Uebungsblatt 07 fuer Grundkurs IIIb fuer Physiker

Übungsblatt 07
Grundkurs IIIb für Physiker
Othmar Marti, ([email protected])
3. 2. 2003 oder 10. 2. 2003
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Aufgaben für die Übungsstunden
Magnetische Eigenschaften der Materie1 , Maxwellsche Gleichungen2 , PDF-Datei3
1. Es soll gezeigt werden, dass die allgemeine Formulierung des Ampèreschen
Gesetzes
I
ZZ
~ · d~s = µ0 I + µ0 ²0 dφe /dt = µ0
~
B
(~i + ²0 dE/dt)d~
a
S
A(S)
und das Gesetz von Biot-Savart zum gleichen Ergebnis kommen, wenn beide
auf
angewandt werden.
1
../../node33.html
../../node35.html
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Uebungsblatt07.pdf
2
3. 2. 2003 oder 10. 2. 2003
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Zwei Ladungen +Q und −Q befinden sich im Abstand a vom Nullpunkt auf
der x-Achse bei x = −a und x = a. Entlang der Verbindungslinie fliesst ein
Strom I = −dQ/dt. Der Punkt P befindet sich auf der y-Achse im Abstand
R.
(a) Zeigen Sie unter Verwendung des Gesetzes von Biot-Savart, dass das
Magnetfeld am Punkt P durch
B=
µ Ia
√0
2πR R2 + a2
(b) Ein kreisförmiger Streifen (Mittelpunkt im Ursprung) mit dem Radius
r und der Breite dr liege in der y − z-Ebene. Zeigen Sie, dass der Fluss
des elektrischen Feldes durch diesen Streifen durch
Ex dA = (Q/²0 )a(r2 + a2 )−3/2 rdr
gegeben ist.
(c) Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus 1b den gesamten Fluss φe durch
die kreisförmige Ebene mit dem Radius R. Es ergibt sich
√
²0 φe = Q(1 − a/ a2 + R2 )
(d) Berechnen Sie den Verschiebungsstrom IV und zeigen Sie, dass
a
I + IV = I √
a2 + R 2
(e) Berechnen Sie mit dem Ampèreschen Gesetz die Aufgabe 1a und zeigen
Sie, dass man für B das gleiche Ergebnis erhält.
2. Ein Eisenstab mit der Länge 1.4m und dem Durchmesser 2cm habe die
homogene Magnetisierung M = 1.72 · 106 A/m, die entlang des Stabes ausgerichtet sei. Der Stab sei an einem dünnen Faden aufgehängt und befinde
sich in der Mitte (koaxial) einer langen Spule in Ruhe. Durch die Spule
werde kurzzeitig ein Strom geschickt, durch dessen Magnetfeld der Stab
plötzlich entmagnetisiert werde. Wie gross ist die Winkelgeschwindigkeit
des Stabes unter der Annahme, dass sein Drehimpuls erhalten bleibe? Neh~
men Sie an, dass m
~ m = q L/(2m)
gelte, wobei m die Masse des Elektrons
und q = −e dessen Ladung ist. Der Effekt, der dieser Aufgabe zugrunde
liegt, ist der Einstein-De Haas-Effekt.
3. Zwei lange, leitende Streifen seien 20m breit und 0.3mm dick. Die Streifen liegen in parallelen Ebenen und seien durch einen ferromagnetischen
Abstandshalter (Dicke 4cm, relative Permeabilität µr = 400) voneinander
getrennt. Durch die Streifen fliesst ein Strom von je 4800A, aber mit entgegengesetzen Richtungen. Berechnen Sie für das Volumen zwischen den
Streifen (weit weg von den Rändern)
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(a) B0
(b) B
(c) Die magnetische Energie pro Volumeneinheit.
4. Eine Kompassnadel habe die Länge 3cm, den Radius 0.85cm und die Dichte
7.96g/cm3 . Sie kann horizontal frei rotieren, und die horizontale Komponente des Magnetfeldes betrage 0.6Gauss. Bei kleiner Auslenkung ergebe
sich eine harmonische Schwingung um den Mittelpunkt mit ν = 1.4Hz.
(a) Wie gross ist das magnetische Dipolmoment der Nadel?
(b) Wie gross ist die Magnetisierung M
(c) Wie gross ist der Ampèresche Strom an der Oberfläche der Nadel?
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Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde
1. (a) Das Magnetfeld, das am Punkt P von einem Teilstrom hervorgerufen
wird, ist B = [µ0 I/ (4πR)] (sin θ1 + sin θ2 ). Die Abbildung zeigt die
entsprechenden Grössen:
1/2
Hier ist sin θ1 = sin θ2 = a/ (R2 + a2 )
.
2 −1/2
Daher ist B = [µ0 Ia/ (2πR)] (R2 + a )
.
