Uebungsblatt 01 fuer Grundkurs IIIb fuer Physiker

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Übungsblatt 01
Grundkurs IIIb für Physiker
Othmar Marti, ([email protected])
21. 10. 2002 oder 28. 10. 2002
1
Aufgaben für die Übungsstunden
1. Entlang der x-Achse von x = 0 bis x = ` sei die Ladung Q homogen
verteilt. Berechnen Sie das elektrische Feld für einen Punkt P = (ξ; 0; 0)
auf der x-Achse mit ξ > `!
2. Berechnen Sie das elektrische Feld entlang der Mittelsenkrechten für die
Ladungsverteilung in der Aufgabe 1
3. Berechnen Sie anhand des Resultates von Aufgabe 2 das elektrische Feld in
der Nähe einer unendlich ausgedehnten Linienladungsverteilung.
4. Die Ladung q sei auf einem Kreisring mit Radius r homogen verteilt. Die
Symmetrieachse des Kreisringes sei die x-Achse. Berechnen Sie auf der xAchse das elektrische Feld.
5. Die Ladung q sei homogen auf einer Kreisscheibe mit dem Radius r verteilt.
berechnen sie das elektrische Feld auf der Symmetrieachse.
6. Berechnen Sie mit dem Gaussschen Gesetz das elektrische Feld innerhalb
und ausserhalb einer geladenen, unendlich ausgedehnten Zylinderfläche.
7. Berechnen Sie mit dem Gaussschen Gesetz das elektrische Feld innerhalb
und ausserhalb eines homogen geladenen, unendlich ausgedehnten Zylinders.
2
Hausaufgaben
8. Betrachten sie zwei unendlich lange, konzentrische Zylindermantel. Der innere Mantel habe den Radius R1 und trage die Oberflächenladungsdichte
σ1 . der äussere Zylindermantel habe den Radius R2 > R1 und trage die
Oberflächenladungsdichte σ2 .
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°2002
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(a) Verwenden Sie das Gausssche Gesetz, um das elektrische Feld in den
Bereichen r < R1 , R1 < r < R2 und R2 < r zu berechnen.
(b) Wie müssen das Verhältnis σ1 /σ2 und dessen Vorzeichen sein, damit
das elektrische Feld für r > R2 null ist.
(c) Skizieren sie in diesem Falle die elektrischen Feldlinien.
(d) Kennen Sie Bauelemente, die so aufgebaut sind?
9. Für das nach unten weisende elektrische Feld knapp oberhalb der Erdoberfläche wurde 150V /m gemessen. Welcher Gesamtladung der Erde entspräche dieser Wert?
10. Zwei gleiche homogene Linienladungen der Länge ` befinden sich im Abstand d voneinander auf der x-Achse.
(a) Welche Kraft üben sie aufeinander aus?
(b) Zeigen sie, dass für d À ` die oben berechnete Kraft in
geht.
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1 (λ`)2
4π²0 d2
über-
°2002
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3
3
Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde
1.
• Ladungsdichte: γ =
Q
`
• Elektrisches Feld bei P : dEx (ξ, x) =
Z`
• Integration Ex (ξ) =
0
1
λdx
4πεo (ξ − x)2
λ
dEx (ξ, x) =
4π²0
Z`
0
dx
(ξ − x)2
• Variablentransformation z = x − ξ −→ dz = dx
0 −→ −ξ
` −→ ` − ξ
µ ¶`−ξ
Z`−ξ
λ
dz
λ
1
• Ex (ξ) =
=
−
4π²0
z2
4π²0
z −ξ
−ξ
µ
¶¶
¶
µ
µ
λ
1
λ
` − ξ − (−ξ)
1
=
− −
=
−
4π²0
`−ξ
−ξ
4π²0
−ξ (` − ξ)
λ
`
`λ
1
• Ex (ξ) =
=
4π²0 ξ (ξ − `)
4π²0 ξ (ξ − `)
2.
• Wir legen das Koordinationssystem so, dass die Ladungsverteilung von
- 2` bis 2` reicht.
• Aus Sysmmetriegründen existiert auf der Mittelsenkrechten keine Komponente in x-Richtung.
• Wir betrachten die Komponente entlang y.
1
λdx
• Am Punkt P = (0; y; 0) ist dEy (y) =
y
4π²0 (x2 + y 2 ) 32
`
Z2
• Also Ey (y) =
− 2`
`
λ
y
λy
3 dx =
4π²0 (x2 + y 2 ) 2
4π²0
• also Ey (y) =
− 2`
Z
• Nach Bronstein ist
λy
4π²0
=
Ã
dx
X
y2
3
2
=
a2
x
√
X
! 2`
x
p
x2
+
y2
λ`
1
q
4π²0 y y 2 +
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Z2
`2
4
dx
3
(x2 + y 2 ) 2
mit X = x2 + a2

