Übungsaufgaben zu mathematischen Grundbegriffen SS

Übungsaufgaben zu mathematischen Grundbegriffen SS 2009
12. Übungsaufgaben 30.06.2009 (letzte Serie-Wiederholung quer Beet)
1. Es seien A, B, C Aussagen. Man ermittle die Wahrheitstafel der folgenden
Aussageform ( A ∨ ¬B ) → (¬A ∧ C )
2. Beschreiben Sie folgenden verbal beschriebenen Mengen in elementweise
aufzählender Form!
a)
b)
c)
d)
natürliche Zahlen zwischen 2 und 12
alle geraden Zahlen größer als 4
natürliche durch vier teilbare Zahlen größer als 6 und kleiner als 16
Primzahlen zwischen 23 und 29
3. Gegeben sind folgende Mengen: A = { 8; 10; 12; 14}, B = { x ∈ IN : 3 | x }, C = { 0;
5; 10; 15}. Berechnen Sie A ∩ B, B ∩ C, A ∩ C; A ∪ C!
4. Wandeln Sie folgende Zahlen um ins dekadische System 11010(2), 123(4), 152(6) und
1020(3)! Wandeln Sie die Zahl 19 um ins binäre System, ins Dreiersystem, ins
Vierersystem und ins Sechsersystem!
5. Lösen Sie folgende Aufgaben!
2211(3) + 112(3)
4042(5) – 2314(5)
312(4) ⋅ 3(4)
6. Nennen Sie je eine konkrete Funktion, für die folgendes gilt:
a) Die Funktion ist streng monoton steigend.
b) Die Funktion ist streng monoton steigend für x<0 und streng monoton fallend
für x>0.
c) Die Funktion kommt aus dem III. Quadranten und entschwindet in den I.
Quadranten.
d) Die Funktion kommt aus dem II. Quadranten und entschwindet in den IV.
Quadranten.
7. Initialaufgabe: 70 l Mineralwasser werden in 0,5 l Flaschen und in 0,75 l Flaschen
abgefüllt. Es sollen doppelt so viele 0,5 l Flaschen wie 0,75 l Flaschen befüllt werden.
Wie viele Flaschen sind es von jeder Sorte?
Variieren Sie diese Aufgabe nach verschiedenen Strategien von SCHUPP mindestens 5
mal!
1
Lösungen zu den 10. Übungsaufgaben
1.
a)
b)
Die Nullstelle der Funktion liegt bei x = 8, der Schnittpunkt mit der
y-Achse ist S(0; -4), die Funktion ist streng monoton steigend.
1
1
und x = –
, der
Die Nullstellen der Funktion liegen bei x =
2
2
Schnittpunkt mit der y-Achse ist S(0; 1), die Funktion ist streng monoton
steigend für x ≤ 0 und streng monoton fallend für x ≥ 0.
2.
a)
b)
Die Funktion f(x) kommt aus dem II. Quadranten und entschwindet in den
IV. Quadranten.
Die Funktion g(x) kommt aus dem II. Quadranten und entschwindet in den
I. Quadranten.
3. Die Polynomfunktion ist eine Polynomfunktion 6. Grades,
die Koeffizienten lauten: a6 = 1, a5 = 0, a4 = 1, a3 = – 3, a2 = 5, a1 = 0, a0 = – 2
4. Variationen nach Schupp für die Initialaufgabe
1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 10²
Zum Beispiel:
Geringfügig ändern (wackeln)
a)
1² + 2² + 3² + 4² = ?
(Exponent verändern)
2³ + 3³ + 4³ + 5³ = ?
(Zahlen verändern)
b)
Analogisieren (ersetzen)
1³ – 2³ + 3³ – 4³ = 10²
( jedes 2. Mal + durch – ersetzen)
c)
Verallgemeinern (weglassen)
 n(n + 1) 
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + n³ = 

 2 
Spezialisieren (hinzufügen)
1³ + 2³ + 3³ = 6²
1³ + 2³ = 3²
Kombinieren (zusammenlegen)
14 + 24 + 34 + 44 + … + n4 = ? (Strategie a) und c))
2
d)
e)
f)
Rahmen wechseln
Gibt es andere Zerlegungen für 10² ?