(b) Die folgende Abbildung zeigt, wie das elektrische Feld an einem Punkt
auf der y-Achse im Abstand r von der x-Achse erhalten wird.
Es ist
Ex = 2
1
Q
1
Qa
sin θ1 = 2
2
2
2
(4π²0 ) (r + a )
(4π²0 ) (r + a2 )3/2
Die Fläche des Kreises ist dA = 2πrdr, und es folgt
Ex dA =
Q
a
rdr
²0 (r2 + a2 )3/2
.
(c) Um den elektrischen Fluss heraus, zum Radius R, zu erhalten, integrieren wir Ex dA = Ex 2πrdr von r = 0 bis r = R:
Z R
φe =
Ex 2πrdr
0
¯R
µ ¶
¯
1
Qa
¯
= −
¯
1/2
²0 (r2 + a2 ) ¯
0
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µ
=
Damit ist
Qa
²0
¶"
1
(R2 + a2 )1/2
"
²0 φe = Q 1 −
1
+
a
a
#
#
(R2 + a2 )1/2
.
(d) Nach Definition ist IV = ²0 dφe /dt. Jedoch ist im Ausdruck für φe die
einzige Grösse,
Q. Mit dQ/dt = −I erhalten
h die von der Zeit abhängt,
i
1/2
2
2 1/2
wir IV = −I 1 − a/ (R + a )
und I + IV = Ia/ (R2 + a2 ) .
~ · d~`
(e) Das Gesetz von Ampère besagt, dass das Linienintegral über B
längs eines Kreises vom Radius R in der yz-Ebene mit dem Mittelpunkt am Ursprung, das gleich B (2πR) ist, auch gleich µ0 (I + IV )
1/2
sein muss. Gemäss dem Ergebnis in ?? ist das µ0 Ia (R2 + a2 ) . Damit wird
µ0 Ia
1
B=
2
2πR (R + a2 )1/2
in Übereinstimmung mit dem Resultat in Teil ??, das wir nach dem
Biot-Savart-Gesetz erhielten.
2. Mit dem im Text gegebenen Ergebnis ist der Drehimpulsbetrag
L=
¡
¢
2me
2me
2me
mm =
Ms V =
Ms πr2 l
e
e
e
Er ist verknüpft mit dem magnetischen Moment des Stabes, das entlang
dessen Längsachse ausgerichtet ist. Wenn der Stab um diese Achse rotiert,
ist sein Drehimpuls L = Iω. Darin ist I das Trägheitsmoment einer Scheibe.
Es folgt
¢
1
1¡
L = mr2 ω =
ρπr2 ` r2 ω
2
2
Das setzen wir gleich dem Ausdruck für den Drehimpuls und erhalten
¢
¡
ω = 4me Ms / eρr2 = 4, 92 · 10−5 s−1
Das ist eine äusserst geringe Frequenz.
3. (a) Das magnetische Feld zwischen den Platten ist homogen und liegt
parallel zu den Platten; ausserhalb der Platten ist das Feld null. Wir
wenden nun das Ampère-Gesetz auf einen Weg der Länge l und der
Breite h an. Es ergibt sich Bl = µ0 (I/l) l bzw.
B0 = µ0 I/l = 3, 02 · 10−4 T
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(b) B = µr B0 = 0.121T .
(c) ωm = 21 B 2 /µ0 = 12 (B02 /µ0 ) µr = 14.5J/m3 .
4. (a) Das magnetische Moment der Kompassnadel ist mm = 4π 2 v 2 I/B =
1 3 2
π v ρr2 `3 /B = 0.0524A · m2 .
3
(b) Die Magnetisierung ist M = mm /V = mm / (πr2 l) = 7.70 · 105 A/m.
(c) Die Magnetisierung M hat die Dimension Stromstärke pro Länge und
ist gleich dem Oberflächenstrom pro Längeneinheit entlang der Nadel;
es folgt I = M ` = 2.31 · 104 A.
3
Klausur
• Datum: 13. 2. 2003
Ort: Hörsaal H2
Zeit: 8:00-10:00
• Thema: Die ganze Vorlesung, so wie sie unter http://wwwex.physik.uniulm.de/lehre/gk3b-2002-20034 zu finden ist.
• Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug und Taschenrechner und 2 Blätter (vier Seiten) mit eigener Hand in Handschrift
verfasste Notizen zugelassen. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet in
einer geschlossenen Tasche oder einem geschlossenen Rucksack
aufbewahrt werden!
• Jede Aufgabe ergibt 6 Punkte. Es wird 6 Aufgaben geben. Zum Bestehen
werden voraussichtlich 12 Punkte gefordert.
• Nachklausur: Freitag, 2. 5. 2003, 10:00-12:00
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http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3b-2002-2003
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