¨Ubungsblatt M9 zur Newtonschen Mechanik und Speziellen

Übungsblatt M9
zur Newtonschen Mechanik und Speziellen Relativitätstheorie
Prof. K. Hornberger, Dr. J. Madroñero
Infos siehe http://www.uni-due.de/tqp
Abgabe bis Mittwoch 9.1.2013 13:00 Uhr in den Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab!
Aufgabe M29 — Komplexe Zahlen
(12 Punkte)
(a) Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in Polarform ρeiϕ und zeichnen Sie diese als Punkte in
die Gaußsche Zahlenebene ein:
√
2 2
√ ,
z3 = z2∗
z1 = 1 + i ,
z2 =
1 + 3i
(b) Für die komplexen Zahlen z1 , z2 , z3 aus (a) berechnen Sie die Real- und Imaginärteile von:
z1∗
,
z3
z 2 z3 ,
z 2 + z3
,
z2 − z3
z1
z2
2012
(c) Zeigen Sie ausgehend von der Definition eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, dass
(i) ei(ϕ1 +ϕ2 ) = eiϕ1 eiϕ2
d iϕ(t)
(ii)
e
= iϕ′ (t)eiϕ(t)
dt
(iii) (eiϕ )∗ = e−iϕ
(d) Finden Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z 4 + 1 = 0.
Aufgabe M30 — Moivresche Formel
(6 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass
(cos ϕ + i sin ϕ)−1 = cos ϕ − i sin ϕ,
∀ϕ ∈ R
(b) Zeigen Sie die Moivresche Formel:
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ ,
∀ϕ ∈ R, ∀n ∈ Z
Aus dieser Formel folgt einϕ = (eiϕ )n .
Hinweis: Benutzen Sie vollständige Induktion für n ≥ 0 und dann (a) für n < 0.
(c) Zeigen Sie, dass
sin 3ϕ = 3 sin ϕ − 4 sin3 ϕ
cos 3ϕ = −3 cos ϕ + 4 cos3 ϕ
mit Hilfe von einϕ = (eiϕ )n für n = 3 durch Vergleich der Real- und Imaginärteile.
Aufgabe M31 — Partielle Ableitungen
(8 Punkte)
n
Die partielle Ableitung einer reellen Funktion f : R → R mehrerer Argumente nach einer der
Variablen ist die Ableitung der Funktion, die man erhält, wenn man die Werte aller übrigen Argumente
konstant hält. Die partiellen Ableitungen der Funktion f (x1 , x2 ) = 2x21 x2 nach x1 bzw. nach x2 lauten
∂f
∂f
= 4x1 x2 und ∂x
= 2x21 .
beispielsweise ∂x
1
2
(a) Berechenen Sie für die Funktion f (x, y, z) =
∂f
,
∂x
∂f
,
∂y
∂f
,
∂z
p
x2 + y 2 + z 2
∂ 2f
∂ ∂f
:=
,
2
∂x
∂x ∂x
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
p
(b) Verifizieren Sie für die Funktion f (x, y) = x2 y 2 + sin2 y , dass bei gemischten Ableitungen
∂2f
∂ ∂f
:= ∂x∂y
die Reihenfolge der Ableitungen keine Rolle spielt, d.h.
∂x ∂y
∂ 2f
∂ 2f
=
∂x∂y
∂y∂x
(c) Der Gradient ∇f (x, y, z) einer reellen Funktion f : R3 → R ist die vektorwertige Funktion
∇f : R3 → R3 mit
∂f
∂f
∂f
∇f (x, y, z) =
ex +
ey +
ez
∂x
∂y
∂z
Berechen
Sie den Gradienten der Funktionen f1 (x, y, z) = x2 + 2y + z 3 und f2 (x, y, z) =
p
x2 + y 2 + z 2 . Welcher Zusammenhang besteht zwischen ∇f2 und dem Radius-Einheitsvektor
er = r/r.
Bemerkung: Oft verwendet man die verkürzte Notation ∂xi f :=
∂f
.
∂xi