=
− 2`
=

`
`
λ 

q
+ q
4π²0 y 2 `2 + y 2 2 `2 + y
4
4
Q
1
q
4π²0 y y 2 +
`2
4
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4
• für y À ` bekommt man Ey =
3.
Q
1 λ`
=
2
4π²0 y
4π²0 y 2
• Wenn die Linienladung ”unendlich” ausgedehnt ist, gilt y ¿ `
λ`
1
λ
Q
q =
• Dann ist Ey ≈
=
4π²0 y `2
2π²0 y
2π²0 `y
4
4.
q
2πr
• Abstand
der
Ladung
vom Kreisring zum Punkt x :
√
2
2
d= r +x
~ (Aus Symmetriegründen sind die y - und z• x-Komponente von E
Komponenten 0)
1
λrdϕ
• dEx =
x
4π²0 (r2 + x2 ) 32
Z2π
2πλrx
λrx
qx
λr
xdϕ
Ex =
3 =
3 =
3 =
3
2
2 2
2
2 2
2
2 2
4π²0 (r2 + x2 ) 2
4π²
2²
4π²
0 (r + x )
0 (r + x )
0 (r + x )
0
• Ladungsdichte λ =
• Asymptote: für x À r ist Ex =
5.
• Flächenladungsdichte σ =
λrx
λr
q
=
=
3
2
2²0 x
2²0 x
4π²0 x2
g
πr2
• Wie in Aufgabe 4:
1 σr̂dr̂dϕ
x
dEx =
4π²0 (r̂2 + x2 ) 32
Z2πZr
•
•
•
•
Z2πZr
Zr
1 σr̂x dr̂dϕ
σx
r̂dr̂dϕ
σx
r̂dr̂
Ex =
3 =
3 =
4π²0 (r̂2 + x2 ) 2
4π²0
2²0 (r̂2 + x2 ) 23
(r̂2 + x2 ) 2
0 0
0 0
0
Z
rdr
1
q
Nach Bronstein ist
= −√
r 2 + x2
(r2 + x2 )3
µ
¶r
µ
¶
σx
σx
1
1
1
=
Also Ex =
−√
−√
+
2²√0
r̂2 + x2 √0 2²0
r 2 + x2 x
σ r 2 + x2 − x
σx x − r2 + x2
√
√
=
=−
2²0 x r2 + x2
2²0
r 2 + x2
Für x À r ist
!
Ãr
µ
¶
2
√
r2
r2
r
2
2
r +x −x=x
1+ 2 −x=x 1+ 2 −x= 2
x
2x
2x
• Also ist Ex =
σ r2
Q
=
4²0 x2
4π²0 x2
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°2002
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6.
• Der Zylindermantel habe den Radius R
• Die Flächenladungsdichte sei σ
• Wir betrachten eine Zylinderfläche koaxial zur geladenen Fläche mit
dem Radius r < R
~
• Das E-Feld
ist aus Symmetriegründen radial symmetrisch
Z
Z
Q
En dA = Er
dA = Er · 2πr` =
• Fluss: φ =
²0
Fläche
Fläche
• Da keine Ladung umschlossen wird, ist Er = 0, r < R
σ · 2πR`
• Für r > R gilt Er · 2πr` =
²0
σR
• oder Er =
²0 r
7.
• Ladungsdichte ρ
• Ladung innerhalb Zylinder mit r < R
Qges = ρ · ` · πr2
• Also
Er · 2πr` =
• oder
Er =
• Ausserhalb:
oder
Er=
ρr
2²0
ρ`πr2
²0
Er · 2πr` =
ρR2
2²0 r
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ρ`πR2
²0
°2002
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6
4
Lösungen Hausaufgabe
8.
σR
wenn die Ladung σ auf der Zylinderschale
²0
mit R < r aufgebracht ist.
• Nach Aufgabe 6 ist Er =
(a) r < R1 : Er = 0
R1 < r < R2 : Er = σ²10Rr1
2 R2
r > R2 : Er = σ²10Rr1 + σ²20Rr2 = σ1 R1²+σ
0r
(wir haben die Additivität der elektrischen Felder benutzt).
(b) Wenn für r > R2 Er = 0 sein soll, muss
σ1
R2
σ1 R1 + σ2 R2 = 0 =⇒
=−
sein
σ2
R1
(c)
(d) Koaxialkabel
9.
• Es gilt:
Er =
Qerde
2
4π²0 Rerde
2
• Also Qerde = 4π²0 Rerde
· Er
µ
¶
2
¡
¢ 2
V
−12 C
3 2
Qerde = 4π · 8, 8544x10
· 6230 · 10 m · −150
N m2
m
= −648 kC
V
N
(da
, )
m
C
10.
• Die beiden Linienladungen sind auf einer Achse.
Das elektrische Feld der ersten Linienladung am Ort ξ der zweiten
Linienladung ist:
`λ
1
E (ξ) =
4π²0
ξ (ξ − `)
• Die Kraft auf ein Längenelement dξ ist
dF (ξ, d) = E (ξ) · λdξ
• Die Kraft ist dann
2`+d
2`+d
Z
Z
λdξ
`λ
F (d) =
E (ξ) λdξ =
4π²0 ξ (ξ − `)
`+d
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`+d
°2002
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`λ2
=
4π²0
2`+d
Z
dξ
ξ (ξ − `)
`+d
• Z
Nach Bronstein ist
dx
2
2x − b
= − Artanh
2
x − bx
b
b
¶2`+d
µ
`λ2
2ξ − `
2
• Also F (d) =
− Artanh
4π²0
`
`
`+d
µ
¶
2
−λ
4` + 2d − `
2` + 2d − `
=
Artanh
− Artanh
4π²0 µ
`
¶`
2
λ
3` + 2d
` + 2d
=−
Artanh
− Artanh
4π²0
`
l
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