Uebungsblatt 01 fuer Grundkurs IIIb fuer Physiker
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Übungsblatt 01 Grundkurs IIIb für Physiker Othmar Marti, ([email protected]) 21. 10. 2002 oder 28. 10. 2002 1 Aufgaben für die Übungsstunden 1. Entlang der x-Achse von x = 0 bis x = ` sei die Ladung Q homogen verteilt. Berechnen Sie das elektrische Feld für einen Punkt P = (ξ; 0; 0) auf der x-Achse mit ξ > `! 2. Berechnen Sie das elektrische Feld entlang der Mittelsenkrechten für die Ladungsverteilung in der Aufgabe 1 3. Berechnen Sie anhand des Resultates von Aufgabe 2 das elektrische Feld in der Nähe einer unendlich ausgedehnten Linienladungsverteilung. 4. Die Ladung q sei auf einem Kreisring mit Radius r homogen verteilt. Die Symmetrieachse des Kreisringes sei die x-Achse. Berechnen Sie auf der xAchse das elektrische Feld. 5. Die Ladung q sei homogen auf einer Kreisscheibe mit dem Radius r verteilt. berechnen sie das elektrische Feld auf der Symmetrieachse. 6. Berechnen Sie mit dem Gaussschen Gesetz das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer geladenen, unendlich ausgedehnten Zylinderfläche. 7. Berechnen Sie mit dem Gaussschen Gesetz das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb eines homogen geladenen, unendlich ausgedehnten Zylinders. 2 Hausaufgaben 8. Betrachten sie zwei unendlich lange, konzentrische Zylindermantel. Der innere Mantel habe den Radius R1 und trage die Oberflächenladungsdichte σ1 . der äussere Zylindermantel habe den Radius R2 > R1 und trage die Oberflächenladungsdichte σ2 . 21. 10. 2002 oder 28. 10. 2002 °2002 1c University of Ulm, Othmar Marti 2 (a) Verwenden Sie das Gausssche Gesetz, um das elektrische Feld in den Bereichen r < R1 , R1 < r < R2 und R2 < r zu berechnen. (b) Wie müssen das Verhältnis σ1 /σ2 und dessen Vorzeichen sein, damit das elektrische Feld für r > R2 null ist. (c) Skizieren sie in diesem Falle die elektrischen Feldlinien. (d) Kennen Sie Bauelemente, die so aufgebaut sind? 9. Für das nach unten weisende elektrische Feld knapp oberhalb der Erdoberfläche wurde 150V /m gemessen. Welcher Gesamtladung der Erde entspräche dieser Wert? 10. Zwei gleiche homogene Linienladungen der Länge ` befinden sich im Abstand d voneinander auf der x-Achse. (a) Welche Kraft üben sie aufeinander aus? (b) Zeigen sie, dass für d À ` die oben berechnete Kraft in geht. 21. 10. 2002 oder 28. 10. 2002 1 (λ`)2 4π²0 d2 über- °2002 2c University of Ulm, Othmar Marti 3 3 Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde 1. • Ladungsdichte: γ = Q ` • Elektrisches Feld bei P : dEx (ξ, x) = Z` • Integration Ex (ξ) = 0 1 λdx 4πεo (ξ − x)2 λ dEx (ξ, x) = 4π²0 Z` 0 dx (ξ − x)2 • Variablentransformation z = x − ξ −→ dz = dx 0 −→ −ξ ` −→ ` − ξ µ ¶`−ξ Z`−ξ λ dz λ 1 • Ex (ξ) = = − 4π²0 z2 4π²0 z −ξ −ξ µ ¶¶ ¶ µ µ λ 1 λ ` − ξ − (−ξ) 1 = − − = − 4π²0 `−ξ −ξ 4π²0 −ξ (` − ξ) λ ` `λ 1 • Ex (ξ) = = 4π²0 ξ (ξ − `) 4π²0 ξ (ξ − `) 2. • Wir legen das Koordinationssystem so, dass die Ladungsverteilung von - 2` bis 2` reicht. • Aus Sysmmetriegründen existiert auf der Mittelsenkrechten keine Komponente in x-Richtung. • Wir betrachten die Komponente entlang y. 1 λdx • Am Punkt P = (0; y; 0) ist dEy (y) = y 4π²0 (x2 + y 2 ) 32 ` Z2 • Also Ey (y) = − 2` ` λ y λy 3 dx = 4π²0 (x2 + y 2 ) 2 4π²0 • also Ey (y) = − 2` Z • Nach Bronstein ist λy 4π²0 = à dx X y2 3 2 = a2 x √ X ! 2` x p x2 + y2 λ` 1 q 4π²0 y y 2 + 21. 