W`keitsrechnung und Statistik - Formelsammlung

WrStat
Braun & Co, Rast, Körner, Gwerder, Badertscher, Niedermann
9. September 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit
2
2 Erwartungswert und Varianz
3
3 Wahrscheinlichkeitsverteilung
4
4 Schätzen Skript S.157
8
5 Hypothesentest Skript S.173
10
6 Prozessverbesserungen Skript S.191
12
7 Wichtige Formeln
13
8 Auswahl der Verteilung
13
9 Statistik / Wahrscheinlichkeit
14
10 Tabellen
15
1
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1
(2013-04-12, Commit : 145d026 - gemäss Unterricht Andreas Müller/HS2012)
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Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit
1.1
Kombinatorik
Skript S.5
k Positionen müssen
Qk unabhängig von einander markiert werden, wobei ni verschiedene Markierungen zur Verfügung stehen.
n1 · n2 · · · nk = i=1 ni
Art der Auswahl von k aus n Elementen
Anzahl der Möglichkeiten
ohne Wiederholungen
TR
mit Wiederholungen (Zurücklegen)
(k ≤ n)
Permutationen
(k ≤ n)
Pn = n!
(n = k)
(k)
Cn = nk
(k)
Vn = k! nk
Kombinationen
Variationen
(k)
nPr(n,n)
Pn
(k)
nCr(n,k)
Cn =
nPr(n,k)
Vn
(k)
n!
k!
n+k−1
k
=
= nk
• Permutationen: Gegeben seien n verschiedene Objekte. Dann gibt es n! verschiedene Reihenfolgen in denen man
diese Objekte anordnen kann.
z.B.: x, y, z; x, z, y; z, y, x; . . .
• Kombination: Gegeben seien n verschiedene Objekte. Dann gibt es nk Möglichkeiten, daraus k Objekte auszuwählen,
wenn es nicht auf die Reihenfolge ankommt.
z.B.: Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat man beim Lotto, 6 Zahlen aus 49 auszuwählen?
• Variation nennt man eine Auswahl von k Elementen aus n verschiedenen Elementen unter Beachtung der Reihenfolge
1.2
Ereignisse
1.3
Skript S.22
Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie
und ihre mathematischen Modellierung
Begriff
Modell
Elementarereignis
ω
alle Elementarereignisse
Ω
A⊂Ω
Ereignis
sicheres Ereignis
Ω
unmögliches Ereignis
∅
A und B
A∩B
A oder B
A∪B
A hat B zur Folge, A ⇒ B
A⊂B
nicht A
Ω\A
1.4
Wahrscheinlichkeit
Rechenregeln
Skript S.27
Wertebereich:
0 ≤ P (A) ≤ 1
Sicheres Ereignis:
P (Ω) = 1
unmögliches Ereignis:
P (∅) = 0
komplementär Ereignis:
P (Ā) = P (Ω \ A) = 1 − P (A)
Differenz der Ereignisse A und B:
P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B)
Vereinigung zweier Ereignisse:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A) =
Bedingte Wahrscheinlichkeit
&
Anzahl Versuche bei der A eingetreten ist
Anzahl Versuche→∞
Anzahl Versuche
lim
Skript S.39
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Ereignis B bereits eingetreten ist.
P (A | B) =
P (A ∩ B)
P (A) · P (B)
= P (A)
=
P (B)
P (B)
|
{z
}
P (A|B) = 1 − P (A|B)
nur wenn unabhängig
1.5
Unabhängige Ereignise
Skript S.41
Für sie gilt
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Die Tatsache, dass A eingetreten ist, hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von B.
Unabhängige Ereignisse A und B liegen vor, wenn:
P (A | B) = P (A | B)
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1.6
Totale Wahrscheinlichkeit
P (A) =
n
X
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1.7
Skript S.44
Satz von Bayes
P (B | A) = P (A | B) ·
P (A | Bi ) · P (Bi )
Skript S.47
P (B)
P (A)
i=1
in
 
 Matrixform:
P (A1 |B1 )
P (A1 )
 

 

 P (A2 )   P (A2 |B1 )
 

..
 ..  = 
 .  
.
 

