Roter Faden Drehen und Rollen 3

Roter Faden Physik
Drehen und Rollen
3. Auflage
Mit Aufgaben und Lösungen
von
Dr. Ortwin Fromm
Evangelische Schule Frohnau, Berlin
 Copyright, Ortwin Fromm. [email protected]
http://www.ev-frohnau.de/Projekte-Physik,rotefaedenphysik.html
A) Der starre Körper und seine Bewegungsmöglichkeiten
1) Der starre Körper.
In der klassisch-mechanischen Modellvorstellung denkt man sich jeden realen Körper
zusammengesetzt aus Massepunkten (MPs). In deformierbaren festen Körpern, wie auch
in Flüssigkeiten und Gasen, sind die Massepunkte gegeneinander beweglich.
Beim starren Körper sind die relativen Lagen seiner N Massepunkte gegenseitig fixiert.
Der starre Körper stellt eine Idealisierung dar.
2) Freiheitsgrade der Bewegung eines frei im Raume beweglichen starren Körpers.
Ein freier Massepunkt kann sich in den drei unabhängigen Raumrichtungen x, y, z bewegen. Deshalb schreibt man ihm f =3 Freiheitsgrade zu. Ein System aus N frei beweglichen Massepunkten hat somit f = N ⋅ 3 Freiheitsgrade. Jetzt werden die MPs untereinander starr verkoppelt: Das liefert viele Nebenbedingungen (NBs), welche f mindern.
Zunächst meint man, alle gegenseitigen Verkopplungen abzählen zu müssen. Das wären
( N − 1) + ( N − 2) + ... + 2 + 1 = ( N − 1) ⋅ N / 2 NBs. Bei z.B. N = 10 MPs hätte man 45 NBs,
sodass die Anzahl der verbleibenden Freiheitsgrade f = 10 ⋅ 3 − 45 = −15 negativ
wäre, was Unsinn ist. Die NBs müssen also anders abgezählt werden: Zunächst verkoppelt man drei nicht auf einer Gerade liegende MPs und verbindet diese zu einem starren Dreieck. Die Seitenlängen dieses Grunddreieckes liefern 3 NBs. Jetzt werden die übrigen N-3 MPs Schritt für
Schritt an das Grunddreieck „montiert“, indem jeweils drei „Stangen“
zu den Ecken dieses Dreieckes gesetzt werden. Durch drei Stangen sitzt jeder weiteren
MP fest am Grunddreieck. Das liefert weitere ( N − 3) ⋅ 3 NBs. Zusammen hat man also
3 + ( N − 3) ⋅ 3 = N ⋅ 3 − 6 NBs. Somit besitzt jeder starre Körper, unabhängig von der Anzahl N seiner MPs stets genau f = N ⋅ 3 − ( N ⋅ 3 − 6) = 6 Freiheitsgrade. Diese sechs
verbleibenden Freiheitsgrade lassen sich in zwei Gruppen zu je dreien zusammenfassen.
3) Sinnvolle Gruppierung der verbleibenden sechs Freiheitsgrade.
Seien F1ä , F2ä , ... die äußeren Kräfte, welche auf die MPs wirken und Fi ,k die inneren
Kräfte, welche zwischen den MPs wirken. Betrachte nun die N Newton’schen Gleichungen für sämtliche MPs , addiere sie und gruppiere die Summanden um:
m1 a1 = F1, Ges = F1ä + F1,2 + F1,3 + F1,4 + .... + F1, N
m2 a2 = F2, Ges = F2ä + F2,1 + F2,3 + F2,4 + .... + F2, N
…
mN aN = FN , Ges = FNä + FN ,1 + FN ,2 + FN ,3 + .... + FN , N −1
m1 a1 + m2 a2 + ... + mN aN = F1ä + F2ä + .... + FNä + ( F1,2 + F2,1 ) + ( F1,3 + F3,1 ) + ( F1,4 + F4,1 ) + ....
Die inneren Kräfte heben sich aber paarweise auf, denn wegen des 3. Newton’schen
Axioms (actio = reactio) gilt z.B. F1,2 = − F2,1 usw.. Desweiteren gilt ai = vɺi = ɺɺ
xi ; ∀i , so
ii
dass m1 a1 + m2 a2 + ... + mN aN als ( m1 x1 + m2 x2 + ... + mN xN ) geschrieben werden kann.
ii
ä
ä
Mit F1ä + F2ä + .... + FNä = FGes
folgt daher ( m1 x1 + m2 x2 + ... + mN xN ) = FGes
.
Nun kennen wir die Schwerpunktkoordinate xS = ( m1 x1 + m2 x2 + ... + mN xN ) / mGes .
ä
Einsetzen ergibt .. mGes ⋅ ɺɺ
xS = FGes
.. (Schwerpunktsatz).
Der Schwerpunkt eines freien starren Körpers bewegt sich
wie ein einzelner Massepunkt. Seine Translationsbewegung nimmt somit drei Freiheitsgrade auf.
Damit sind nur noch drei verbleibende Freiheitsgrade
physikalisch zu deuten. – Sie entpuppen sich RotationFreiheitsgrade aller MPs um eine Schwerpunktachse.