10. 2002 oder 28. 10. 2002 Z2 `2 4 dx 3 (x2 + y 2 ) 2 mit X = x2 + a2 = − 2` = ` ` λ q + q 4π²0 y 2 `2 + y 2 2 `2 + y 4 4 Q 1 q 4π²0 y y 2 + `2 4 °2002 3c University of Ulm, Othmar Marti 4 • für y À ` bekommt man Ey = 3. Q 1 λ` = 2 4π²0 y 4π²0 y 2 • Wenn die Linienladung ”unendlich” ausgedehnt ist, gilt y ¿ ` λ` 1 λ Q q = • Dann ist Ey ≈ = 4π²0 y `2 2π²0 y 2π²0 `y 4 4. q 2πr • Abstand der Ladung vom Kreisring zum Punkt x : √ 2 2 d= r +x ~ (Aus Symmetriegründen sind die y - und z• x-Komponente von E Komponenten 0) 1 λrdϕ • dEx = x 4π²0 (r2 + x2 ) 32 Z2π 2πλrx λrx qx λr xdϕ Ex = 3 = 3 = 3 = 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4π²0 (r2 + x2 ) 2 4π² 2² 4π² 0 (r + x ) 0 (r + x ) 0 (r + x ) 0 • Ladungsdichte λ = • Asymptote: für x À r ist Ex = 5. • Flächenladungsdichte σ = λrx λr q = = 3 2 2²0 x 2²0 x 4π²0 x2 g πr2 • Wie in Aufgabe 4: 1 σr̂dr̂dϕ x dEx = 4π²0 (r̂2 + x2 ) 32 Z2πZr • • • • Z2πZr Zr 1 σr̂x dr̂dϕ σx r̂dr̂dϕ σx r̂dr̂ Ex = 3 = 3 = 4π²0 (r̂2 + x2 ) 2 4π²0 2²0 (r̂2 + x2 ) 23 (r̂2 + x2 ) 2 0 0 0 0 0 Z rdr 1 q Nach Bronstein ist = −√ r 2 + x2 (r2 + x2 )3 µ ¶r µ ¶ σx σx 1 1 1 = Also Ex = −√ −√ + 2²√0 r̂2 + x2 √0 2²0 r 2 + x2 x σ r 2 + x2 − x σx x − r2 + x2 √ √ = =− 2²0 x r2 + x2 2²0 r 2 + x2 Für x À r ist ! Ãr µ ¶ 2 √ r2 r2 r 2 2 r +x −x=x 1+ 2 −x=x 1+ 2 −x= 2 x 2x 2x • Also ist Ex = σ r2 Q = 4²0 x2 4π²0 x2 21. 10. 2002 oder 28. 10. 2002 °2002 4c University of Ulm, Othmar Marti 5 6. • Der Zylindermantel habe den Radius R • Die Flächenladungsdichte sei σ • Wir betrachten eine Zylinderfläche koaxial zur geladenen Fläche mit dem Radius r < R ~ • Das E-Feld ist aus Symmetriegründen radial symmetrisch Z Z Q En dA = Er dA = Er · 2πr` = • Fluss: φ = ²0 Fläche Fläche • Da keine Ladung umschlossen wird, ist Er = 0, r < R σ · 2πR` • Für r > R gilt Er · 2πr` = ²0 σR • oder Er = ²0 r 7. • Ladungsdichte ρ • Ladung innerhalb Zylinder mit r < R Qges = ρ · ` · πr2 • Also Er · 2πr` = • oder Er = • Ausserhalb: oder Er= ρr 2²0 ρ`πr2 ²0 Er · 2πr` = ρR2 2²0 r 21. 10. 2002 oder 28. 10. 2002 ρ`πR2 ²0 °2002 5c University of Ulm, Othmar Marti 6 4 Lösungen Hausaufgabe 8. σR wenn die Ladung σ auf der Zylinderschale ²0 mit R < r aufgebracht ist. • Nach Aufgabe 6 ist Er = (a) r < R1 : Er = 0 R1 < r < R2 : Er = σ²10Rr1 2 R2 r > R2 : Er = σ²10Rr1 + σ²20Rr2 = σ1 R1²+σ 0r (wir haben die Additivität der elektrischen Felder benutzt). (b) Wenn für r > R2 Er = 0 sein soll, muss σ1 R2 σ1 R1 + σ2 R2 = 0 =⇒ =− sein σ2 R1 (c) (d) Koaxialkabel 9. • Es gilt: Er = Qerde 2 4π²0 Rerde 2 • Also Qerde = 4π²0 Rerde · Er µ ¶ 2 ¡ ¢ 2 V −12 C 3 2 Qerde = 4π · 8, 8544x10 · 6230 · 10 m · −150 N m2 m = −648 kC V N (da , ) m C 10. • Die beiden Linienladungen sind auf einer Achse. Das elektrische Feld der ersten Linienladung am Ort ξ der zweiten Linienladung ist: `λ 1 E (ξ) = 4π²0 ξ (ξ − `) • Die Kraft auf ein Längenelement dξ ist dF (ξ, d) = E (ξ) · λdξ • Die Kraft ist dann 2`+d 2`+d Z Z λdξ `λ F (d) = E (ξ) λdξ = 4π²0 ξ (ξ − `) `+d 21. 10. 2002 oder 28. 10. 2002 `+d °2002 6c University of Ulm, Othmar Marti 7 `λ2 = 4π²0 2`+d Z dξ ξ (ξ − `) `+d • Z Nach Bronstein ist dx 2 2x − b = − Artanh 2 x − bx b b ¶2`+d µ `λ2 2ξ − ` 2 • Also F (d) = − Artanh 4π²0 ` ` `+d µ ¶ 2 −λ 4` + 2d − ` 2` + 2d − ` = Artanh − Artanh 4π²0 µ ` ¶` 2 λ 3` + 2d ` + 2d =− Artanh − Artanh 4π²0 ` l 21. 10. 2002 oder 28. 10. 2002 °2002 7c University of Ulm, Othmar Marti
