Übungsblatt 4

MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
FS 2010
Übungsblatt 4
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabetermin: Mittwoch, 24. März 2010, bzw. Freitag, 26. März 2010, bei der Semesterassistentin oder beim Semesterassistenten in der jeweiligen Übungsstunde.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 35 (3 Punkte):
In einer Schachtel sind 500 gemischte Büroklammern, davon sind 200 gross (G) und 300
klein (K). Von den grossen sind 80 rot (R) und 40 blau (B), von den kleinen sind 150
rot und 100 blau, der Rest ist jeweils orange (O). Das Zufallsexperiment besteht in der
zufälligen Auswahl einer Büroklammer. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten
und überlegen Sie sich dabei ihre konkrete Bedeutung:
a) P[B], b) P[K ∩ B], c) P[K ∪ B], d) P[K|B], e) P[B|K], f) P[K|O].
Aufgabe 36 (3 Punkte):
Ein roter, ein blauer und ein grüner Würfel werden gleichzeitig geworfen. Das Ereignis E
besteht darin, dass die Augensumme ≤ 5 ist. Wie gross ist die bedingte Wahrscheinlichkeit
pk dafür, dass E eintritt, falls der rote Würfel die Augenzahl k zeigt? Behandeln Sie alle
möglichen Fälle, also k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Aufgabe 37 (4 Punkte):
Aus der Menge der Zahlen {12, 13, . . . , 36} wird eine Zahl zufällig ausgewählt. Wir betrachten die folgenden Ereignisse: A: die Zahl ist ungerade“, B: die Zahl ist durch 9
”
”
teilbar“, C; die Zahl ist eine Primzahl“. Berechnen Sie die folgenden bedingten Wahr”
scheinlichkeiten:
a) P[A|B], b) P[B|A], c) P[C|A], d) P[A|C].
Eines der Ergebnisse ist in einem gewissen Sinn speziell. Geben Sie eine Erklärung.
Aufgabe 38 ◦ :
Lynn hat von Brian über eBay einen MP3-Player ersteigert. Die beiden wollen sich am
Tag nach dem Auktionsende am eBay Xchange-Point“ am Hauptbahnhof Zürich treffen
”
um den Handel abzuschliessen. Dabei haben sie den Zeitpunkt des Treffens dummerweise
nur ungenau vereinbart:
Lynn trifft an einem zufälligen Zeitpunkt zwischen 12 Uhr und 13 Uhr ein und wartet 20
Minuten auf Brian. Falls er innerhalb dieser Zeitspanne nicht auftaucht, geht Lynn wieder
nach Hause. Genau dieselbe Strategie verfolgt Brian.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A: Lynn trifft vor 12.30 und
”
Brian nach 12.30 ein“?
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit eines Treffens unter der Bedingung, dass A eingetroffen ist?
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c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit eines Treffens unter der Bedingung, dass beide
nach 12.45 eintreffen?
Baumdiagramme
Aufgabe 39 (4 Punkte):
In einem Korb hat es sechs Äpfel, sieben Birnen und drei Orangen. Es werden Ihnen
zufällig zwei Früchte ausgehändigt. Zeichnen Sie das zugehörige Baumdiagramm. Bestimmen Sie dann die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) Sie erhalten zwei
Früchte derselben Sorte. b) Sie erhalten genau eine Orange. c) Sie erhalten mindestens
eine Birne.
Aufgabe 40 (3 Punkte):
In einem Dorf sind 38% der Frauen Mitglied des Trachtenvereins. Von den Vereinsmitgliedern tragen am Sonntag 75% ihre Tracht, aber auch 15% der Nichtmitglieder tun dies.
Sie kommen an einem Sonntag in das Dorf und treffen eine Trachtenfrau an. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist sie Vereinsmitglied?
Aufgabe 41 (4 Punkte):
Kim und Urs spielen gegeneinander. Sie ziehen abwechslungsweise und ohne Zurücklegen
eine Kugel aus einem Gefäss, das anfänglich drei schwarze und drei weisse Kugeln enthält.