2
S
Translation des
Schwerpunktes
4) Rotation, Zusammenfassung, Aussicht.
Die freie Bewegung eines starren Körpers ist die Überlagerung einer
Translation des Schwerpunktes (3FG) und einer Rotation um eine
Schwerpunktachse. Die räumliche Orientierung der Drehachse erfordert zwei Winkelangaben, eine weitere Angabe wird für die Drehgeschwindigkeit gebraucht. Die Drehbewegung bindet also auch 3FG’s.
Zwangsbedingungen ermöglichen auch Drehungen um andere Achsen.
Beim schlupffreien Rollen sind Rotation und Translation fest verkoppelt.
z
ω
ϑ
y
ϕ
x
B) Rotation um eine raumfeste Achse.
Die raumfeste Achse sei z , die Drehbewegung aller MPs erfolgt dann zur x y - Ebene.
1) Die Beschreibungsgrößen der Drehbewegung entsprechen denen der linearen Bewegung.
Lin. Bewegung
Drehbewegung
Ort
Winkel
x
ϕ
Geschw.
Winkelgeschw
v = xɺ
ω = ϕɺ
Beschleunigung
Winkelbeschleunigung
a = ɺɺ
x
α = ϕɺɺ
Ein MP der Masse m drehe sich mit starren Abstand r um den
m
Schwerpunkt S . Die Drehbewegung wird durch den veränderlichen
v(t )
Winkel ϕ (t ) beschrieben. ϕ wird im Bogenmaß (RAD) gemessen.
r
Die Winkelgeschwindigkeit ω ist dann die erste Ableitung von ϕ
bzgl. t .. ω = ϕɺ .. . Während der Drehung legt der MP das BogenS ϕ (t )
stück s = r ⋅ ϕ zurück. Daher folgt v = sɺ = r ⋅ ϕɺ bzw. . v = r ⋅ ω .. .
s
x
Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt ω = 2π / T bzw. . ω = 2π ⋅ f .. .
Ändert sich die Winkelgeschw., so ist die Winkelbeschleunigung . α = ϕɺɺ . ungleich null.
2) Trägheits- und Bewegungsgesetz der Drehbewegung, Drehmoment.
F1 r
2
Bei der linearen Bewegung verbleibt ein MP im Zustand seir1
F2
S
ner Bewegung, d.h. er bleibt in Ruhe oder behält seine Geschwindigkeit bei, wenn die resultierende Kraft null ist.
Analog fragt man sich, unter welchen Bedingungen rotierende MPs ihre Winkelposition
beibehalten, bzw. mit konstanter Winkelgeschwindigkeit weiter rotieren.
Die Antwort liefert das Hebelgesetz : Falls Kraftarm1 × Kraft1 + Kraftarm 2 × Kraft 2 = 0 ,
erfolgt keine Winkelbeschleunigung.
Das Produkt M = Kraftarm × Kraft heißt Drehmoment: . M = r ⋅ F ..
Das Trägheitsgesetz der Drehbewegung lautet daher: Ein Körper verbleibt im Zustand
seiner Rotation, d.h., er behält seinen Winkel bei, bzw. rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit weiter, wenn das resultierende Drehmoment M null ist.
3) Drehmoment M, Drehimpuls L und Trägheitsmoment J .
Der Ausdruck für das Drehmoment M = r ⋅ F wird nun mittels F = m ⋅ a umgeschrieben: M = r ⋅ F = r ⋅ m ⋅ a = r ⋅ m ⋅ vɺ = r ⋅ m ⋅ (rω )i = m r 2 ⋅ ωɺ = m r 2 ⋅ α .
Eine Analogiebetrachtung zeigt, dass der der Ausdruck (m r 2 ) der Masse m entspricht.
Kraft ( F )
= Masse (m) × Beschleunigung
a = ɺɺ
x
Drehmoment ( M ) =
(m r 2 )
× Winkelbeschleunigung α = ϕɺɺ
Der Ausdruck m r 2 bekommt einen eigenen Namen:
Trägheitsmoment: J = m r 2 . .
Für einen starren Körper mit vielen rotierende MPs gilt .. J = m1 r12 + m2 r22 + ... + mN rN2 ..
x lautet das Drehmomentgesetz somit .. M = J ⋅ ϕɺɺ .. .
Analog zu F = m ⋅ ɺɺ
3
Das Produkt Masse × Geschwindigkeit heißt Impuls p. Analog dazu wird auch
Trägheitsmoment × Winkelgeschwindigkeit zum Drehimpuls L zusammengefasst.
Analog zur Schreibweise F = pɺ lautet das Drehmomentgesetz damit .. M = Lɺ ..
Das Trägheitsgesetz der Drehbewegung verallgemeinert sich somit:
Ist das resultierende Drehmoment M gleich null, so bleibt der Drehimpuls L erhalten.
Ist das Drehmoment ungleich null, so ändert sich der Drehimpuls entsprechend.
4) Berechnung von Trägheitsmomenten spezieller Körper.
a) Rechteck mit gleichen Massen auf den Ecken.