P (An )
P (A1 |B2 )
...
P (A1 |Bn )
 
P (B1 )

 

 

P (A2 |B2 ) . . . P (A2 |Bn )   P (B2 ) 
·

..
  .. 
..
  . 
.
.
···
 

P (Am |B1 ) P (Am |B2 ) . . . P (Am |Bn )
P (Bn )
|
{z
}
1.8
Laplace-Ereignisse
Skript S.51
In einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
Ω haben alle Elementarereignisse die gleiche
Wahrscheinlichkeit.
|A|
P (A) =
|Ω|
W’keitsmatrix
2
2.1
Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert
Skript S.71
Sei X eine Funktion auf Ω, und lasse sich Ω in endlich viele
Ereignisse Ai zerlegen, auf denen X(ω) konstant ist, dann
ist der Erwartungswert von X
X
Erwartungswert =
Wert · Wahrscheinlichkeit
E(X) =
n
X
i=0
2.1.1
Rechenregeln Skript S.73
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
E(λX + µ) = λ · E(X) + µ
λ, µ ∈ R
E(XY ) = E(X) · E(Y )
wenn X,Y unabhängig sind
X(Ai ) · P (Ai )
| {z } | {z }
Wert
W’keit
Zx
x · ϕ(x)dx mit ϕ(x) = Dichtefunktion
E(X) =
−∞
2.2
Varianz
Skript S.80
2.2.2
var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = E[(X − E(X))2 ]
p
Standardabweichung σ = var(X)
2.2.1
Kovarianz
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) =
0
|{z}
Rechenregeln Skript S.85
var(λX) = λ2 var(X)
λ, µ ∈ R
var(X1 + X2 + . . . + Xn ) 6= var(nX)
(
var(X) + var(Y )
var(X + Y ) =
var(X) + var(Y ) + 2 · cov(X, Y )
(X,Y unabh.)
(X,Y abhängig)
var(XY ) = var(Y )var(X) + var(Y )E(X)2 + var(X)E(Y )2
falls X,Y unabhängig
2.3
Erwartungswert und Varianz des arithmetischen Mittels
Skript S.88
Es sei eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn mit gleichem Erwartungswert µ und gleicher Varianz σ 2
gegeben.
Mittelwert: Mn =
2.4
X1 +...+Xn
n
Erwartungswert: E(X) = E(Mn ) = µ
Satz von Tschebyscheff
P (|X − E(X)| > ε) ≤
P (|Mn − µ| > ε) ≤
σ2
ε2 n
var(X)
ε2
Varianz: var(Mn ) =
1
n var(X)
=
σ2
n
Skript S.87
Wahrscheinlichkeit, dass X um mehr als ε vom Erwartungswert E(X) abweicht.
W’keit, dass Mn von n unab. ZV mit Mittelwert µ und Varianz σ 2 mehr als ε von µ abweicht.
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2.5
Regression
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(2013-04-12, Commit : 145d026 - gemäss Unterricht Andreas Müller/HS2012)
Vorgehen: mit Fehlerberechnung
Skript S.91
1. Tabelle mit bekannten Werten aufstellen:
k
x
x2
y
y2
xy
Allgemein:
X,Y Zufallsvariable
Gesucht:
Regressionsgerade y = ax + b mit min. Fehler
Fehler:
E(Y − (aX + b)) = 0
Regressionskoeffizient r
r ist ein Mass für die Qualität der Regression (standardisiert)
