Prof. Dr. U. Görtz WS 2010/11 Dr. U. Terstiege A. Herrmann Lineare
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Prof. Dr. U. Görtz
Dr. U. Terstiege
A. Herrmann
WS 2010/11
Lineare Algebra I
13. Übungsblatt
Abgabe: Mittwoch, 26. Januar 2011 vor der Vorlesung (Postfach 7 in T03 R03).
Hausaufgabe 1
Q
Berechne die Determinanten der folgenden beiden Matrizen A und B aus M4×4 ( ).
1
2 −1 2
1 0 1 0
2
2 2 2 4
5
1 5
,
A=
B=
1
1 0 0 0
3
3 7
−1 −2 2 3
4 1 3 1
Hausaufgabe 2
Sei K ein Körper und seien x1 , ..., xn ∈ K. Zeige:
1
1
...
x1
x
...
2
2
x2
x
...
2
1
..
..
.
.
n−1
n−1
...
x2
x1
Q
ist gegeben durch i<j (xj − xi ).
Die Determinante der Matrix
1
xn
x2n
..
.
n−1
xn
Hausaufgabe 3
Sei K ein Körper und n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Weiter sei E ∈ Mn×n (K) die Einheitsmatrix. Ist A = (aij )i,j ∈ Mn×n (K), so schreibt man t A für die n × n Matrix über
K, deren Eintrag an der Stelle i, j durch aji gegeben ist.
a) Sei A ∈ Mn×n (K) mit A · t A = E. Zeige, daß det(A) ∈ {1, −1}.
b) Sei A ∈ Mn×n (K) und sei A = −t A (d.h. A ist schiefsymmetrisch). Sei außerdem n
ungerade. Zeige, daß det(A) = 0 oder 1 + 1 = 0 in K.
Hausaufgabe 4
x1
x2
Die (orientierte) Fläche des durch zwei Vektoren v =
und w =
aufgespanny1
y2
ten Parallelogramms berechnet sich durch die Formel:
F (v, w) = kvk · kwk · sin(](v, w))
1
Dabei ist ](v, w) der orientierte Winkel zwischen dem Vektor v und dem Vektor w. Das heißt
](v, w) ist der Winkel, um den man den Vektor v gegen den Uhrzeigersinn drehen muss, damit er
in die gleiche Richtung wie der Vektor w zeigt. Daraus ergibt sich, dass der orientierte Winkel zwischen
w und v i. A.ein anderer ist - nämlich ](w, v) = 360◦ − ](v, w). Weiter definieren wir die Länge eines
p
x
durch kuk = x2 + y 2 .
Vektors u =
y
a) Drücke h in der Skizze durch w und α aus, und begründe anhand dessen die obige
Formel für die orientierte Fläche.
b) Zeige, daß die orientierte Fläche eine Determinantenfunktion (R2 )2 → R definiert.
x1 x2
c) Sei A(v, w) die Matrix mit den Spaltenvektoren v und w: A(v, w) =
. Zeige,
y1 y2
daß F (v, w) = det(A(v, w)) gilt.
Präsenzaufgabe 1
Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl und sei σ ∈ Sn . Sei Pσ die zugehörige Permutationsmatrix.
Zeige, daß det(Pσ ) = sgn(σ).
Präsenzaufgabe 2
Q
Sei A ∈ M3×3 ( ) die folgende Matrix.
1 2 3
A = 4 5 6
7 8 0
Bestimme die Determinante von A.
2