Die Abstandsquadrate vom Drehpunkt S zu den Massen m betragen jeweils a 2 / 4 + b 2 / 4 . Damit ergibt
sich J = 4 m ⋅ ( a / 4 + b / 4 ) = m ⋅ ( a + b
2
2
2
2
m
b
a
m
)
b) Homogener Hohlzylinder.
Die Summation wird nun durch Integration vollzogen:
Im variablen Abstand r, mit r1 ≤ r ≤ r2 , befindet das
Volumen ∆V ≈ h ⋅ 2π r ⋅ ∆r . Dieses ist gleichmäßig mit
Masse der Dichte ρ belegt. Damit rotiert die Masse
∆m ≈ ρ ⋅ h ⋅ 2π r ⋅ ∆r im Abstand r um die Achse.
Limes ∆r → 0 ersetzt Summation durch Integration:
r2
r2
r2
J = ∫ r ⋅ ( dm ) = ∫ r ⋅ ( ρ ⋅ h ⋅ 2π r ⋅ dr ) = ρ ⋅ h ⋅ 2π ∫ r 3 dr
2
2
r1
r1
m
S
m
r2
r1
h
r1
r2
1
1 
= ρ ⋅ h ⋅ 2π  r 4  = ρ ⋅ h ⋅ 2π ( r24 − r14 ) =
 4  r1 4
1
ρ ⋅ h ⋅ π ( r22 − r12 )( r22 + r12 ) . Die Masse ergibt sich aus m = ρ ⋅ Grundfläche × Höhe ,
2
m
m = ρ ⋅ (π r22 − π r12 ) ⋅ h . Einsetzen liefert die allgemeine Formel .. J = ( r22 + r12 ) ..
2
m
1
c) Vollzylinder: r2 = R ; r1 = 0 ⇒ J = R 2
bzw. .. J voll = m R 2 ..
2
2
d) Kugel mit Radius R und Dichte ρ :
Das Drehmoment der Kugel ergibt sich aus der Summe der
r
R
Drehmomente seiner einzelnen Vollzylinderscheiben.
x
Die Summation wird wieder durch Integration vollzogen:
dJ
R
R
R
1
1
ρ R 2 2
2
2
J = ∫ dJ = ∫ r dm = ∫ r ρ ⋅ dV = ∫ r ⋅ (r π ) ⋅ dx
2 −R
2 −R
2 −R
−R
dx
=
=
ρπ
2
R
∫
−R
ρπ
2
R
∫ (R
2
2
− x 2 ) dx =
−R
R
ρπ
2
R
∫ (R
−R
4
− 2 R 2 x 2 + x 4 ) dx
8
2
1 
ρπ  4
2 2
1
ρπ 16 5
3
5
R 4 ⋅ x − R 2 x3 + x5  =
R .
⋅
 R ⋅ 2R − R ⋅ 2R + ⋅ 2R  =

2 
3
5 −R
2 
3
5
 2 15
4
2
Die Kugelmasse beträgt m = ρ ⋅ V = ρ ⋅ π R 3 . Damit folgt .. J Kugel = m R 2 .. .
3
5
=
4
ρπ 
r 4 dx =
5) Überblick: Trägheitsmomente
Rollkörper
m
m
m
r
r
Reibungsfreies
Gleiten ohne
Drehung
m
r
r
r/2
Typ
Zylinderhaut
J
J = 1⋅ m R 2
k =
1
Halbzylinder
Vollzylinder
Kugel
Gleiten
5
J = ⋅ m R2
8
5 / 8 = 0,625
1
J = ⋅ m R2
2
1 / 2 = 0,5
2
J = ⋅ m R2
5
2 / 5 = 0,4
J =0
0
Die Trägheitsmomente der untersuchten Körper haben alle die Form . J = k ⋅ m R 2 .
6) Steinerscher Satz: Verschiebung der Drehachse
Einfachheitshalber betrachten wir von einem starren
Körper nur drei MPs. Diese rotieren zunächst um eine
Schwerpunktachse, bzgl. derer das Trägheitsmoment
J S = m1 ⋅ r1,2S + m 2 ⋅ r2,2 S + m 3 ⋅ r3,2 S lautet. Nun wird die
Drehachse durch äußeren Zwang parallel verschoben,
sodass sie durch A verläuft. Bzgl. der neuen Achse
gilt dann J A = m1 ⋅ r1,2 A + m 2 ⋅ r2,2 A + m 3 ⋅ r3,2 A .
A
m2
d
S
m3
r1,S
r1, A
m1
Den Zusammenhang zwischen J A und J S berechnen wir mit Hilfe der Vektorrechnung.
Es gilt r1, A = r1, S − d , r2, A = r2, S − d und r3, A = r3, S − d . Dies wird eingesetzt:
(
= m ⋅(r
J A = m1 ⋅ r1, S − d
JA
1
2
1, S
)
2
)
)
2
(
+ m 3 ⋅ r3, S − d
(
)
2
)
(
− 2r1, S ⋅ d + d 2 + m 2 ⋅ r2,2 S − 2r2, S ⋅ d + d 2 + m 3 ⋅ r3,2 S − 2r3,S ⋅ d + d 2
J A = ( m1 ⋅ r + m 2 ⋅ r
2
1, S
(
+ m 2 ⋅ r2, S − d
2
2, S
2
3, S
+ m3 ⋅ r
) − 2d ⋅ ( m r
1 1, S
+ m 2 r2, S + m 3 r3, S ) + d
2
(m
1
)
+ m2 + m3 ) .