var(X)
cov(X, Y )2
= a2 ·
r2 =
var(X)var(Y )
var(Y )
Liegt r nahe bei 1 =
b gute Approximation
Mittlerer quadratischer Fehler
2
2
∆ = var(Y )(1 − r ) = var(Y ) 1 −
cov(X, Y )2
var(X)var(Y )
1
..
.
x1
..
.
x21
..
.
y1
..
.
y12
..
.
x1 y1
..
.
n
P
xn
P
yn2
P
yn
P
yn2
P
xn yn
P
xk yk
E
xk
P
P
xk
n
x2k
x2k
n
yk
P
yk
n
yk2
2
yk
n
P
P
xk yk
n
2. Varianzen, Kovarianz berechnen:
var(X) = E(X 2 ) − E 2 (X)
var(Y ) = E(Y 2 ) − E 2 (Y )
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )
3. Koeffizienten und Fehler der Gerade
berechnen: 2 cov(X, Y )
cov(X, Y )
2
a=
∆ = var(Y ) 1 −
var(X)
var(X)var(Y )
b = E(Y ) − aE(X)
4. Gerade:
y = ax + b
3
3.1
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Verteilungsfunktion
allgemein
Skript S.97
diskret
x
P
=
pk
P (X ≤ x) = F (x)
kontinuierlich
Rx
=
ϕ(x̃)dx̃
−∞
k=−∞
P (X > x) = 1 − P (X ≤ x)
P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a)
=
b
P
pk
=
k=a
3.1.1
Rb
ϕ(x̃)dx̃
a
Eigenschaften
Bei einem Sprung gilt: Sprunghöhe = Wahrscheinlichkeit des Wertes x
D(F ) = R
3.2
W(F ) ∈ [0, 1]
Wahrscheinlichkeitsdichte
F (−∞) = 0
F (∞) = 1
F (x) ist monoton steigend
Skript S.104
Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte:
ϕ(x) = F 0 (x)
Bei Sprungstellen von F(x):
ϕ(x) = Dirac mit Gewichtung der Sprunghöhe
Allgemein gilt:
R∞
ϕ(x)dy = 1
−∞
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Erwartungswert
R∞
E(X)
=
x · ϕ(x)dx
E(X 2 )
E(X N )
=
=
−∞
R∞
−∞
R∞
−∞
x2 · ϕ(x)dx
xN · ϕ(x)dx
bzw.
∞
P
bzw.
−∞
∞
P
bzw.
−∞
∞
P
x · pk
x2 · pk
xN · pk
−∞
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3.3
Rechenregeln für ϕ und F
(2013-04-12, Commit : 145d026 - gemäss Unterricht Andreas Müller/HS2012)
Skript S.110
3.3.1
Gegeben:
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Algorithmus Bsp.
X, Y Zufallsvariablen und ϕX , ϕY bekannt
Verteilungsfunktion:
Dichte:
1. Definition von F anwenden: FλX (x) = P (λX ≤ x)
| {z }
FX+a (x) = FX (x − a)
ϕX+a (x) = ϕX (x − a)
2. Bedingung * umformen: P (X ≤ λx ) = FX ( λx )
FλX (x) = FX ( λx )
ϕλX (x) = ϕX ( λx ) λ1
3. für Dichte:
FX+Y (x) = FX ∗ ϕY (y) = FY ∗ ϕX (x)
ϕX+Y (x) = ϕX ∗ ϕY (x)
ϕλX (x) =
F√X (x) = FX (x2 )
√
√
FX 2 (x) = FX ( x) − FX (− x)
ϕ√X (x) = 2xϕX (x2 )
3.3.2
∗
Maximalwert eines Intervalls
Standardisierung
3.3.3
d
x
dx FX ( λ )
= ϕX ( λx ) λ1
Median Skript S.142
Skript S.111
FZ (z) = P (Z ≤ z) = FX (σz + µ)
FX (x) = FZ ( x−µ
σ )
ϕZ (z) = σ · ϕX (σz + µ)