Kim beginnt das Spiel. Sie gewinnt, sobald sie eine schwarze Kugel zieht. Urs andrerseits
gewinnt dann, wenn er eine weisse Kugel zieht. Sobald der Sieger feststeht, wird das Spiel
abgebrochen. a) Berechnen Sie die Siegeschancen der beiden. b) Wie ist es möglich, dass
das Spiel unentschieden endet? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür?
Aufgabe 42 (2 Punkte):
Lynn und Brian haben sich am Hauptbahnhof tatsächlich getroffen (vgl. Aufgabe 38), und
Lynn hat den MP3-Player, einen iPod shuffle“, von Brian erhalten. Auf diesem Player
”
lassen sich die Musikstücke in einer zufälligen Reihenfolge abspielen. Zu Hause kopiert
Lynn 8 Lieder von Muse, 6 Lieder von Placebo und 5 von Lady Gaga auf ihren iPod und
lässt sie in einer zufälligen Reihenfolge abspielen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ein erstes Lied von Lady Gaga spätestens an fünfter Stelle auftaucht?
Aufgabe 43 (4 Punkte):
Wir würfeln solange mit zwei Würfeln, bis erstmals die Augensumme 8 auftritt. Wie gross
ist die Wahrscheinlichkeit pk dafür, dass dies im k-ten Wurf passiert (k ∈ N)?
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Unabhängigkeit
Aufgabe 44 (2 Punkte):
Von den 340 HörerInnen einer Vorlesung studieren 160 Biologie, 120 Geographie und
60 andere Fächer. Eine Person wird zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
studiert diese Biologie und ist an einem Freitag geboren? (Welche plausiblen Annahmen
müssen Sie treffen?)
Aufgabe 45 ◦ :
Wir würfeln einmal mehr mit zwei Würfeln und betrachten die folgenden Ereignisse:
E: Augensumme ≤ 3”, F : Augensumme eine gerade Zahl ≤ 6“, G: Augensumme durch
”
”
”
3 teilbar“. Welche der Paare (E, F ), (E, G) und (F, G) sind unabhängig, welche nicht?
Aufgabe 46 (4 Punkte):
Gehen wir zurück zu Lynn und Brian (Aufgabe 38) und untersuchen die folgenden Ereignisse: T : Die zwei treffen sich“, E: Lynn kommt nach 12.30 Uhr“, F : Lynn kommt nach
”
”
”
12.30 Uhr und Brian kommt vor 12.30 Uhr“. Untersuchen Sie die drei Paare (T, E), (T, F )
und (E, F ) auf Unabhängigkeit.
Aufgabe 47 (4 Punkte):
In einem Gefäss befinden sich 15 Billardkugeln. Diese sind von 1 bis 15 nummeriert.
Das Zufallsexperiment besteht im Ziehen einer Kugel (wobei alle Kugeln mit gleicher
Wahrscheinlichkeit gezogen werden können). Ferner sei E = {4, 7, 9}, und F sei stets ein
Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1/3.
a) Geben Sie ein F an, derart, dass E und F abhängig sind.
b) Geben Sie ein F an, derart, dass E und F unabhängig sind.
c) Wieviele Ereignisse F (nach wie vor mit P[F ] = 1/3) gibt es derart, dass E und F
unabhängig sind?
d) Gibt es ein Ereignis G mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 derart, dass E und G unabhängig
sind? Wenn ja, so geben Sie ein Beispiel, wenn nicht so begründen Sie warum!
Aufgabe 48 (5 Punkte):
Ein wenig Theorie zum Ende dieses Übungsblatts:
a) Weisen Sie nach, dass zwei unvereinbare Ereignisse (i.e. zwei Ereignisse A und B, so
dass A ∩ B = ∅), welche beide eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit haben,
stets voneinander abhängig (d.h., nicht unabhängig) sind. Merke: Unvereinbarkeit und
Unabhängigkeit sind verschiedene Dinge, die Sie nicht verwechseln dürfen!
b) Für die Ereignisse E und F gelte E ⊂ F . Sind E und F abhängig oder unabhängig?
Diskutieren Sie mögliche Fälle!
8. März 2010
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