Die erste Klammer ist J S . Die zweite Klammer ist null, denn der Term berechnet den
Schwerpunkt vom Schwerpunkt aus. In der dritten Klammer steht die Gesamtmasse.
Ergebnis: .. J A = J S + d 2 ⋅ m .. . Dabei ist m = ∑ mk die Gesamtmasse des Körpers.
Wichtig wird der Steinersche Satz beim Rollen eines Körpers: Rollen ist Drehen um die
zur Körperachse parallele Abrollachse durch den Berührpunkt auf der Unterlage. (s. D2)
Kinetische Energie der Rotationsbewegung.
m2
Alle MPs rotieren mit dergleichen Winkelgeschwindigkeit ω .
r2
Für die nebenstehende Skizze ergibt sich somit
v2
1
1
1
1
1
1
Wrot = m1v12 + m2 v 22 + m3v 23 = m1 (r1ω ) 2 + m2 (r2ω ) 2 + m3 (r3ω )2
2
2
2
2
2
2
S
bzw. Wrot =
1
1
1
m1 r12 + m2 r22 + m3 r32 ) ω 2 = ⋅ ∑ mk rk2 ⋅ ω 2 = J ω 2 .
(
2
2
2
Die Klammer ist gerade das Gesamtträgheitsmoment, also : .. Wrot =
v1
r1
r3
v3
m1
m3
1
J ω 2 .. .
2
5
7) Zusammenfassender Vergleich von Translations- und Rotationsbewegung.
Translation
x(t )
Strecke
Geschwindigkeit
v(t ) =
Beschleunigung
Masse
Impuls
Kraft
Translationsenergie
Rotation
x = r ⋅ϕ
v = r ⋅ω
a = r ⋅α
sɺ(t )
a (t ) = vɺ(t ) = ɺɺ
s (t )
m
p = mv
F = pɺ
bzw. F = m ⋅ a
1
WTrans = m v 2
2
Winkel
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Trägheitsmoment
Drehimpuls
Kinetische
Energie
ϕ (t )
ω (t ) = ϕɺ (t )
α (t ) = ωɺ (t ) = ϕɺɺ(t )
J = r12 m1 + ...
L= Jω
Drehmoment
M = Lɺ
bzw. M = J ⋅ α
Rotationsenergie
Wrot =
1
J ω2
2
C) Räumliche Drehung (Kreiselbewegung)
1) Drehimpuls als vektorielle Größe.
Die Richtung des Drehimpulsvektors ergibt sich aus der
„Korkenzieher-Regel“ der rechten Hand: Vier Finger folgen
der Drehbewegung, der Daumen liefert die L -Richtung.
Man erhält die L -Richtung auch mittels des Kreuzprodukt
der Vektorrechnung : .. L = m ⋅ r × v .. .
L
v
r
m
Daumen
Mittelfinger ≙ L
≙r
2) Kreuzprodukt der Vektorrechnung.
Die Richtungen im Kreuzprodukt c = a × b ergeben aus der
Drei-Finger-Regel der rechten Hand:
Daumen ≙ a ; Zeigefinger ≙ b . Der Mittelfinger liefert c .
3) Drehmoment als vektorielle Größe.
Der Drehmomentvektor ergibt sich ebenfalls aus einem
Kreuzprodukt .. M = r × F . Also:
Daumen ≙ r ; Zeigefinger ≙ F . ⇒ Mittelfinger ≙ M .
In Abb. 1) wirkt die Kraft F längs der Kreiseldrehung.
Deshalb ist M parallel zu L . Die Richtung von L bleibt
erhalten, nur der Betrag nimmt zu. ⇒ Das Rad dreht sich
schneller, die Drehachse bleibt erhalten.
In Abb. 2) wirkt die Kraft F nach unten. Dadurch zeigt M in
Laufrichtung nach schräg hinten. ∆L zeigt also auch nach
schräg hinten, sodass der Drehimpuls L entsprechend kippt.
Der Kreisel weicht also rechtwinklig zur wirkenden Kraft aus.
In Abb. 3) greift die Kraft F an der Achse an und wirkt nach
schräg vorne. M zeigt dann rechtwinklig dazu nach schräg
hinten. Dadurch verändert sich L ebenfalls in diese Richtung,
sodass Achse und Drehebene wieder kippen. Der Kreisel
weicht also wieder rechtwinklig zur wirkenden Kraft aus.
6
Zeigefinger
≙ v
∆L ∼ M
L
M
F
r
m
Abb. 1)
∆L
L
M
r
m
Abb. 2)
F
M
r
F
L
Abb. 3)
m
D) Schlupffreies Rollen.
Aus Sicht
vS
S
Beim schlupffreien Rollen ruht der jeweilige Berührpunkt B
von S
ω
bewegt
sich
auf dem Untergrund. Der Schwerpunkt bewege sich mit der
B mit vS
Geschwindigkeit vS nach rechts. Aus Sicht von S bewegt sich nach links.
B
der Punkt B dann mit der Geschwindigkeit vS nach links.
