13. Übungen zu Mathematische Methoden der Physik 2 / 1. Feb

13. Übungen zu Mathematische Methoden der Physik 2 / 1. Feb 2010 / GG
Klausurtrainingsblatt
1. Freie Schrödingergleichung auf Halbachse: Seien f ∈ C 1 (R : C) und g ∈ C 2 (R>0 : C) . Zeigen Sie,
dass die Funktion ψ : R × R>0 → C mit ψ (t, x) = f (t) g (x) genau dann beschränkt ist und die
Schrödingergleichung
i∂t ψ (t, x) = −∂x2 ψ (t, x) auf R × R>0
mit der Randbedingung limx→0 ψ (t, x) = 0 erfüllt, wenn zwei Zahlen k ∈ R≥0 und C ∈ C existieren,
sodass für alle (t, x) ∈ R × R>0
2
ψ (t, x) = Ce−ik t sin kx.
Für k ≥ 0 ist somit die Funktion uk : R>0 → C mit uk (x) = sin (kx) eine Eigenmode zur Eigenfrequenz k 2 .
¢
¡
2. Separation der Schrödingergleichung mit Coulombpotential: Sei ψ ∈ C 2 R3 r 0 : C mit ψ =
f (r) Y (θ, ϕ) auf dem Kartenbereich U der Kugelkoordinaten. Zeigen Sie (unter Verwendung der
Vorlesung!), dass auf R3 r 0 die stationäre Schrödingergleichung
³
q´
− ∆+
ψ = εψ
r
mit Konstanten q, ε ∈ R genau dann gilt, wenn eine Zahl l ∈ N0 existiert, für die
µ
¶
l (l + 1) q
2
f 00 (r) + f 0 (r) −
−
−
ε
f (r) = 0,
r
r2
r
∆S2 Y (θ, ϕ) + l (l + 1) Y (θ, ϕ) = 0.
Zeigen Sie, dass mit f (r) = h (r) /r die Radialgleichung zu
µ
¶
l (l + 1) q
00
h (r) −
− − ε h (r) = 0
r2
r
äquivalent ist.
3. Eigenmoden von ¤A = 0 mit periodischer Randbedingung: Bestimmen Sie Frequenzspektrum und
Eigenmoden einer schwingenden Saite der Länge L mit periodischen Randbedingungen. Bestimmen
Sie also beschränkte C 2 -Funktionen f : R → R und g : [0, L] → R so, dass A (t, x) = f (t) g (x)
auf R × (0, L) die dAWG ¤A = 0 erfüllt. Weiters gelte A (t, 0) = A (t, L) und limx→0 ∂x A (t, x) =
limx→L ∂x A (t, x) für alle t ∈ R. (Eine physikalische Realisierung: schwingende Luftsäule in einem
langen dünnen Torus)
¡
¢
¡ 2π ¢
Lösung: Für n ∈ N0 und x ∈ [0, L] sei un (x) = cos n 2π
L x und vn (x) = sin n L x . Dann gilt: A
ist eine beschränkte Lösung der dAWG mit periodischen Randbedingungen mit A (t, x) = f (t) g (x)
genau dann, wenn ein n ∈ N0 und δ, a, b ∈ R existieren, sodass mit ω n = c2πn/L
A (t, x) = cos (ω n t − δ) [aun (x) + bvn (x)] .
Zu jeder Eigenfrequenz ω n > 0 existiert ein zweidimensionaler reeller Vektorraum von Eigenmoden.
Eine Basis bilden un und vn . Zur Eigenfrequenz 0 existiert nur der eindimensionale Raum von
konstanten Eigenmoden R · u0 ' R. Das Spektrum der Eigenfrequenzen ist c 2π
L N0 .
1