Grundlagen - Medizinische Fakultät Mannheim

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Computer Assisted Clinical Medicine
Dr. Friedrich Wetterling
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Hochschule Mannheim
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Ionenleitung
Bildgebende System in der Medizin
Aus
‘Lehrbuch der Physiologie‘
von Rainer Klinke und
Grundlagen
Stefan Silbernagl, 1939
Aus: Numerische Berechnung und Analyse biomagnetischer Felder, Habilitationsschrift 2002, Prof. Dr. Jens Haueisen, Institut für Biomedizinische Technik Universität Ilmenau
Dr. Friedrich Wetterling
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Faculty of Medicine Mannheim
University of Heidelberg
Theodor-Kutzer-Ufer 1-3
D-68167 Mannheim, Germany
[email protected]
www.ma.uni-heidelberg.de/inst/cbtm/ckm/
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Übersicht
1)
Elektrophysiologie (K/Na-Pumpe)
2)
Atomaufbau
3)
Welle-Teilchen-Dualismus
4)
Maxwell Gleichungen
5)
E-Technik (Resonanzschwingkreis, Bio-Savart, Induktionsgesetz)
6)
Fouriertransformation
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Ruhepotential an der Zellmembran
Aus
‘Lehrbuch der Physiologie‘
von Rainer Klinke und
Stefan Silbernagl, 1939
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Reizleitung
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Das Aktionspotential
Aus
‘Lehrbuch der Physiologie‘
aus ‘Der Mensch gesund und krank II‘
von Rainer Klinke und
von Fritz Kahn, 1939
Stefan Silbernagl, 1939
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Bohrsches Atommodel
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Elektronen bewegen sich auf bestimmten Kreisbahnen, die einem bestimmten Energieniveau
entsprechen. Solange sie sich auf einer Bahn bewegen, bleibt ihre Energie
konstant. Ansonsten
gelten die Gesetze der klassischen Mechanik (z.B. Anziehung durch den Kern).
Elektromagnetisches Spektrum
Aus: Vorlesungsunterlagen „Bildgebende Verfahren in der Medizin“, Jürgen Braun, Charite Berlin
λ=c/f
Die Bewegung der Elektronen erfolgt strahlungslos. Beim Übergang des Elektrons von einem
Energieniveau E1 zu einem niedrigeren Niveau E2, wird ein Photon mit der Energie E=hf=E1-E2
freigesetzt.
Der Bahndrehimpuls der Elektronen darf nur diskrete (gequantelte) Werte annehmen:
mvr=fh/2π; h=6,62 10-34Js
E = hf
Sichtbares Spektrum: λ = 400 – 700 nm, f = 7,5 – 4 ⋅ 1014 Hz
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Physical Basics
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Komponenten elektromagnetischer Wellen
Aus: Vorlesungsunterlagen „Bildgebende Verfahren in der Medizin“, Jürgen Braun, Charite Berlin
Definiert als zwei Vektoren:
Begründet durch:
• Electric Field
• Elektrische Ladung
v v
E( r , t )
v v
• Magnetic Field H( r , t )
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Welle-Teilchen-Dualismus
Wellen
ψ=I0
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Photon (γ)
v v
E( r , t )
v v
• Magnetisches Feld H( r , t )
v v
• Wellenvektor
k( r , t )
T
v
E
• Elektrisches Feld
t
v
H
v
k
E = hf
f = 1/T
T: Periodenzeit
Wellenausbreitung im Raum
Lichtquant
⋅e2πi⋅t/T
I0
• Electrische Ströme
c = λ⋅f
E: Energie
h: Plack. Konstante
f: Frequenz
c = 3⋅108 m/s (Lichgeschw.y)
f: Frequenz
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Welle: ψ = ψ0⋅ei(ωt+ϕ0)⋅ei(kr)
Zeitliche Periodizität
Wellenlänge λ
(Amplitudenoszillation)
ω=
dϕ 2π
=
dt
T
Wellenzahl
k=
vph
ϕ
Kreisfrequenz:
(Geschwindigkeit in Radianten pro Sekunde)
Periode T
ϕ : 360° =ˆ 2π
Frequenz
f =
3. Ein magnetisches Wechselfeld erzeugt ein elektrisches Feld (Induktionsgesetz)
v
v
∂B
∇ ×E = −
∂t
v v
∂Φ B , S
∫ E ⋅ dl = − ∂t
∂S
2π
λ
1
T
4. Magnetische Felder werden durch gerichtete Ladungsbewegung erzeugt (Bio-Savart)
v
v v ∂D
∇ × H = Jf +
∂t
v v
∂Φ D,S
∫ H ⋅ d l = If ,S + ∂t
∂S
Räumliche Periodizität (Wellenausbreitung im Raum)
ei(ωt+ϕ0) =
cos(ωt+ϕ0) + i sin(ωt+ϕ0)
(EM Strahlung: LIchtgeschw. c = 3⋅108 m/s)
v ph =
λ
T
⎧ c Vakuum
=⎨
⎩c / n(λ ) Medium
Phasengeschw.