Daher stimmen die Drehgeschwindigkeit v = r ⋅ ω von B und die Schwerpunktsgeschwindigkeit vS überein: .. vS = r ⋅ ω ..
Gleitet das Rad durch Schlupf beim Bremsen oder Anfahren, so gilt diese Gleichung nicht.
Die gesamte kinetische Energie der Rollbewegung erhält man ….
1) … entweder durch Addition von Translations- und Rotationsenergie.
WRoll ist dann also die Summe von zwei kinetischen Energien: WRoll = WTrans + Wrot
Für die Drehmomente der untersuchten Rollkörper galt J = k ⋅ m r 2 , s. B5). Daraus folgt
1
1
1
1
1
m
WRoll = m v 2S + J S ω 2 = m v 2S + k ⋅ m r 2ω 2 = m ⋅ ( v 2S + k ⋅ v 2S ) = ( 1 + k ) ⋅ v 2S .
2
2
2
2
2
2
Also . WRoll =
1
 m ⋅ ( 1 + k )  ⋅ v 2S . . Der Ausdruck m ⋅ ( 1 + k ) heißt „Rollersatzmasse“.
2
2) … oder mit Hilfe des Satzes von Steiner:
Man kann die Rollbewegung auch als einfache Drehung
ohne Translation interpretieren. Die Drehung erfolgt dann
für alle Körperpunkte zu jedem Zeitpunkt um den jeweiligen Berührpunkt B. Das Trägheitsmoment J B um die Achse durch B erhält man aus dem Trägheitsmoment J S um
vS
S
ω
B
die Achse durch S mit Hilfe des Satzes von Steiner: J B = J S + r 2 ⋅ m .
Dieses Trägheitsmoment in die Formel der Rotationsenergie einsetzen:
1
1
1
1
WRoll = Wrot , B = J B ω 2 = ( J S + r 2 ⋅ m ) ω 2 = ( k ⋅ m r 2 + r 2 ⋅ m ) ω 2 = m ( k + 1 ) r 2ω 2
2
2
2
2
Beide Betrachtungsweisen liefern also dasselbe Ergebnis für WRoll .
v 2S
m
3) Abrollen eines Rollkörpers auf der schiefen Ebene.
S
r
Es gibt zwei Arten, das Abrollen zu betrachten (siehe Aufg. 4) Hier soll die Drehbewegung um den
M B
jeweiligen Berührpunkt B und der Satz von Steiner
β
verwendet werden. Der Hebelarm r (Daumen, rechFg
β
te Hand) zeigt vom Drehpunkt B zum Schwerpunkt S
auf der Körperachse. (Daumen in Richtung der r -Komponente ⊥ zu Fg halten).
In S greift die Kraft Fg (Zeigerfinger) an. Der Mittelfinger liefert dann die Richtung des
Drehmomentes M ; es zeigt in die Papierebene, sodass die Rechte-Korkenzieher-Regel
den negativen Drehsinn liefert. Während des Abrollens bleiben die Drehachse und M
ɺ
parallel, sodass die Betragsgleichung von M = r × Fg = L reicht: r ⋅ mg ⋅ sin β = J B ⋅ ϕɺɺ .
Gesucht ist die Translationsbeschleunigung a längs der schiefen Ebene. Einsetzen von
ϕɺɺ = a / r und Steiner-Satz J B = J S + r 2 m = k ⋅ m r 2 + r 2 m = m ⋅ (k + 1) r 2 liefert die kong sin β
.
stante Translationsbeschleunigung längs der schiefen Ebene a =
k +1
7
E) Aufgaben
1) Die Drehachse einer symmetrischen Hantel verlaufe
zunächst senkrecht zur Hantelachse durch M.
Bestätige den Satz von Steiner am Beispiel einer parallelen Drehachsenverschiebung um d . ( Siehe Abb.)
m
r+d
r
d
m
r-d
M P
r
2) An den vier Ecken eines Rechteckes mit
A
a = 40 cm und b = 15 cm befindet sich jeweils eine Masse von m = 300 g .
a) Berechne das Trägheitsmoment J S um
S
b
a
eine Achse durch den Rechteckmittelpunkt (Schwerpunkt) S, die senkrecht zur Recheckfläche steht.
b) Die Seite a wird nun im Verhältnis 3 : 1 und die Seite b im Verhältnis 2 : 1 geteilt, so
das man den Punkt A erhält.
c) Berechne das Trägheitsmoment J A um eine zur alten Achse parallele Achse durch A.
( )
Bestätige durch Vergleich von J A und J S den Satz von Steiner J A = J S + mGes ⋅ SA
2
.
3) Vergleiche den Drehimpuls der Sonne (als homogener Kugel) mit dem Gesamtdrehimpuls
der neun Planeten (als Massepunkte). Entnimm Masse, Radius um Eigenumlaufzeit der
Sonne, sowie die Massen und Bahnradien der Planeten den einschlägigen Tabellenwerken.
4) Ein Hohlzylinder hat den Außenradius r und den Innenradius x ⋅ r mit 0 ≤ x < 1 .
Beweise: Für das Trägheitsmoment J gilt : J = ½ mGes r 2 ⋅ (1 + x 2 )
Der Hohlzylinder rollt mit der Geschwindigkeit v auf einer waagerechten Tischplatte.
