Übung 1: Kran

Bachelorprüfung in
Grundlagen der Elektrotechnik
für Wirtschaftsingenieure
und Materialwissenschaftler
Musterlösung Klausur vom 15.09.2015
1. Elektrostatisches Feld
1.1)
(vgl. Übungsaufgabe Nr. 22)
�⃗ = 𝜀0 𝐸�⃗ = 𝜀0 𝐸𝑟 (𝑟) ⋅ 𝑒⃗𝑟 ; ∯ 𝐷
�⃗ ⋅ d𝐴⃗ = 𝑄
Kugelsymmetrie: 𝐸�⃗ = 𝐸𝑟 (𝑟) ⋅ 𝑒⃗𝑟 und 𝐷
𝐴
Flächenelement für Kugelkoordinaten d𝐴⃗ = 𝑒⃗𝑟 d𝐴 = 𝑒⃗𝑟 𝑟 2 sin 𝜗 d𝜗d𝜑
4
Volumen einer Kugel: 𝑉𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝜋𝑟 3
4
𝑄 = ∭ 𝜌(𝑟) ∙ 𝑑𝑑 =
1
𝐸�⃗ =
1.2)
𝑄
4𝜋𝜀0 𝑟
⃗𝑟 =
2 ⋅𝑒
3
⎧ 3 𝜋𝑟 𝜌1
⎪4 𝜋𝑎3 𝜌
𝑓ü𝑟 0 ≤ 𝑟 < 𝑎
𝑓ü𝑟 𝑎 ≤ 𝑟 < 𝑏
4
⎨ 𝜋𝑎3 𝜌1 + 𝜋(𝑟 3 − 𝑏 3 )𝜌2
3
3
⎪4 3
4
3
3
⎩ 3 𝜋𝑎 𝜌1 + 3 𝜋(𝑐 − 𝑏 )𝜌2
⎧ 3𝜀0 𝑟𝜌1
⎪ 1 𝑎3
⎪
2 𝜌1
3𝜀0 𝑟
3
𝑓ü𝑟 𝑏 ≤ 𝑟 < 𝑐
𝑓ü𝑟
𝑟≥𝑐
𝑓ü𝑟 0 ≤ 𝑟 < 𝑎
3
𝑓ü𝑟 𝑎 ≤ 𝑟 < 𝑏
3
⎨ 1 𝑎 𝜌 + 1 (𝑟 −𝑏 )𝜌
2 1
2
3𝜀0
𝑟2
⎪3𝜀0 𝑟
3
⎪ 1 𝑎3
1 𝑐3 −𝑏
⎩3𝜀0 𝑟 2 𝜌1 + 3𝜀0 ( 𝑟 2 )𝜌2
𝑓ü𝑟 𝑏 ≤ 𝑟 < 𝑐
𝑓ü𝑟
𝑟≥𝑐
Spannung:
𝑎
P
�⃗ ∙𝑑𝒔
�⃗ = ∫0
𝑈01 = ∫0 1 �𝑬
1.3)
1
3
4
3
𝑟
3𝜀0
𝜌1 𝑒⃗r ∙ 𝑒⃗r 𝑑𝑑 =
𝜌1
3𝜀0
𝑟2
𝑎
� � =
2 0
𝜌1
3𝜀0
Die Gesamtladung muss verschwinden:
4
3
4
𝜋𝑎3 𝜌1 + 𝜋(𝑐 3 − 𝑏 3 )𝜌2 = 0 → 𝜌2 = −
3
𝑎3
𝜌
𝑐 3 −𝑏3 1
Seite 1 von 8
∙
𝑎2
2
1.4)
Da die Feldstärke im Außenraum Null ist, genau wie im Ursprung des
Koordinatensystems, liegt kein Potentialunterschied und damit auch keine Spannung
vor.