ϕX (x) = σ1 · ϕZ ( x−µ
σ )
Normalverteilung
=
Der Median med(X) von X ist eine Zufallsvariable, welche
für F (med(X)) = 21 ist.
Erwartungswert: E(X) = µ (=0 bei Standardnormalver.)
Varianz
: var(X) = σ 2 (=1 bei Standardnormalver.)
3.5
d
dx FλX (x)
√
√
1
ϕX 2 (x) = 12 x− 2 (ϕX ( x) + ϕX (− x))
X1 , . . . Xi sind auf dem Intervall [0, l] mit FX (x) verteilt
M=max{X1 , . . . , Xi }
FM (x) = FX (x)n
3.4
d
dx
Z=
X −µ
σ
mit E(Z) = 0 und var(Z) = 1
68% der Werte liegen im Intervall [µ − σ, µ + σ]
95% in [µ − 2σ, µ + 2σ]
99.7% in [µ − 3σ, µ + 3σ]
Skript S.123
Viele kleine, unabhängige Zufallsvariable sammeln sich zu einer
normalverteilten Zufallsvariable.
(x−µ)2
1
· e− 2σ2 = N (µ; σ)
ϕ(x) = √2πσ
Rx − (x̃−µ)2
1
·
F (x) = √2πσ
e 2σ2 dx̃
−∞
Addieren von Normalverteilungen:
N (µ1 ; σ1 ) + N (µ2 ; σ2 ) = N (µ1 + µ2 ;
Für F (−x) gilt F (−x) = 1 − F (x)
3.6
p
σ12 + σ22 )
Zentraler Grenzwertsatz
Dichtefunktion (oben) und Verteilungsfunktion (unten) der Normalverteilung.
Skript S.128
X1 , X2 , . . . , Xn sind lauter identisch verteilte (nicht notwendig normalverteilt!) unabhängige Zufallsvariablen mit demselben
Erwartungswert µ und derselben Varianz σ 2 und mit Z = X−µ
σ . Dann hat die Summe
n
1 X
Sn = √
Zi
n i=1
den Erwartungswert nµ und die Varianz nσ 2 .
Die damit verbundene standardisierte (E(Sn ) = 0, var(Sn ) = 1) Variable Sn ist somit wie folgt definiert:
n
1 X Xi − µ
1
Sn = √
=√
σ
n i=1
n·σ
"
n
X
!
Xi
#
− nµ =
i=1
X̄ − µ
√
σ/ n
Für n → ∞ strebt die Verteilung von Sn gegen die Standardnormalverteilung.
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3.7
Exponentialverteilung
(2013-04-12, Commit : 145d026 - gemäss Unterricht Andreas Müller/HS2012)
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Skript S.118
Zur Ermittlung der Dauer bis zum Ausfall/Zerfall von Bauteilen/Stoffen ohne Gedächnis (W’keit, dass X in der nächsten Minute defekt
geht = const.). Beispiele :
• Lebensdauer von Atomen beim radioaktiven Zerfall
• Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen & Geräten
(MTBF - Mean Time Between Failure = a1 )
gilt P (X ≤ t) = P (X ≤ t0 + t|X > t0 )
P (X > t) = P (X > t0 + t|X > t0 )
Dichtefunktion und Verteilungsfunktion
(
ae−ax x ≥ 0
ϕ(x) =
0
x<0
X < x Ausfall/Zerfall
(
−ax
X > x kein Ausfall/Zerfall
1−e
x≥0
F (x) =
0
x<0
Abbildung 1: Dichtefunktion (oben) und Verteilungsfunktion (unten) der Exponentialverteilung.
Lebensdauer von mehreren unabhängigen Bauteilen
