Mathematik I für W.-Ing.,BG und SPTE Blatt 10

Fakultät für Mathematik
Institut für Analysis und Numerik
PD Dr. B. Rummler
Magdeburg, 14. Dezember 2010
Mathematik I für W.-Ing.,BG und SPTE
Blatt 10
1. Welche Aussage können Sie über Rg(A · B) bei A, B ∈ M at(n, n, IR) treffen ?
2. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:






1 2 3
1
a −b
1 + cos x 1 + sin x 1
c ,
A =  2 3 1 ,
B =  −a 1
C =  1 − sin x 1 + cos x 1  ,
3 2 1
b −c 1
1
1
1
wobei a, b, c reelle Zahlen seien.
det(A) = 0 bei:


x −1 x
A =  −1 x x  ,
1
2 x
3. Lösen Sie die Gleichung
und x ∈ IR !
4. Ergänzen Sie das System:
z 1 = [0, 0, 1, 0]T ,
z2 = [−1, 0, 2, 3]T ,
z1 = [3, 1, 0, 2]T
zu einer Basis von IE4 .
5. Man nennt eine quadratische Matrix A nilpotent, wenn ∃N ∈ IN: AN = 0. Untersuchen Sie, ob die Matrix


0 1 1
A= 0 0 1 
0 0 0
nilpotent ist und berechnen Sie det(A).
6. Gegeben sei die Matrix Q:

0
Q= 0
0
0
1
0

0
0 
1
und die durch sie gemäß ϕ(x) = Q · x vermittelte lineare Abbildung ϕ : IE3 → IE3 .
(a) Bestimmen Sie Rg(Q) und Rg(E − Q) !
(b) Bestimmen Sie den Wertevorrat W (ϕ) = R(ϕ) = {y ∈ IE3 | y = Q · x} und die
Null-Menge von Q : N (Q) = {x ∈ IE3 | Q · x = 0}. Welche Dimensionen haben
diese Mengen ?
(c) Zeigen Sie Q und Q̂ := E − Q sind idempotent, das heißt: ∀N ∈ IN : QN = Q
und selbstadjungiert, das heißt ∀x, y ∈ IE3 : (Qx, y)IE3 = (x, Qy)IE3 .
(d) Können Sie ϕ(x) als eine Projektion im IE3 auffassen ?
7. (a) Sei A eine (3, 3)-Matrix. Ã entstehe aus A durch Vertauschen der ersten beiden
Zeilen. Finden Sie eine Matrix S mit S A = Ã.
(b) Sei A eine (3, 3)-Matrix. Ã entstehe aus A durch Vertauschen der ersten beiden
Spalten. Finden Sie eine Matrix S mit A S = Ã.
(c) Sei A eine (5, 6)-Matrix. Ã entstehe aus A durch folgenden ‘Ringtausch’ dreier
Zeilen: Zeile 2 → Zeile 5 → Zeile 3 → Zeile 2. Finden Sie eine Matrix S mit
S A = Ã.
(d) Sei A eine (5, 6)-Matrix. Ã entstehe aus A durch folgenden ‘Ringtausch’ dreier
Spalten: Spalte 2 → Spalte 5 → Spalte 3 → Spalte 2. Finden Sie eine Matrix
S mit A S = Ã.
8. Ermitteln Sie die Fehlstände s(f ) und das signum sgn({. . . }) der Permutationen
f, g ∈ S4 sowie die Anzahl der Transpositionen in (zu) S und S̃ :
f = {3, 4, 2, 1} und g = {4, 3, 1, 2}
S = [e3 , e2 , e4 , e1 ] und S̃ = [e4 , e3 , e1 , e2 ]
9. (a) Die Matrix A ∈ M at(n, n, IR) sei von der Form (Block-Dreiecks-Gestalt)
B1 C
A=
0 B2
mit quadratischen Matrizen B 1 und B 2 .
Beweisen Sie: det(A) = det(B 1 ) · det(B 2 ).
(b) Verallgemeinern und beweisen Sie eine analoge Aussage für m ∈ IN, m > 2
quadratische Matrizen B 1 , B 2 , ..., B m als ’quadratische Blöcke’ auf der Hauptdiagonalen von A.
10. Die Matrizen A, B ∈ M at(n, n, IR) seien regulär. Zeigen Sie:
(A B)−1 = B −1 A−1 .
11. Gegeben sei die reguläre Matrix A ∈ M at(n, n, IR). Zeigen Sie:
(AT )−1 = (A−1 )T .
Frohes Fest und ein erfolgreiches Jahr 2011 !