2. Transistor
(vgl. Übungsaufgabe 51)
2.1 Berechnung Basisstrom bei T0
URϑ = UB-UBE
IB = URϑ /Rϑ = (UB-UBE)/ Rϑ (allgemein)
IB0 = (10V-0.7V)/ 25kΩ = 372 µA
2.2 Ausgangsspannung bei T0
IC = IB0 ∙ B = 41 mA; URC = IC ∙ RC = 8,2 V
Ua0 = UB - URC = UB – IB0∙B∙RC = 10V - 372µA ∙ 110 ∙ 200Ω = 1,8 V
2.3 Ausgangsspannung bei T = 120 °C
Rϑ120 = R0∙(1+α∙(T-T0)) = 35 kΩ
IB120 = (10V-0.7V)/ 35kΩ = 266 µA
Ua120 = UB – IB120∙B∙RC = 10V - 266µA ∙ 110 ∙ 200Ω = 4.1 V
2.4 Temperaturempfindlichkeit
S = ∆Ua / ∆T = (4.1V-1.8V)/(120°C-20°C) = 23 mV/K
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3. Kondensator
Gegeben sind ideale Kondensatoren mit den Kenndaten 𝐶0 = 100µF, 𝑈Nenn = 400V. Mit diesen
Kondensatoren soll ein Kondensatornetzwerk aufgebaut werden, das an einer Betriebsspannung
𝑈0 = 800V betrieben wird und insgesamt eine Kapazität von 𝐶ges = 200µF aufweisen soll.
3.1)
Wie viele der gegebenen Kondensatoren müssen mindestens in Reihe
geschaltet werden und wie groß ist die Kapazität dieser Reihenschaltung 𝐶R ?
Betriebsspannung: 800V;
maximale Kondensatorspannung: 400V;
mindestens 2 Kondensatoren in Reihe.
𝐶R =
𝐶0 ∙𝐶0
𝐶0 +𝐶0
1
1
= 𝐶0 = 100µF = 50µF
2
2
3.2)
Wie viele parallele Zweige der in Reihe geschalteten Kondensatoren werden
benötigt, um die geforderte Gesamtkapazität zu erreichen?
Gesamtkapazität: 𝐶ges = 200µF
𝐶ges = 𝑛 ∙ 𝐶R
3.3)
𝑛=
𝐶ges
𝐶R
=
200µF
50µF
=4
Zeichnen Sie das Kondensatornetzwerk.
𝐶0
𝑈0
3.4)

𝑈C 𝐶0
𝐶0
𝐶0
𝑈C 𝐶0
𝐶0
𝐶0
𝐶0
Welche Spannung fällt jeweils an einem aufgeladenen Kondensator ab?
Für 2 in Reihe geschaltete Kapazitäten gilt: 𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄ges
Mit: 𝑄 = 𝐶𝐶

𝐶0 𝑈C = 𝐶R 𝑈0 
Oder: Aufgrund Symmetrie:
𝑈C =
𝑈0
2
𝑈C =
= 400V
𝐶R
𝐶0
𝑈0 =
50µF
800V
100µF
= 400V
In einem Zweig sinkt die Nennkapazität eines Kondensators um 20%.
3.5)
Wie groß ist nun die neue Gesamtkapazität 𝐶ges des Netzwerks?
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𝑈0
𝐶0
𝑈C1 𝐶0
0.8𝐶0
𝐶0
𝑈C2 𝐶0
𝐶0
𝐶0
𝐶0
Neue Kapazität eines Kondensators: 𝐶1 = 0.8𝐶0
Neue Zweigkapazität im veränderten Zweig: 𝐶R,neu =
4
1
Neue Gesamtkapazität: 𝐶ges,neu = 𝐶0 + 3 ∙ 𝐶0 =
9
2
𝐶0 ∙𝐶1
𝐶0 +𝐶1
35
𝐶 =
18 0
=
0.8𝐶0
1.8𝐶0
4
= 𝐶0
194.4µF
9
3.6)
Der geänderte Zweig wird von 0V auf 800V aufgeladen. Wie sieht nun die
Spannungsaufteilung an den beiden Kondensatoren aus?
Gemäß Aufgabe 3.4:
𝑈C1 =
𝐶R,neu
𝐶0
4
𝐶0
4
𝑈0 = 9 𝑈0 = 800V = 355.5V
𝐶0
4
9
5
𝑈C2 = 𝑈0 − 𝑈C1 = 𝑈0 − 𝑈0 = 800V = 444.4V
9
9
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4. Netzwerkanalyse
Gegeben ist das folgende Netzwerk (a):
I1
R1
I2
A
A
Ri
I5
U
R5
I4
R2
R5
Uq
R4
R3
I3
B
B
a)
Die dargestellte Schaltung enthält eine
interne
Spannungsquelle
mit
der
Quellenspannung U = 60 V. Die Widerstände betragen R1 = 20 Ω, R2 = 30 Ω, R3 =
25 Ω, R4 = 35 Ω und R5 = 15 Ω.
b)
Wenden Sie für die nachfolgenden Netzwerkberechnungen die Methode der
Ersatzspannungsquelle hinsichtlich der Klemmen A und B an.