5. Das Rechenverfahren „Ägyptische Multiplikation“ stellt sich wie folgt für das Produkt
dar:
26
71
13
142
6
284
3
568
1
1136
Ergebnis
1846
2
Lösungen zu den 11. Übungsaufgaben
1. Die folgenden Aufzählungen dienen als Beispiel :
a) Wasserflasche, Kleiderschrank, Regal, Tisch, Stuhl, Ball, Schmetterling etc.
b) Quadrat, Kugel, regelmäßiges Sechseck, Binomische Formel, quadratische
Funktion etc.
2. Sie haben richtig konstruiert, wenn Ihre Bildpunkte folgende Koordinaten haben:
A’ (12; 1)
B’ ( 8; 2)
C’ (9; 5)
3. Folgende Buchstaben besitzen
a. Eine Symmetrieachse: A, B, C, D, E, K, M, T, U, V, W, Y
b. Zwei Symmetrieachsen: H, I, O, X
c. Sind punktsymmetrisch: H, I, N, O, S, X, Z
(Bei geeigneter Schriftart)
4. Die Figuren mit Symmetrieachsen sehen wie folgt aus:
Keine Achsensymmetrie
5.
Abziehen mit Erweitern
4012(5)
– 1433(5)
___1_1 1___
2024(5)
1er
5er
25er
125er
2 minus 3 geht nicht, erweitere 2 im Minuend um 5 (auf „7“), kleine 1 merken
an 5er-Stelle im Subtrahend (Konstanz der Differenz)
„7“ minus 3 ist 4, Ergebnis 4
1 minus 4 geht nicht, erweitere 1 im Minuend um 5 (auf „6“), kleine 1 merken
an 25er-Stelle im Subtrahend (Konstanz der Differenz)
„6“ minus 4 ist 2, Ergebnis 2
0 minus 5 geht nicht, erweitere 0 im Minuend um 5 (auf „5“), kleine 1 merken
an 125er-Stelle im Subtrahend (Konstanz der Differenz)
„5“ minus 5 ist 0, Ergebnis: 0
4 minus 2 ist 2, Ergebnis: 2
3
Ergänzen mit Entbündeln
1
151
4012(5)
– 1433(5)
2024(5)
1er
5er
25er
125er
3 plus wie viel ist 2 ? (alternative Sprechweise: 3 bis 2) geht nicht, entbündele
im Minuenden einen von der 5er-Stelle, merke mir die Entbündelung mit der
kleinen 1 an der 5er-Stelle, erhalte „7“ auf der 1er-Stelle
3 plus 4 ist „7“, Ergebnis 4
3 plus viel ist 0 ? (alternative Sprechweise: 3 bis 0) geht nicht, 2x entbündeln:
entbündele im Minuenden einen von der 125er-Stelle, merke mir die 5
entbündelten auf der 25er Stelle, entbündele nun einen von der 25er Stelle und
merke mir Entbündelung mit der kleinen 1 an der 25er-Stelle, erhalte „5“ auf
der 5er-Stelle
3 plus 2 ist „5“, Ergebnis 2
4 plus 0 ist 4, Ergebnis 0
1 plus 2 ist 3, Ergebnis: 2
Ergänzen mit Auffüllen
4012(5)
– 1433(5)
___1_1 1___
2024(5)
1er
5er
25er
125er
3 plus wie viel ist 2 ? (alternative Sprechweise: 3 bis 2) geht nicht, füge im
Subtrahenden zu 3 Einern 2 hinzu, erhalte „5“=10(5) Einer (es wird bis zur
Systemzahl 5 aufgefüllt), diese werden gebündelt, gibt 1 gemerkt auf der 5erStelle, jetzt noch 2 im Subtrahenden hinzufügen, um die 2 im Minuenden zu
erreichen, insgesamt wurden 4 hinzugefügt (aufgefüllt), Ergebnis 4