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Im Medium
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Elektrisches Verschiebungsfeld:
v
v
v v
D = ε 0E + P = ε 0 ε r E
Elektrisches
Feld
Magnetische Induktion:
v
H
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Polarisation
v
v
v v
B = μ 0H + M = μ 0μ r H
Magnetisches
Feld
v
E
Resonanzschwingkreis
Z L = j ωL
Impedanz einer Induktivität:
Z C = 1 / j ωC
Impedanz eines Kondensators:
Resonanzfrequenz eines idealen Resonators:
ω=
1
LC
ω = 2πf
Magnetisierung
v
k
Maxwellgleichungen 1 + 2
(Statische Felder)
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v
∇D = ρ
v
∫∫ D ⋅ dA = q( V )
∂V
Eingang
Divergenz des elektrischen
Feldes
wird
von
den
einzelnen Ladungen in einem
Volumen bestimmt.
s (t )
2. Es gibt keine magnetischen Monopole
v
∇B = 0
v
∫∫ B ⋅ dA = 0
Systemtheorie
Mathematisches Werkzeug, um beispielsweise die Umwandlung einer physikalisch kodierte Information in
eine andere Darstellungsform zu beschreiben
1. Ladungen sind die Quellen elektrischer Felder
∂V
Maxwellgleichungen 3 + 4
(Dynamische Felder)
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Entgegengesetzte
magnetische
Felddivergenzen
werden
von
magnetischen Dipolen erzeugt.
System
g (t )
T
Sprache
Mikrofon
Schriftstück
Kopierer
Spindichteverteilung
Ausgang
akust. Signal am Lautsprecher
MRT System
Kopie
Schnittbild
Das „System“ stellt eine Transformation T dar, die die Eingangsfunktion s(t) in die Ausgangsfunktion g(t)
überführt.
Für
nur
einen magnetischen
Monopol ist die Divergenz immer
null.
g = T [s]
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Stationäre lineare Systeme
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Fouriertransformierte einer Rechteckfunktion
Die Idee ist es jedes Eingangssignal als Überlagerung von harmonischen Funktionen darzustellen.
Ein System heißt linear, wenn eine Überlagerung von Eingangssignalen s(t) zu einer entsprechenden
Überlagerung der Ausgangssignale g(t) führt (Superpositionsprinzip):
s(t ) = ∑ S ( f ) ⋅ e j ⋅2⋅π ⋅ f ⋅t
f
T : ∑ ci si (t ) → ∑ ci g i (t )
i
-
i
Beachte: Gibbsches Überschwingen
an scharfen Kanten für endliche
Anzahl an Frequenzenkomponenten
Ein System heißt stationär (zeitinvariant bzw. ortsinvariant, verschiebungsinvariant), wenn gilt:
T : si (t − t0 ) → g i (t − t0 )
Kommt das Eingangssignal um die Zeit t0 früher an, so wird auch das Ausgangssignal um die Zeit t0 früher
ankommen.
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Beispiel: Dirac-Funktion
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Nyquistrate
Die Überlappung der verschobenen
Spektren wird genau dann
vermieden, wenn für das Abtastraster
T gilt:
T<
1
.. Nyquisttheorem
2f
1
= 2 f .. Nyquistrate
T
Linearität
T : ∑ ci si (t ) → ∑ ci gi (t )
i
Stationariät
T : si (t − t0 ) → g i (t − t0 )
i
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Fouriertransformation
Die Idee ist es jedes Eingangssignal als Überlagerung von harmonischen Funktionen darzustellen.
∞
s(t ) = ∫ S ( f ) ⋅ e j⋅2⋅π ⋅ f ⋅t df
−∞
S( f )⋅e
j ⋅2⋅π ⋅ f ⋅t
s (t ) = ∑ S ( f ) ⋅ e j⋅2⋅π ⋅ f ⋅t
f
= S ( f ) ⋅ (cos(2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t ) + j sin( 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t ))
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