Stelle eine Formeln auf für die
a) Translationsenergie.
r
b) Rotationsenergie.
c) gesamte kinetische Energie Ekin , Roll .
x⋅r
d) Lässt sich ein Hohlzylinder so formen, dass er bei gleicher Masse und gleichem Radius das Trägheitsmoment der Kugel hat?
5) Ein Rollkörper mit Masse m , Radius
r und Trägheitsmoment J = k ⋅ m r 2
(für die Kugel gilt z.B. k = 2 / 5 ) soll
in einer Schleifenbahn mit dem Radius R ein Looping vollführen.
Von welcher Höhe h1 + h 2 muss
man den Körper mindestens starten,
damit er gerade den, die, das Looping schafft?
Berechne für
m = 150 g ; r = 12 mm ; R = 35 cm
I
h2
III
II
h1
6) Längs einer schiefen Ebene der Länge S und des Neigungswinkels β
ω
R-r
( α ist hier Win-
kelbesch.) rollt ein Rollkörper mit Masse m , Radius r und Trägheitsmoment J = k ⋅ m r 2 .
a) Stelle die Gesamtenergie des rollenden Körpers auf und leite den Ausdruck nach der
Zeit ab. Leite so einen Ausdruck für die Bahnbeschleunigung a her.
b) Wie entwickeln sich daher die Geschwindigkeit v und der Ort s als Funktion der Zeit t ?
c) Wann trifft der Körper am Ende der schiefen Ebene ein?
8
7) Ein Maxwellsches Rad bestehe aus einem scheibenförmigen Vollzylinder mit Radius rSch und Masse mSch .
ω
Die beiden angeklebten Achsteile haben den Radius rA
und zusammen die Masse mA . Scheibe und Achse drehen sich zwangsläufig mit dem selben ω .
Auf den Achsen sind Fäden aufgewickelt. Es gelte rSch = 18cm ; mSch = 160 g ; rA = 1,5cm
mA = 24 g . Nach welcher Zeit τ sinkt das Rad aus der Ruhe um H = 0,8 m ?
8) Eine Kupplungsscheibe mit dem Trägheitsmoment J1 rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 . Es wird eine zweite Scheibe mit dem Trägheitsmoment J 2 angekuppelt, die zuvor
in Ruhe war. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit rotieren die beiden Scheiben nach der
Ankupplung? Nach welcher Zeit T sinkt das Rad um H = 0,8 m
9) Ein Vollzylinder dreht mit der Drehzahl n (Maßeinh: Umdrehungen pro Sekunde, also: s −1 )
a) Wie groß ist der Drehimpuls L?
b) Es wirke ein konstantes Drehmoment M . Wann verdoppelt sich die Drehzahl?
c) Setze n = 20 s −1 ; m = 500 g ; r = 25cm ; M = 20 N ⋅ m ,
10) Das Vorderrad eines Radfahrers, hat einen Kippwinkel α = 10° . Um nicht umzukippen,
muss der Fahrer eine Kurve fahren. Welcher Radius ist erforderlich, wenn die Geschwindigkeit v = 12 km / h beträgt?
11) Ein Schnellzug durchfährt mit v = 180 km / h eine Kurve vom Radius r = 3200 m . Wie
groß muss die Überhöhung Ü (in mm ) der äußeren Schiene (Spurweite w = 1435 mm )
sein, damit beide Schienen gleich stark belastet werden?
12) Unter welchem Winkel darf eine Garnrolle höchstens gezogen werden, um nicht nach
hinten zu rollen? (Außendurchmesser 2r1 = 6 cm , Garndurchmesser 2r2 = 5,8 cm )
Lösungen
1) J M = m ⋅ r 2 + m ⋅ r 2 = 2m ⋅ r 2 .
J P = m ⋅ (r + d )2 + m ⋅ (r − d )2 = m ⋅ (r 2 + 2rd + d 2 ) + m ⋅ (r 2 − 2rd + d 2 ) = 2m ⋅ r 2 + 2m ⋅ d 2
Steiner: J P = J M + (m + m) ⋅ d 2 = 2m ⋅ r 2 + 2m ⋅ d 2
2) Rechteck
JM
a
b 
+ 
4
 4
2
2
a) J S = 4 ⋅ m ⋅ 
a
2
b
  b 2
a
 a2
b2 
2
 3a 
2
2
 2b  
5
b) J A = 2 ⋅ m ⋅    +   +   +    = ⋅ m ⋅ ( 9 a 2 + 8 b 2 )
  3   4   4   3   36


2
2
  a 2
2
b 
5
b) SA =   +   ; J S + m ⋅ ( SA ) = 4m ⋅  +  + 4 m    +    = m ⋅ ( 9 a 2 + 8 b 2 )
  4   6   36
4
 4 6
 4


3) TS ≈ 25, 4 ⋅ 24 ⋅ 3600 s ; M S ≈ 2 ⋅1030 kg ; rS ≈ 7 ⋅108 m ⇒ LS = 2 / 5 ⋅ M S ⋅ RS2 ⋅ 2π / TS ≈ 1,1⋅1042 kg m 2 / s
Planeten: Li = J i ⋅ ωi = M i ⋅ ri 2 ⋅
2π
4π 2 γ M S
; Ti 2 = 4π 2 r 3 / γ M S ⇒ L2i = M i2 Ri4 ⋅
= γ M i2 M S Ri
2
3
Ti
4π Ri
L
kg m 2
⇒ Pl ≈ 28 .
s
LS
i =1
Da die Dichte der Sonne zum Rand hin stark abfällt, ist JS kleiner als berechnet. Tatsächlich
steckt ≈ 60 mal mehr Drehimpuls in der Planetenscheibe als in der Sonneneigendrehung.
