Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre
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Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre Othmar Marti [email protected] Institut für Experimentelle Physik 25. 06. 2007 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 1 / 24 Klausur Die Klausur ndet am 26. Juli 2007 von 9:00-11:00 im Hörsaal H2 (eventuell auch H14) statt . Hilfsmittel: 6 Seiten (3 Blätter) A4 von eigener Hand beschrieben, Taschenrechner. Bemerkung: Diese Klausurnote kann zur Befreiung der Studiengebührenzahlung führen! 1 1 Klausur Grundlagen 1 wird am 26. 7. 2007 am Nachmittag geschrieben. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 2 / 24 Externe Parameter Externe Parameter und die Anzahl Zustände In der Physik heisst die Grösse ∂ Ei = −Xj i ∂ xj , die zur Variablen Othmar Marti (Universität Ulm) xj konjugierte verallgemeinerte Kraft. Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 3 / 24 Externe Parameter Externe Parameter Mit Y = ∂∂Ex erhalten wir die Beziehung i hY i = ∂ Ei ∂x = − hX i Die dazugehörige Arbeit δ Wi ist allgemein so deniert (Gleichung für totale Dierentiale): δ W ≡ −dEi = X Xα i xα , α Variable verallgemeinerte Kraft die Distanz x die normale Kraft F das Volumen V der Druck p die Oberäche A die Oberächenspannung σS Tabelle: Beispiele für verallgemeinerte Kräfte Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 4 / 24 Externe Parameter Externe Parameter Wie ändert sich nun Ω (E , x ) wenn x nach x + δ x ändert? σ(E ) ist nach der Denition in der Gleichung für den Zustandswechsel die Zahl der Moleküle von unterhalb E nach oberhalb E wechselt. Die Grösse ∂Ω(∂Ex x ) dx nimmt zu, weil σ(E ) Zustände hinzukommen und σ(E + δ E ) Zustände wegfallen. ∂Ω (E , x ) ∂σ , ∂x und damit dx = σ (E ) − σ (E + δE ) = − dσ dx = ∂Ω (E , x ) hY i δE ∂E δE ∂Ω (E , x ) ∂σ dx = − δE ∂x ∂E ∂ Ω (E , x ) =− hY i dx δ E ∂E δE ∂ =− [Ω (E , x ) hY i] dx ∂E Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 5 / 24 Externe Parameter Externe Parameter dx kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor und kann deshalb gekürzt werden. ∂ ∂Ω (E , x ) =− [Ω (E , x ) hY i] ∂x ∂E ∂Ω (E , x ) ∂ hY i =− hY i − Ω (E , x ) ∂E ∂E Wir teilen beide Seiten durch Ω (E , x ) und bekommen ∂Ω (E , x ) 1 ∂Ω (E , x ) ∂ hY i =− hY i − Ω (E , x ) ∂x Ω (E , x ) ∂E ∂E 1 Diese Gleichung ist äquivalent zu ∂ ln Ω (E , x ) ∂ ln Ω (E , x ) ∂ hY i =− hY i − ∂x ∂E ∂E Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 6 / 24 Externe Parameter Externe Parameter Wenn Ω ∝ E f ist, ist der erste Summand ∂∂ EΩ hY i ∝ Ef hY i. Den zweiten Summanden kann man abschätzen, wenn man die Ableitung ∂h∂YE i durch die Steigung der Gerade zum Nullpunkt hYE i ersetzt. Dann ist der erste Summand auf der rechten Seite der Gleichung für grosse Systeme (f ≫ 1) um den Faktor f grösser als der zweite Summand. Der zweite Summand ∂hY i ∂Ω ∂ E kann deshalb vernachlässigt werden. Mit β(E ) = ∂ E und Gleichung (4) bekommt man ln ∂ ln Ω ∂ ln Ω =− hY i = −β hY i = β hX i ∂x ∂E Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 7 / 24 Externe Parameter Beispiele Externe Parameter Wir setzen x = V ∂ ln Ω ∂ ln Ω ∂Ω ∂ ln U hp i = = = β hp i = ∂x ∂V ∂U ∂V kT da ja nach dem 1. Hauptsatz für die innere Energie gilt dU = δQ − pdV und damit ∂∂VU = −p. Gemittelt bekommen wir also hY i = ∂∂VU und hX i = hp i. Bei mehreren externen Parametern modiziert sich Gleichung (7) zu ∂ ln Ω = β h Xα i ∂ xα Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 8 / 24 Gleichgewicht Gleichgewicht zwischen zwei Systemen mit veränderbarem Teilvolumen Wir betrachten ein isoliertes System A = A + A0 , das aus zwei Teilsystemen besteht. Das Volumen V ist vom Volumen V 0 durch einen beweglichen Kolben getrennt. Die Gesamtenergie sei konstant: E = E + E 0 = const , wie auch das Gesamtvolumen V = V + V 0 = const . Die beiden Systeme tauschen Wärme und mechanische Arbeit aus. 0 0 0 Skizze eines gekoppelten Systems, das durch einen Kolben getrennt ist. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 9 / 24 Gleichgewicht Gleichgewicht zwischen zwei Systemen mit veränderbarem Teilvolumen Wir betrachten eine innitesimale Änderung des Zustandes mit den externen Parametern xα und verwenden die verallgemeinerten Kräfte n X ∂ ln Ω ∂ ln Ω d ln Ω = d hE i + d hxα i ∂E ∂ xα α=1 ! X = β d hE i + hXα i d hxα i α In unserem Falle ist xα = V und E = U die innere Energie. Somit erhalten wir mit δ W = −pdV für unseren innitesimalen Prozess d ln Ω = β (d hU i + p dV ) = β (d hU i − δW ) = βδQ was nichts anderes als der erste Hauptsatz ist. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 10 / 24 Gleichgewicht Gleichgewicht zwischen zwei Systemen mit veränderbarem Teilvolumen Wir können für innitesimale Prozesse auch schreiben δ Q = TdS = d hU i − δ W Bei einem adiabatischen Prozess ist δ Q = 0 und damit dS = 0. Somit ändert sich auch Ω bei einem adiabatischen Prozess nicht! Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 11 / 24 Gleichgewicht Gleichgewicht zwischen zwei Systemen mit veränderbarem Teilvolumen Das Gleichgewicht ist erreicht, wenn die Wahrscheinlichkeit p (E 0 ) maximal ist. Die Anzahl Zustände des Gesamtsystems sind Ω0 (E0 ) = Ω (E ,V ) Ω0 ln Ω = ln Ω + ln Ω0 E 0 ,V 0 0 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 12 / 24 Gleichgewicht Gleichgewicht zwischen zwei Systemen mit veränderbarem Teilvolumen S 0 = S + S0 Das Maximum der Wahrscheinlichkeit d ln Ω 0 = d ln Ω + ln Ω0 = 0 ∂ ln Ω ∂ ln Ω dE + dV ∂E ∂V = β dE + β hp i dV d ln Ω0 = β 0 dE 0 + β 0 p0 dV 0 = −β 0 dE − β 0 p0 dV d ln Ω = Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 13 / 24 Gleichgewicht Gleichgewicht zwischen zwei Systemen mit veränderbarem Teilvolumen Die Summe der Gleichungen ergibt β − β0 dE + β hp i − β 0 p 0 dV =0 Dies muss für beliebige dE und dV gelten. Darum haben wir β − β0 = 0 β hp i − β 0 p 0 = 0 ⇒ ⇒ β = β0 hp i = p 0 ⇒ T = T0 Dies sind die erwarteten Gleichgewichtsbedingungen, aber nun mit statistischen Argumenten hergeleitet. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 14 / 24 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz Messung Sf − Si = Z f i dS = Z f δQ i T Diese Integrale gelten für quasistatische Prozesse, also Prozesse bei denen das untersuchte System immer im Gleichgewicht ist. Sie sind R f δQ aber unabhängig vom Prozess. Die Aussage, dass unabhängig i T vom Weg ist, ist äquivalent zur Aussage, dass die potentielle Energie in konservativen Kraftfeldern unabhängig vom Weg sei. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 15 / 24 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz Messung Skizze einer Apparatur zur Messung der Entropie. Mit dem Widerstand R wird die Heizleistung P = UI in das thermisch isolierte System gebracht. Das Thermometer misst die Temperatur T . Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 16 / 24 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz Messung Q= Zt Pd τ = U I t 0 in der Zeit t in das System gebracht. Die Temperatur steigt dann wie T (t ). Wenn wir also dS = δQ T = P (t ) dt T (t ) = U (t ) I (t ) dt T (t ) integrieren, erhalten wie die Entropiedierenz. ∆S = Zt 0 Othmar Marti (Universität Ulm) P (τ ) dt T (τ ) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 17 / 24 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz Messung Entropiemessung Entropiemessung 400 100 0.25 P/T 80 360 60 T P 340 40 320 20 300 0 20 40 60 80 0 100 0.2 P [W] (P/T) [W/K] T [K] 380 0.15 ∆S = 14.38 J/K 0.1 0.05 0 0 20 40 60 80 100 t [s] t [s] Links ist T (t ) und P (t ) gezeigt, rechts PT(t()tdt ) . Die ausgefüllte Fläche ist die Entropiedierenz ∆S. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 18 / 24 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz Unbestimmtheit der Entropie in der klassischen Physik Da die Entropie als S = k ln Ω geschrieben werden kann, hängt die Entropie eindeutig vom Makrozustand des Systems ab, wenn wir das Phasenraumvolumen auf h = ~ xieren. Bei einer klassischen Betrachtung würde gelten Z Z 1 0 dg ... Ω= f h 1 . . . dgf dp1 . . . dpf 0 und damit S = k ln Z Z ... dg 1 . . . dgf dp1 . . . dpf − kf ln h0 Das heisst, dass bei klassischer Betrachtung S nicht eindeutig deniert ist. Erst die Quantenmechanik mit dem von Planck gefundenen Phasenraumvolumen macht die Betrachtung eindeutig, also h = ~! 0 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 19 / 24 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz Verhalten von S bei T → 0 Ω≤f k ln Ω ≈ k ln f kf 3. Hauptsatz (strenge Form) Wenn T gegen 0 geht, verschwindet die Entropie, also ist lim T →0 Max Planck Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre S =0 25. 06. 2007 20 / 24 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz Verhalten von S bei T → 0 Es gibt nun Systeme (zum Beispiel Gläser), die bei T = 0 in metastabile Zustände mit praktisch unendlicher Lebensdauer geraten. Diese metastabilen Systeme sind nicht im Grundzustand, deshalb ist limT → > 0. 0 3. Hauptsatz (engere Form) T → 0 gilt, dass lim ∆S = 0 ist. Alternativ bedeutet das, T→ dass lim S = S , wobei S unabhängig von allen Parametern des Für 0 0 T →0 betreenden Systems ist. Othmar Marti (Universität Ulm) 0 Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 21 / 24 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz Wärmekapazitäten in der Nähe des Temperaturnullpunktes Wärmekapazität Die Wärmekapazitäten von Stoen hängen mit der Entropie zusammen. Aus dU = n cmol dT folgt dS = n cmol und nach der Integration S (T ,V ) = ZT n cV , = TdS dT T mol (T ,V ) 0 und S (T ,p ) = ZT n cp mol (p,T ) , 0 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre dT T dT T 25. 06. 2007 22 / 24 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz Wärmekapazitäten in der Nähe des Temperaturnullpunktes Wärmekapazität Also sind die Grenzwerte für die Wärmekapazitäten lim cV mol = lim cp mol = lim cp mol − cV mol = 0 T→ T→ T→ 0 , , 0 0 , , Insbesondere verschwindet die Dierenz von cp mol und cV mol wenn die Temperatur gegen den absoluten Nullpunkt geht. Unser früheres Resultat für das ideale Gas cp mol = cV mol + R gilt also nur für hohe Temperaturen. In anderen Worten: in der Nähe des Temperaturnullpunktes gibt es keine idealen Gase. , , Othmar Marti (Universität Ulm) , , Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 23 / 24 Mischungen Mischungsentropie System aus zwei Molekülsorten A und B (links) und nach Mischung. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 25. 06. 2007 24 / 24