4.1)
Berechnen Sie die internen Netzwerkströme I1, I2, I3 und I4 bei abgetrenntem
Widerstand R5.
I1
R1
I1
A
I3
R1
I2
U
R2
U
I2
R3
R2
R3
I4
I4
R4
R4
I3
B
Schaltung bei offenen Klemmen umzeichnen erleichtert interne Netzwerkberechnung
𝐼3 = 𝐼4 = 𝐼1 − 𝐼2 = 1,5 𝐴 − 1 𝐴 = 0,5 𝐴
4.2)
𝑅234 =
𝐼1 =
𝑅2 ∙(𝑅3 +𝑅4 )
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
𝑈
𝑅1 +𝑅234
𝐼2 = 𝐼1 ∙
=
𝑅3 +𝑅4
=
30∙(25+35)
30+25+35
60 𝑉
= 1,5 𝐴
20 Ω+20 Ω
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
Ω = 20 Ω
= 1,5 𝐴 ∙
25+35
30+25+35
Ω =1A
Bestimmen Sie Kenngrößen der Ersatzspannungsquelle (Uq, Ri) und zeichnen Sie das
entsprechende Ersatzschaltungsbild. Berechnen Sie anschließend den Strom I5, wenn
die Schaltung mit dem R5 belastet wird.
I1
𝑈𝑞 = 𝑈 − 𝐼4 ∙ 𝑅4 = 60 𝑉 − 0,5 𝐴 ∙ 35 Ω = 42,5 V
𝑅123 =
𝑅𝑖 =
𝐼5 =
𝑅1 ∙𝑅2
𝑅1 +𝑅2
𝑅123 ∙𝑅4
𝑅123 +𝑅4
𝑈𝑞
𝑅𝑖 +𝑅5
=
+ 𝑅3 =
=
37∙35
37+35
42,5 𝑉
20∙30
20+30
Ω + 25 Ω = 37 Ω
Ω = 18 Ω
18 Ω+15 Ω
U
I2
I4
R2
R4
R3
U4
I3
B
Ersatzquellenspannung =
Leerlaufklemmenspannung
I1
A
R1
I2
R3
= 1,29 𝐴
UAB = Uq
Ersatzschaltungsbild siehe Abbildung rechts oben (b).
A
R1
U
R2
I4
R4
U4
I3
B
Innenwiderstand über kurzschließen
der internen Spannungsquellen
bestimmen
Anmerkung: Alternativer Rechengang auch über Kurzschlussstrom (etwas komplizierter, mit
Stern-Dreieck-Umwandlung)
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4.3)
Wie groß müsste der Lastwiderstand R5max der Schaltung gewählt werden, damit der
Ersatzspannungsquelle die maximale Leistung entnommen wird? Welche Leistungsanteile
werden in beiden Widerständen umgesetzt und wie hoch ist der Wirkungsgrad der
Ersatzspannungsquelle (Berechnung)?
𝑅5𝑚𝑚𝑚 = 𝑅𝑅 = 18 Ω
𝐼𝐿𝐿𝐿𝐿 =
𝑈𝑞
𝑅5𝑚𝑚𝑚 +𝑅𝑖
2
𝑃𝑅𝑅 = 𝑃𝑅5𝑚𝑚𝑚 = 𝐼𝐿𝐿𝐿𝐿
∙ 𝑅𝑅 = 1,182 ∙ 18 Ω = 25,06 W
= 1,18 𝐴
𝑃𝑀𝑀𝑀 = 𝑈𝑞 ∙ 𝐼𝐿𝐿𝐿𝐿 = 42,5 𝑉 ∙ 1,18 𝐴 = 50,15 W
𝜂 =1−
𝑃𝑅𝑅
𝑃𝑀𝑀𝑀
=1−
25,06 𝑊
50,15 𝑊
= 0,5
5. Magnetisches Feld
5.1) siehe Angabe
5.2)
m
𝑣 = 1 ; 𝑎 = 0,5 m
s
- Bis Spule eindringt: 0,25 s
- Bis Spule vollständig einfährt: 0,5s
- Bis Spule rausfährt (innerhalb B-Feld): 0,5s
- Bis Spule B-Feld verlässt: 0,5s
- Bis Spule B-Feld ganz verlässt: 0,5s
𝑈𝑖𝑖𝑖 = 𝐵 ∙ 𝑎 ⋅ 𝑣 = 100 mT ⋅ 0,5 m ⋅ 1
-
-
m
s
= 50 mV
Quadratische Spule hat 2 Teilstücke, welche Induktionsspannung liefern. Befindet sich die
Spule vollständig im B-Feld heben sich beide Spannungen an den Klemmen auf. Durch
beide Anteile sind positive wie negative Spannungen möglich.