Erwartungswert und Varianz
E(X) = a1
var(X) = a12
P (X > x) = P (X1 > x1 ∩ X2 > x2 ∩ X3 > x3 . . .)
= P (X1 > x1 ) · P (X2 > x2 ) · P (X3 > x3 ) . . .
= (1 − P (X1 ≤ x1 )) · (1 − P (X2 ≤ x2 )) · (1 − P (X3 ≤ x3 )) . . .
= (1 − F (x1 )) · (1 − F (x2 )) · (1 − F (x3 )) . . .
3.8
Hypergeometrische Verteilung
Skript S.149
Ist die Wahrscheinlichkeit dass in einer m Elemente umfassenden Stichprobe aus einer
Grundgesamtheit von n Elementen, von denen r eine spezielle Eigenschaft besitzen, k
Elemente mit der Eigenschaft
zu finden sind.
p(k) = P (X = k) =
Erwartungswert:
Varianz:
r
k
n−r
m−k
n
m
für 0 ≤ k ≤ r und k ≤ n
r
n
r(n − r)(n − m)
var(X) = m
n2 (n − 1)
E(X) = m
Beispiel:
Lotto, n = 45 Zahlen, r = 6 (diegezogenen
Zahlen), m = 6 (meine Zahlen)
6 39
P (X = 4) = P (Ein Vierer) =
4
3.9
Skript S.150
Poissonverteilung
Pλ (k) =
λk −λ
k! e
Erwartungswert:
2
45
6
= 0.001364
W’keit dass k Ereignisse
im Intervall [0,x] auftreten
E(X) = λ
Varianz:
var(X) = λ
Pk k
P (X < k) ≤ 0 Pλ (k) = 0 λk! e−λ
P (X > k) = 1 − P (X < k)
x = Anzahl Versuche
λ = Ereignisse pro Intervall im Mittel
Pk
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Anwendungsbeispiele:
Für die Häufigkeiten seltener Ereignisse. Anzahl Anrufe bei
einer Telefonzentrale in einer gewissen Periode. Anzahl grosse Versicherungsschäden in einer gewissen Periode. Anzahl
Jobs, die bei einem Server ankommen. Anzahl Ereignisse in
einem Zeitintervall. Anzahl Lokomotiven der SBB, die in der
nächsten Woche einen Defekt haben. Anzahl der Gewinner
mit 4 Richtigen im Lotto.
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3.10
Binomialverteilung
Seite 7 von 16
(2013-04-12, Commit : 145d026 - gemäss Unterricht Andreas Müller/HS2012)
Skript S.146
Wird angewendet bei einem Experiment mit nur zwei Ausgängen (Ereignis mit W’keit p tritt ein, Ereignis tritt nicht ein).
Eine Zufallsvariable mit diskreten Werten k ∈ {0, . . . , n} heisst binomialverteilt zum Parameter p, wenn die Wahrscheinlichkeit des Wertes k wie folgt ist:
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k
µ = E(X) = p · n
σ 2 = var(X) = n · p(1 − p)
k
n: Versuche
k: k-mal erfolgreich
p: Wahrscheinlichkeit
Approximation mit Normalverteilung: P (a ≤ x ≤ b) ' P (a − 0.5 ≤ x ≤ b + 0.5)
|
{z
}
Normalverteilung
Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 350 Leuten genau k (k ≤ 350) heute Geburtstag haben?
1 k 364 350−k
P (k) = 350
365
365
k
3.11
Gleichverteilung
Stetig Skript