⇒ Li = γ M S ⋅ M i ⋅ Ri . Einsetzen gem. Tab.:
9
∑ Li = 3,15 ⋅1043
9
R
4) m =
∫
ρ h 2π r dr = R 2 ρ h π (1 − x 2 ) ; J =
xR
∫r
2
⋅ ρ h 2π r dr =
xR
2
⋅ ρ h 2π r dr =
1
m v2
2
1 4
R ρ h π (1 + x 2 )(1 − x 2 )
2
1
m (1 + x 2 ) R 2
2
1
1 1
1
J ω 2 = ⋅ m (1 + x 2 ) R 2 ω 2 = m (1 + x 2 ) v 2
2
2 2
4
1
1
1
= m v 2 + m (1 + x 2 ) v 2 = m ⋅ ( 3 + x 2 ) v 2
2
4
4
a) ETrans =
c) Ekin
∫r
xR
R
J=
R
b) Erot =
5) Wenn der Körper im Punkt II mit v = 0 gestartet würde, so hätte er in III wieder die Geschwindigkeit null und würde dort senkrecht runter fallen. Er bleibt in III nur oben, wenn
m vIII2
sich dort Radialkraft FR =
und Schwerkraft FG = m g aufheben. In III ist daher die
R−r
Geschwindigkeit v III = g ( R − r ) erforderlich, was der kinetische Energie von
m
m
(1 + k ) vIII2 = (1 + k ) ⋅ g ( R − r ) entspricht. Diese Energie muss zwischen I und II
2
2
gewonnen werden: Daraus ergibt sich die Forderung
m
1
m g h 2 = (1 + k ) ⋅ g ( R − r ) ⇒ h 2 = (1 + k ) ⋅ ( R − r ) .
2
2
Ekin =
Dies ins Verhältnis zur Höhe h1 = 2 ⋅ ( R − r ) gesetzt ergibt
h2
h1
=
1
(1 + k ) . Für die Voll4
2
ergibt sich, dass h 2 ein 7 / 20 = 0, 35 ( also 35%) von h1 sein muss.
5
1
6) Für die kinetische Energie unserer Rollkörper gilt nach B5) Ekin , Roll = ⋅ m ⋅ (1 + k ) ⋅ v 2 .
2
Anfangs beträgt die potentielle Energie
E pot , Start = m g H . Auf der Höhe h gilt
s
E pot = m g ( H − x) = m g ( H − s sin β ) ,
x
H
v
wobei s die auf der schiefen Ebene zuS
h
m
rückgelegte Strecke ist. Wir haben also
β
m
EGes = ⋅ (1 + k ) v 2 + m g ( H − s sin β ) .
2
kugel mit k =
a) Wegen des Energieerhaltungssatzes ist EGes konstant und die Ableitung somit null.
Die Ableitung von s ist gleich der Geschwindigkeit v längs der schiefen Ebene: sɺ = v .
2
Beachtet man die Kettenregel der Diff-rechnung: f ( x) = [u ( x)] ⇒ f ′( x) = 2 ⋅ u ⋅ u ′ ,
2
so folgt hier entsprechend, dass f (t ) = [ v(t )] die Ableitung fɺ (t ) = 2 ⋅ v ⋅ vɺ hat.
m
⋅ (1 + k ) v 2 + m g H − m g s sin β die
2
m
g ⋅ sin β
Gleichung 0 = ⋅ (1 + k ) 2 v ⋅ vɺ − m g v sin β . Umstellen ergibt vɺ = a =
.
2
1+ k
Das ist ein konstanter Wert für die Beschleunigung längs der schiefen Ebene.
1
b) Bei konstanter Beschleunigung gelten die Formeln v(t ) = a ⋅ t und s (t ) = a t 2 .
2
Damit liefert die Ableitung von EGes =
10
c) Auflösen der letzten Gleichung nach t liefert t =
2s
=
a
2 s ⋅ (1 + k )
.
g ⋅ sin β
Setzt man jetzt für s die Gesamtstrecke S ein, so folgt t ( S ) =
2 S ⋅ (1 + k )
.
g ⋅ sin β
7) Für das Trägheitsmoment um die Mittelachse gilt J = J A + J S . Die Doppelbewegung
„ Drehung um die Mittelachse + Translation “ lässt sich als eine Drehung um den Abrollpunkt (= Berührpunkt des Fadens) auf dem Achsenrand interpretieren. Nach Steiner gilt
J B = J A + J S + (mA + mS ) ⋅ rA2 . Die Kraft greift nach wie vor am Schwerpunkt an, sodass
Kraft FG = ( mA + mS ) ⋅ g und Hebelarm rA senkrecht aufeinander stehen. Aus M = J B ⋅ ϕɺɺ
und a = ϕɺɺ ⋅ rA wird dann a =
F ⋅r
( mA + mS ) ⋅ g ⋅ rA2
M
⋅ rA = G A ⋅ rA =
.