Der einzelne Leiterstab kann nur eine Spannungsrichtung erzeugen.
5.3)
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|𝑈
𝐵²⋅𝑎2 ⋅𝑣
|
|𝐹| = |𝐼 ⋅ 𝑙 ⋅ 𝐵| = 𝑖𝑖𝑖 ⋅ 𝑎𝑎 =
𝑅
𝑅
𝐹𝑚𝑚𝑚 = 1,25 mN
 Kraft nicht in negative x- Richtung

5.4)
1
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ⋅ 𝑑𝑠⃗ = 𝐹1 ⋅ 𝑠1 + 𝐹2 ⋅ 𝑠2 = 1,25 mN ⋅ 1 m + ⋅ 1,25 mN ⋅ 2 m = 1,875 mJ
4
oder elektrisch:
𝑊 = 𝑅 ⋅ 𝐼12 ⋅ 𝑡1 + 𝑅 ⋅ 𝐼22 ⋅ 𝑡2 = 2Ω ⋅ (0,025 A)2 ⋅ 1 s + 2 Ω ⋅ (0,0125 A)2 ⋅ 2 s = 1,875 mJ
6. Zeitveränderliche Vorgänge in Netzwerken
6.1)
Äußere Masche: 𝑈0 = 𝑈𝑅 + 𝑈𝐶
(innere Masche muss nicht berücksichtigt werden)
𝑅 ⋅ 𝑖𝑐 +
𝑄̇(𝑡) +
𝑄
= 𝑈0
𝐶
𝑄(𝑡)
𝑅⋅𝐶
=
𝑈0
𝑅
𝑡
𝑄ℎ (𝑡) = −𝑄0 ⋅ 𝑒 − 𝑅𝑅
𝑄𝑠 (𝑡) = 𝐾
 𝑄(𝑡) = −𝑄0 ⋅ 𝑒
𝑡
mit 𝜏 = 𝑅 ⋅ 𝐶
𝑈
𝑄
→ 𝐾 = 𝑜 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐶 = 0 ⋅ 𝑅 = 𝑄0
− 𝑅⋅𝐶
𝑅
+ 𝑄0 = 𝑄0 �1 − 𝑒
𝑡
 𝑈(𝑡) = 𝑈0 (1 − 𝑒 − 𝑅⋅𝐶 )
6.2
𝜏 =3⋅𝑅⋅𝐶
𝑅
𝑡
− 𝑅⋅𝐶
�
mit Anfangsbedingung: 𝑄(𝑡 = 0) = 0
𝑡
 𝑈(𝑡) = 𝑈0 ⋅ 𝑒 − 3⋅𝑅⋅𝐶
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6.3)
6.4)
𝑈21
𝑈0
=
1
𝑗⋅𝜔⋅𝐶
1
+𝑅
𝑗⋅𝜔⋅𝐶
−
𝑅
𝑅+𝑅
=
1
1+𝑗⋅𝜔⋅𝑅⋅𝐶
−
1
2
1
= ⋅
2
1−𝑗⋅𝜔⋅𝑅⋅𝐶
1+𝑗⋅𝜔⋅𝑅⋅𝐶
6.5)
𝑍 =1+𝑗⋅𝜔⋅𝑅⋅𝐶
−𝜔⋅𝑅⋅𝐶
𝜑 = arctan �
� − arctan(𝜔 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐶) = −2arctan(𝜔 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐶)
1
𝜋
 𝜔 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐶 = tan � � = 1
 𝑓=
6.6)
�𝑈21 �
�𝑈0 �
1
4
1
für 𝜑 = −90°
2⋅𝜋⋅𝑅⋅𝐶
|1−𝑗⋅𝜔⋅𝑅⋅𝐶|
= ⋅ |1+𝑗⋅𝜔⋅𝑅⋅𝐶| =
2
1
2
⋅
�1+(𝜔⋅𝑅⋅𝐶)2
�1+(𝜔⋅𝑅⋅𝐶)2
=
1
2
Der Betrag des Verhältnisses hängt nicht von der Frequenz ab.
𝑈
𝑓 → 0 ⇒ 𝑈21 = 0
2
𝑓 → ∞ ⇒ 𝑈21 = −
𝑈0
2
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