0
1
ϕ(x) = b−a


0


0
F (x) = x−a
b−a


1
S.115
x<a
x ∈ [a, b]
x>b
x<a
x ∈ [a, b]
x>b
Erwartungswert:
Varianz:
3.12
E(X) = a+b
2
2
var(X) = (b−a)
12
Diskret Skript S.145


x≤1
0
|x|
F (x) =
1≤x≤n
n


1
x≥n
1
n
Wahrscheinlichkeit:
p(k) =
Erwartungswert:
E(X) =
Varianz:
var(X) =
E(X 2 ) =
Potenzgesetze (Power-Laws)
n+1
2
n2 −1
12
2n2 +3n+1
6
Verteilungsfunktion(oben) und Wahrscheinlichkeitsdichte (unten) der Gleichverteilung
Skript S.139
Die Normalverteilung beschreibt (physikalische) Grössen, die vor allem in einer bestimmten Grössenordnung vorkommen.
Die Potenzgesetze dienen dazu, Grössen welche einen grossen Wertebereich annehmen können, zu beschreiben.
(
ϕ(x) =
α−1
x1−α
min
0
· x−α
x > xmin
mit α > 1
sonst
α−1
E(X) = α−2
· xmin
2
E(X ) = α−1
· x2min
α−3
2 α−1
− α−1
var(X) = α−3
· x2min
α−2
1
x 12 = 2 α−1 · xmin
Eine nach dem Potenzgesetz verteilte Zufallsvariable kann man daran erkennen, dass die Dichtefunktion in doppelt logarithmischer Darstellung eine Gerade ist. Wegen log p(x) = −α log x + log C ist die Steigung der Geraden −α.
Der Parameter α kann mithilfe eines Maximum-Likelihood Schätzers bestimmt werden. Es gilt: α = 1 +
Pn
n
log
i=1
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xi
xm in
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4
Schätzen
4.1
(2013-04-12, Commit : 145d026 - gemäss Unterricht Andreas Müller/HS2012)
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Skript S.157
Konsistente Schätzer
Skript S.159
Ein Schätzer ist konsistent, wenn lim = E(X) ergibt
n→∞
Der Mittelwert der Stichprobe ist ein konsistenter Schätzer.
Der Schätzer X̄ =
4.2
X1 +...+Xn
n
lim =
n→∞
X1 +...+Xn
n
= E(X)
heisst der Stichprobenmittelwert der Stichprobe X1 , . . . , Xn .
Erwartungstreue Schätzer
Skript S.159
Ein Schätzer ist erwartungstreu, wenn E(Schätzer) = E(realer Wert)
Ist der Stichprobenmittelwert ein konsistenter
Schätzer, aber er ist sogar erwartungstreu:
Erwartungstreue Schätzer für var(x) ist:
1X 2
1X
n
(
Xi − (
Xi )2 )
S 2 = n−1
|n {z } | n {z
}
E(X 2 )
S2 =
4.2.1
1
n−1
n
P
E(X1 )+...+E(Xn )
n
= E(X)
Stichprobenvarianz, empirische Varianz
E(X)2
(Xi − X̄)2
X̄ = Mn heisst Stichprobenmittelwert
i=1
Kleinstmöglicher Fehler
E((E(X) −
4.3
E(µ(X1 , . . . , Xn )) =
x1 +...+xn 2
) )
n
= minimal
Maximum Likelihood Schätzer
Skript S.162
Sinn des Likelihoodschäzers ist einen unbekannten Parameter ϑ einer Dichtefunktion φ(x, ϑ) zu schätzen.
L(x1 , . . . , xn ; ϑ) = φ(x1 , ϑ) · . . . · φ(xn , ϑ)
d
L(x1 , . . . , xn ; ϑ) = 0
dϑ
=⇒
=⇒
ϑ =? (Maximum-Likelihood-Schätzer)
√1
e
( 2π)n
− 2σ12
n
P
(xi −ϑ)2
Für eine normalverteilte Grösse lautet die Likelihood Funktion: L(x1 , . . . , xn ; ϑ) =
Der unbekannte Parameter ϑ kann nun durch suchen des Maximums der Funktion ermittelt werden (ϑ wird variert). Die
Funktion wird maximal, wenn die Summe im Exponent minimal wird. Das ϑ, das die Summe minimiert, kann durch ableiten nach ϑ und null setzen ermittelt werden. Es können auch Stichprobenvarianz S 2 oder Ähnliches ermittelt werden.
4.4
Verteilung der Schätzwerte
i=1
Skript S.166
X1 , . . . , Xn sind unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 . Dann gilt
1. X̄ und S 2 sind unabhängig
2. X̄ =
3.
n−1
σ2
X1 +...Xn
n