JB
JB
½ ⋅ ( mA rA2 + mS rS2 ) + (mA + mS ) ⋅ rA2
Einsetzen ergibt die konstante Beschleunigung a = 0,154 m / s 2 .
1
Aus H = a τ 2 folgt dann τ = 2 H / a = 3, 22 s .
2
Umgekehrt kann man aus H, τ , mGes , und rA auf J schließen.
8) Es gilt der Drehimpulserhaltungssatz:
Lvorher = Lnachher mit Lvorher = J1 ⋅ ω1 + J 2 ⋅ 0 s −1 und
Lnachher = J1 ⋅ ω nachher + J 2 ⋅ ω nachher . Daraus folgt ω nachher =
J1
⋅ ω1
J1 + J 2
9) Es gilt ω = 2π ⋅ n und damit L = J ⋅ ω = J ⋅ 2π ⋅ n . Das konstante Drehmoment vergrößert D
den Drehimpuls linear, so wie eine konstante Kraft den Impuls p = m ⋅ v ( bzw. die Ge∆L
schwindigkeit v linear vergrößert ). Daher gilt M =
. Bei Verdoppelung ist ∆ L = L ,
∆t
L J ⋅ 2π
woraus ∆t =
=
⋅ n folgt.
M
M
M
nktbewegung
Schwerpu
G
htung
Fahrric
10)
S
S
FZ
r
MZ
r
α
FG
R
A
Eine Drehbewegung bestimmt sich aus dem wirksamen Drehmoment.
11
Ein Drehmoment M ist eine vektorielle Größe, es ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von
r und F zu M = r × F . Aufgrund dessen steht M senkrecht auf r und F , sein Betrag
ergibt sich aus M = r ⋅ F ⋅ sin α und seine Richtung erhält man aus der „Drei-FingerRegel“ der Rechten Hand:
r ≙ Daumen, F ≙ Zeigefinger, M ≙ Mittelfinger.
Wir betrachten die Kurvenfahrt zu einem „eingefrorenen“ Zeitpunkt.
Die Drehung erfolgt um den Auflagepunkt A des Rades. Um diesen Punkt dreht sich der
gemeinsame Schwerpunkt S von Rad und Fahrer entweder nach innen oder außen.
Der Hebelarm r zeigt von A nach S, es gilt also r = AS . Am Punkte S greifen zwei Kräfte
an, 1) die Schwerkraft F G = mg und 2) die Zentrifugalkraft FZ = m v 2 / R . Damit ergeben
sich die beiden Drehmomente M G und M Z . Mit der Drei-Finger-Regel macht man sich
klar, dass M G tangential in Fahrrichtung und M Z tangential gegen die Fahrrichtung zeigt.
Die beiden Drehmomente müssen sich aufheben, damit der Schwerpunkt weder zu Boden
stürzt, noch „aus der Kurve fliegt“. Für die Beträge gilt M G = r ⋅ mg ⋅ sin α und
mv2
mv2
MZ = r ⋅
⋅ sin (90° − α ) = r ⋅
⋅ cos α . Gleichsetzen ergibt .. v 2 = R ⋅ g ⋅ tan α ..
R
R
Nur wenn dieser Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit v , Kurvenradius R und Neigungswinkel α erfüllt ist, fährt das Rad sicher durch die Kurve. Rechnung R = 6, 4 m .
m v2
und FG = m ⋅ g .
r
Da FN ⊥ auf der Unterlage sein muss, ergibt sich tan α = FR / FG
11)Für Radialkraft und Schwerkraft gilt FR =
= v 2 /(r ⋅ g ) . Wir gewinnen hier also auf einfache Weise dasselbe
Ergebnis wie bei Aufgabe 8).
Umrechnung der Geschwindigkeit: v = 50 m / s ;
α = 4, 55° ; Ü = 114 mm
S
FR
FN α FG
α
Ü
12) Die Drehung erfolgt um
F
ω
ω
den Auflagepunkt. In der
linken Abb. zeigt M = r × F
Garn
Garn
ins Blatt, sodass Rechtsdrev
v
F
β
hung erfolgt und der Zug ein
R2 R
Wegrollen bewirkt. Der Faβ
1
den wickelt sich dabei ab.
In der rechten Abb. weist
r
M = r × F aus dem Blatt
M
r M
heraus, sodass eine Linksdrehung erfolgt und der Zug am
Faden ein Hinrollen zum Ziehenden bewirkt. Der Faden wickelt sich trotz des Zuges auf.
Der Umschlagwinkel in der Zugsteilheit tritt ein, wenn die Verlängerung der Kraftlinien
durch den Drehpunkt läuft. Dann liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor mit Hypotenuse R1
und der Kathete R 2 zum Mittelpunkt. Für den Grenzwinkel gilt β = arccos( R2 / R1 ) = 14,8°
12