43.¨Osterreichische Mathematik Olympiade
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43. Österreichische Mathematik Olympiade Bundeswettbewerb für Fortgeschrittene Teil 1, 17. Mai 2012 1. Man bestimme alle Funktionen f : : Z → Z mit der folgenden Eigenschaft: Für je zwei (nicht notwendigerweise verschiedene) Zahlen m und n gilt ggT(m, n) | f (m)+f (n). 2. Man bestimme alle Lösungen der Gleichung n! + A · n = nk mit n, k ∈ N für A = 7 und für A = 2012. 3. Ein Streifen aus n Feldern, die von links nach rechts mit den Zahlen 1 bis n aufsteigend nummeriert sind, soll gefärbt werden. Jedes der Felder wird dabei mit einer der Farben 1, 2 oder 3 gefärbt. Bei den Feldern mit gerader Nummer darf jede Farbe verwendet werden. Die Felder mit ungerader Nummer dagegen dürfen nur mit einer der ungeraden Farben 1 oder 3 gefärbt werden. Wie viele solche Färbungen gibt es, bei denen benachbarte Felder jeweils verschiedene Farben haben? 4. Es sei ABC ein nicht gleichschenkeliges Dreieck mit Umkreismittelpunkt U und Inkreismittelpunkt I. Die Streckensymmetrale von U I gehe durch den Schnittpunkt der Winkelsymmetralen von γ = ∠ACB mit dem Umkreis von ABC. Man zeige, dass γ der zweitgrößte Winkel im Dreieck ABC ist. c Dr. Gerd Baron. Alle Angaben ohne Gewähr. 43. Österreichische Mathematik Olympiade Bundeswettbewerb für Fortgeschrittene Teil 2, Tag 1, 6. Juni 2012 1. Man bestimme eine möglichst 1 1 große 1 Zahl m, sodass fur alle von Null verschiedenen reellen Zahlen a, b und c mit a + b + c ≤ 3 die Ungleichung 2 2 c + 4 a2 + b 2 ≥ m b + 4 c2 + a2 a2 + 4 b 2 + c 2 gilt. Wann gilt Gleichheit? 2. Man löse die Gleichung x4 y 3 (y − x) = x3 y 4 − 216 in ganzen Zahlen. 3. Wir nennen ein gleichschenkeliges Trapez P QRS interessant, wenn es dem Einheitsquadrat ABCD so eingeschrieben ist, dass auf jeder Quadratseite genau ein Eckpunkt des Trapezes liegt, und wenn die Verbindungslinien seiner (jeweils benachbarten) Seitenmittelpunkte parallel zu den Quadratseiten liegen. Man bestimme alle interessanten gleichschenkeligen Trapeze und deren Flächeninhalte. c Dr. Gerd Baron. Alle Angaben ohne Gewähr. 43. Österreichische Mathematik Olympiade Bundeswettbewerb für Fortgeschrittene Teil 2, Tag 2, 7. Juni 2012 4. Gegeben sei eine Folge ha1 , a2 , a3 , . . . i reeller Zahlen. Für jede positive ganze Zahl n definieren wir mn als das arithmetische Mittel der Zahlen a1 bis an . Man zeige: Existiert eine reelle Zahl C, sodass (i − j)mk + (j − k)mi + (k − i)mj = C für alle Tripel (i, j, k) paarweise verschiedener positiver ganzer Zahlen gilt, so ist die Folge ha1 , a2 , a3 , . . . i eine arithmetische Folge. 5. Man bestimme die Anzahl der natürlichen Zahlen N < 1 000 000 = 106 mit folgender Eigenschaft: Es gibt einen ganzzahligen Exponenten k mit 1 ≤ k ≤ 43, sodass 2012 ein Teiler von N k − 1 ist. 6. Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge 2. Wir betrachten alle gleichseitigen Dreiecke P QR mit der Seitenlänge 1, für die gilt: • P liegt auf der Seite AB, • Q liegt auf der Seite AC, und • R liegt im Inneren oder am Rand des Dreiecks ABC. Man beschreibe die Menge der Punkte im Dreieck ABC, die Schwerpunkt eines solchen Dreiecks P QR sind. c Dr. Gerd Baron. Alle Angaben ohne Gewähr.
