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UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
THEORETISCHE PHYSIK
Professor Dr. Manfred Lücke
D-66041 Saarbrücken
15. Dezember 2005
WS 2005/06
ÜBUNGSAUFGABEN ZUR VORLESUNG THEORETISCHE PHYSIK I“
”
Übungsblatt 9
37. Gekoppelte Pendel im Schwerefeld
Betrachten Sie zwei ebene Pendel gleicher Masse m und Länge `. Der Abstand der Aufhängepunkte
sei d0 , die Auslenkungen aus der Ruhelage in (horizontaler) x–Richtung und (vertikaler) y–Richtung
werden mit x1,2 und y1,2 bezeichnet. Die Pendel befinden sich im homogenen Gravitationsfeld mit
dem Potential Uext (y) = mgy .
d0
x2
y2
Zeigen Sie, daß
a) für kleine Auslenkungen | x1,2 | `, gilt: y1,2 /` '
1
2
2
(x1,2 /`) ,
b) dann für | x2 − x1 | d0 die Federauslenkung d − d0 ' x2 − x1 beträgt,
2
2
2
2
c) unter diesen Umständen die potentielle Energie U = m
2 ω0 x1 + x2 − m ωF x1 x2 sowie
2
2
die Lagrange–Funktion L = L1 + L2 + m ωF x1 x2 beträgt.
Hier ist ωF = K/m die
p
g/`
die
charakteristische PendelRückstell kraft“der Feder (K = Federkonstante),
ω
=
p
”
2
2
2
(
ẋ
)
−
ω
(x
)
.
frequenz, ω02 = ωF2 + ωp2 und L1,2 = m
1,2
0 1,2
2
d) Beachten Sie, daß die Kopplung bilinear ist. Überzeugen Sie sich, daß L eine quadratische
Form ist:
T
ω02
−ωF2
2
2
m
T
T
L = 2 ẋ · 1 ẋ − x · Ω x , wobei x = (x1 , x2 ) und Ω =
.
−ωF2
ω02
e) Schreiben Sie die Bewegungsgleichungen in Matrixform und zeigen Sie, daß der Ansatz x(t) =
ρ cos(ωt + α) auf das Eigenwertproblem (Ω2 − ω 2 1)ρ = 0 führt.
f) Bestimmen Sie die Eigenwerte ω12 , ω22 und die auf 1 normierten Eigenvektoren ρ(1) , ρ(2) .
g) Konstruieren Sie aus ρ(1,2) die Matrix A, die obiges Eigenwertproblem diagonalisiert.
2 P
h) Zeigen Sie, daß L = m
Q̇2i − ωi2 Q2i und Q̈i + ωi2 Qi = 0 für i = 1, 2, wobei Q = A−1 x
2
Normalkoordinaten sind.
i=1
i) Bestimmen Sie
die 2 komplexen Konstanten C1,2 in der allgemeinen Lösung
Qj (t) = Re Cj eiωj t der Bewegungsgleichung für folgende Anfangswerte der Pendel: x1 (t =
0) = a, x2 (t = 0) = ẋ1 (t = 0) = 
ẋ2 (t = 0) = 0. Zeigen Sie, daß
dafür die Lösung lautet
ω1 −ω2
2
t
cos
t
 cos ω1 +ω
2
2
x1,2 (t) = a2 (cos ω2 t ± cos ω1 t) = a

2
2
sin ω1 +ω
t sin ω1 −ω
t
2
2
(wobei ω12 der größere der beiden Eigenwerte ist).
j) Zeichnen Sie x1 (t) und x2 (t) für den Fall schwacher Federkopplung ωF ωp .
k) Zeigen Sie, daß das System periodisch ist für rationale ω2 /ω1 . Es kehrt nie in seine Anfangslage
zurück, falls ω2 /ω1 irrational ist.
38. Effektive Erdbeschleunigung
Berechnen Sie die effektive Beschleunigung geff , die eine ruhende Masse m auf der Oberfläche der
rotierenden Erde erfährt als Funktion der nördlichen Breite α.
Skizzieren Sie die Richtung von geff . Berechnen Sie | geff − g | /g für Saarbrücken (αSB ≈ 50◦ ).
39. Endliche Drehungen
Betrachten Sie die Darstellung eines Vektors r in zwei kartesischen Koordinatensystemen Σ 0 und Σ
mit gemeinsamen Ursprung x0i e0i = r = xj ej (Summenkonvektion). Zeigen Sie:
a) die Elemente Dij der Transformationsmatrix D, wobei x0j = Dij xj gilt, sind Cosinus der
Einheitsvektoren, d. h. Dij = e0i · ej ;
P
P
2
b) aus i x2i = i x0 i folgt D D T = 1, d. h. D ist eine orthogonale Matrix;
c) aufeinanderfolgende Drehungen des Koordinatensystems um verschiedene Achsen kommutieren nicht (Skizzieren Sie dazu 90◦ -Drehungen);
d) Geben Sie D explizit an für den Fall, daß Σ0 durch Drehung um den Winkel ϕ um ei entsteht,
und prüfen Sie D DT = 1 für i = 1, 2, 3.
Prof. Lücke und das Bremserteam wünschen
allen Hörern der Vorlesung schöne Feiertage!
Abgabetermin:
Ort:
Freitag, 6. Januar 2006 , 12.oo Uhr
Briefkasten Prof. Lücke
Bau E2.6, EG (neben den Fahrstühlen)