit den Parametern µ = 1 und σ 2 = 3
besitzen.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Y = 2X 2 + 4 !
Hinweis: Verwenden Sie die Beziehung V(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 und
stellen Sie X mit Hilfe einer standardnormalverteilten Zufallsvariable Z dar.
6. X möge eine Normalverteilung mit den Parametern µ = 1 und σ 2 = 2
besitzen. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
√
√
a) P (0 ≤ X ≤ 2), b) P (0 ≤ X < 2), c) P (−3 2 ≤ −2X − 1 < 3 2),
d) P (X ≥ 5), e) P (X < −1, 5).
1
7. X möge eine Normalverteilung mit den Parametern µ = 1 und σ 2 = 2
besitzen. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: a) P (X 2 > 1),
b) P (X 3 < −1), c) P (X 2 + X − 2 > 0).
8. X sei eine Zufallsvariable mit endlichem vierten Moment. Berechnen
Sie Schiefe und Exzess von Y = aX + b, a 6= 0 !
9. X möge eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ > 0 haben.
Berechnen Sie Schiefe und Exzeß. Welche Werte ergeben sich für λ → ∞?
Hinweis: Verwenden Sie
Z ∞
tk exp{−t}dt = k!
0
10. X möge eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ > 0 haben.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (3X 2 + 4 ≤ 6) !
11. X möge eine Standardnormalverteilung besitzen. Berechnen Sie die
Dichte der Verteilung von Y = exp{X} !
12. X möge eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ > 0.
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von
1 − exp{−λX}, falls X ≥ 0
Y =
0,
falls X < 0.
Hinweis: Drücken Sie die Verteilungsfunktion FY (t) mit Hilfe der Verteilungsfunktion von X aus !
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