Uebungsblatt 9 fuer Physik 1 fuer Ingenieure

Übungsblatt 11
Physik für Ingenieure 1
Othmar Marti, ([email protected])
8. 1. 2002
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Aufgaben für die Übungsstunden
Spezielle Relativitätstheorie1
1. Von einer grossen Rakete R1 , die sich relativ zur Erde mit v = c/2 bewegt,
wird eine kleinere Rakete R2 mit der Relativgeschwindigkeit zu R1 von c/2
gestartet. Von Ri wird die Rakete Ri+1 mit der Relativgeschwindigkeit c/2
gestartet. Alle Geschwindigkeiten liegen in der x-Richtung. Welches ist die
Geschwindigkeit der n-ten Rakete (1 ≤ n < ∞)?
2. Wie lange lebt die Sonne? Bestimmen Sie den Massenverlust der Sonne
(Abstand zur Erde r = 1.5 · 1011 m durch die von Ihr abgestrahlte Energie
(Auf der Erdbahn ist die I = 1.4kW/m2 . Wie lange könnte die Sonne mit
ihrer Masse von MJ = 2 · 1030 kg leben? Wie lange, wenn nur 1% der Masse
in Energie umgewandelt werden kann?
3. Ein Elektron mit der Ruheenergie 0.511M eV besitze eine Gesamtenergie
von 5M eV . Berechnen Sie seinen Impuls m(v)v sowie seine Geschwindigkeit
im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit.
2
Hausaufgabe
4. Mit einem einfachen Gedankenexperiment zeigte Einstein dass mit elektromagnetischer Strahlung eine Masse verbunden ist. Man betrachte einen
Kasten der Länge ` und der Masse M , der auf einer reibungsfreien Oberfläche ruht. Am linken Ende des Kastens befinde sich eine Lichtquelle, die
Strahlung der Energie E aussendet. Diese Strahlung wird am rechten Ende
des kastens wieder vollständig absorbiert. Nach der klassischen Theorie des
Elektromagnetismus trägt die Strahlung den Impuls p = E/c.
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http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/Physing1/node33.html
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(a) Berechnen Sie die Rückstossgeschwindigkeit des Kastens bei der Emission unter der Annahme, dass der Gesamtimpuls erhalten bleibt2 .
(b) Bei der Absorption des Lichtes in der rechten Wand wird der Kasten
gestoppt und der Gesamtimpuls null. Unter Vernachlässigung der Geschwindigkeit des Kastens ist die Laufzeit ∆t = `/c. Berechnen Sie die
vom Kasten in dieser Zeit zurückgelegte Entfernung.
(c) Zeigen Sie, dass die elektromagnetische Strahlung die Masse m = E/c2
tragen muss, damit der Schwerpunkt des Gesamtsystems (es gibt keine
äusseren Kräfte!) in Ruhe bleibt.
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p ist klein und M gross, also klassische Mechanik verwenden!
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Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde
1. Es ist vi+1 =
vi +c/2
1+vi /2c
i +c
. Mit v0 = 0 bekommt man v1 = c/2, v2 = 4c/5
= c 2v
2c+vi
i+1
−1
usw. Diese Rekursionsformel kann auch als vi = c 33i+1 +1
geschrieben werden.
2. Die gesamte abgestrahlte Leistung ist P = 4πr2 I = 4π × 2.25 · 1022 m2 ×
∆MJ
2
26
1400W/m = 4 · 10 W . Der Masseverlust ist µJ =
∆t
=
P
c2
=
4πr2 I
c2
=
MJ
4.4 · 109 kg/s. Die Lebensdauer ist also TJ =
µJ
= 4.5 · 1020 s ≈ 1.44 ·
1013 Jahre. Wenn nur 1% der Masse umgewandelt werden kann, ist TJ,1% =
0.01TJ = 1.44 · 1011 Jahre. Da die Erde etwa 4 · 109 Jahre alt ist, und die
Sonne älter ist als die Erde, dürfte Sie etwa 10 % ihrer Lebensdauer alt
sein.
2
3. Die Gesamtenergie ist E = m(v)c2 = √ m0 c2
man
q
E
E0
= √
E0
1−v 2 /c2
und
E0
E
=
q
1−v /c2
= √
E0
.
1−v 2 /c2
Daraus erhält
1 − v 2 /c2 . Dies ergibt schliesslich
q
v
c
=
1 − E02 /E 2 = 0.99476. Der Impuls ist p = m(v)v = cE2 c 1 − E02 /E 2 =
√
1
2 − E 2 = 3.33·10−9 s/m× 5 · 5 − 0.511 · 0.511×106 ×1.6·10−19 m2 kg/s2 =
E
0
c
2.65 · 10−21 mkg/s
q
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Lösungen Hausaufgabe
0
0
4. (a) Es ist 0 = p0Kasten + p0Licht = M vKasten
+ E/c. Also ist vKasten
= − MEc .
(b) Mit der Laufzeit ∆t = `/c wird der zurückgelegte Weg xKasten =
0
vKasten
∆t = − MEc `/c = − M`Ec2 .
(c) Der Schwerpunkt des Kastens ohne das licht hat sich also um xKasten
verschoben. Wenn das Licht die Masse mLicht tragen würde, dann wäre
der Schwerpunkt stabil, wenn −`/2mLicht = (`/2 + xKasten ) mLicht +
M xKasten . Damit ist auch `mLicht = −xKasten (M + mLicht ) ≈ −xKasten M =
`E
M . Nach der Vereinfachung ergibt sich die gesuchte Formel m =
M c2
E/c2 .
Bemerkung: Die Leistung 1W ≈ˆ 10−17 kg/s entspricht der Masse von 6 · 109
Wasserstoffatomen pro Sekunde!
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