4 plus wie viel ist 1 ? (alternative Sprechweise: 4 bis 1) geht nicht, füge im
Subtrahenden zu 4 Einern 1 hinzu, erhalte „5“=10(5) Einer (es wird bis zur
Systemzahl 5 aufgefüllt), diese werden gebündelt, gibt 1 gemerkt auf der 25erStelle, jetzt noch 1 im Subtrahenden hinzufügen, um die 1 im Minuenden zu
erreichen, insgesamt wurden 2 hinzugefügt (aufgefüllt), Ergebnis 2
5 plus wie viel ist 0 ?, geht nicht, habe im Subtrahenden 5 Einer, diese werden
gebündelt, gibt 1 gemerkt auf der 125er-Stelle, es muss nichts mehr
hinzugefügt werden, insgesamt wurde 0 hinzugefügt, Ergebnis 0
2 plus 2 ist 4, Ergebnis: 2
4
Lösungen zu den 12. Übungsaufgaben
1. Die Wahrheitstafel für (¬A ∨ B ) → ( A ∧ C ) sieht wie folgt aus:
A
1
1
1
1
0
0
0
0
B
1
1
0
0
1
1
0
0
C
1
0
1
0
1
0
1
0
A∨ ¬B
1
1
1
1
0
0
1
1
¬A ∧ C
0
0
0
0
1
0
1
0
( A ∨ ¬B ) → (¬A ∧ C )
0
0
0
0
1
1
1
0
2. Die Mengen lauten wie folgt:
a)
{ 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;11}
b)
{ 6; 8; 10; 12; 14; …}
c)
{ 8; 12}
∅
d)
3. A ∩ B = { 12}
B ∩ C = { 15}
A ∩ C = { 10}
A ∪ C = { 0; 5; 8; 10; 12; 14; 15}
4. 11010(2)= 26, 123(4)=27, 152(6)= 68, 1020(3)=33,
19 = 10011(2) = 201(3) = 103(4) = 31(6)
5. Die Lösungen lauten:
2211(3) + 112(3)= 10100(3)
4042(5) – 2314(5)= 1223(5)
312(4) ⋅ 3(4) = 2202(4)
6. Die hier angegebenen Funktionen dienen als Beispiele.
a) y = 2x + 1 (ebenso alle anderen linearen Funktionen mit positivem
Koeffizienten vor x)
b) y = – 3 x² (ebenso alle anderen quadratischen Funktionen mit negativem
Koeffizienten vor x² und der y-Achse als Symmetrieachse)
c) y = x³ (ebenso alle anderen kubischen Funktionen mit positivem Koeffizienten
vor x³ und alle linearen Funktionen mit positivem Koeffizienten vor x)
d) y = 4 x² (ebenso alle anderen quadratischen Funktionen mit positivem
Koeffizienten vor x²)
7. Lösung:
in zwei 0,5 l Flaschen und eine 0,75 l Flasche können insgesamt 1,75 l abgefüllt
werden. 70 l : 1,75 l = 40, d.h. in 40 0,75 l Flaschen und 80 0,5 l Flaschen werden
dann insgesamt 70 l Mineralwasser abgefüllt.
A: Insgesamt 35 l Mineralwasser abfüllen (geringfügig ändern)
5
B: Gleich viele ½ l Flaschen wie ¾ l Flaschen verwenden (analogisieren)
C: Es stehen genügend 0,5 l Flaschen und 0,75 l Flaschen zur Verfügung. Wieviele
Flaschen benötige ich mindestens, um 70 l Mineralwasser abzufüllen?
(verallgemeinern, Flaschenverhältnis weggelassen oder extremalisieren)
D: 35 l abfüllen in gleich viele Flaschen zu 0,5 l und zu 0,75 l (kombinieren A+B)
E: 35 l in 0,75 l Flaschen und 0,5 l Flaschen abfüllen, auf wie viele Weisen ist das
möglich? (umkehren)
6