ist normalverteilt mit E(X̄) = µ und var(X̄) =
· S 2 ist χ2n−1 -verteilt mit S 2 =
1
n−1
n
P
σ2
2
(Xi − X̄)2
i=1
Braun & Co, Rast, Körner, Gwerder, Badertscher, Niedermann
9. September 2013
W’keitsrechnung und Statistik - Formelsammlung
4.5
4.5.1
(2013-04-12, Commit : 145d026 - gemäss Unterricht Andreas Müller/HS2012)
Seite 9 von 16
Konfidenzintervall von Messwerten
Konfidenzintervall Skript S.169
Ein Intervall [L(X1 , . . . , Xn ), R(X1 , . . . , Xn )] heisst ein 1 − α- Konfidenzintervall für den Parameter ϑ, wenn der wahre
Wert des Parameters ϑ höchstens mit Wahrscheinlichkeit α ausserhalb des Intervalls liegt.
Es gilt: P (L ≤ ϑ ≤ R) = 1 − α
4.5.2
Bei bekannter Varianz σ 2
2
Falls Varianz σ 2 von Messwerten bekannt ist, handelt es sich
umnormalverteilte Zufallsvariable mit Varianz σ /n.
bei X̄
X̄−µ
√ ≤ x = 1 − α ⇒ F (x) = 1 − α
Also kann sehr einfach ein x für das Konfidenzinter- P σ/
2
n
vall gefunden werden:
h
i
Daraus ergibt sich folgendes Konfidenzintervall
µ ∈ X̄ − x √σn , X̄ + x √σn mit W’keit 1 − α
4.5.3
Bei geschätzter Varianz S 2
t-Verteilung
n
) normalverteilter Daten ist t-Verteilt, wenn Varianz mit Stichprobenvarianz geschätzt wurde.
Der Mittelwert ( x1 +...+x
n
Ab einer gewissen Anzahl Messungen (n ≥ 30) kann näherungsweise auch mit der Normalverteilung gerechnet werden.
Checkliste
1) X̄, S als Schätzungen aus xi bestimmen
α
2) t aus t-Tabelle (k = n − 1) für 1 − = W’keit für eine Seite
2
h
i
3) Intervall X̄ − t √Sn , X̄ + t √Sn , (1 − α) Konfidenzintervall
Anwendung
X̄−µ
√
S/ n
t-Verteilt
lim = 0 aber langsamer wie bei Gaussverteilung
x→∞
Beispiel:
10 Messungen ergeben Durchschnittswert 4,7 und eine Standardabweichung 0,1. Finde ein 99% Konfidenzintervall für µ.
Finde t:
h
k =n−1
..
.
...
..
.
0,995
..
.
9
...
3,2498
X̄ −
3, 2498 √Sn , X̄
i
h
i
0,1
√
+ 3, 2498 √Sn ⇒ 4,7 − 3,2498 √0,1
,
4,7
+
3,2498
10
10
µ ∈ [4,5072, 4,8028] mit Wahrscheinlichkeit 99%
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5
Hypothesentest
5.1
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Seite 10 von 16
Skript S.173
Grundsätze
- “Man braucht Aussagen, die man widerlegen könnte.”
- Irrtum ist möglich (Irrtumsw’keit α)
- Beweis durch Widerlegen des Gegenbeweises
5.2
Vorgehen (Nullhypothese)
1. Hypothese, die der Test widerlegen soll
→ Nullhypothese ⇒ Keine Wirkung/Effekt
2. Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05, 0.01, . . . (Niveau=1-α)
3. Testgrösse X, W’keitsverteilung → Nur Werte bis zum getesteten Ereignis betrachten! (Nicht Zukunft mit einbeziehen)
4. Bestimmung der Schranken xkrit für:
• Einseitiger Test P (X > xkrit ) = α
• Zweiseitiger Test P (|X| > xkrit ) = α/2
−µ
5. Wert für F xkrit
aus Tabelle 10.1 (S. 15)
σ
6. Falls Messungen ergeben X > xkrit =⇒ Hypothese falsch mit W’keit 1 − α
5.3
5.3.1
Testen einer diskreten Verteilung
Skript S.177
χ2 -Test mit k-möglichen Ausgängen
Wahrscheinlichkeit von Ausgang i: P (X ∈ Ii ) = pi
Mögliche Ausgänge: Ii , i = 1, . . . , k
n Beobachtungen, davon jeweils ni mit Ausgang i
D=
k
X
(ni − npi )2
i=1
npi
ist χ2k−1 , mit k − 1 Freiheitsgrade
Durchführung des χ2 -Tests
1. Daten erfassen:
2. Diskrepanz D berechnen
Damit der Test optimal funktioniert muss folgende
Bedingung erfüllt sein: ni ≥ 5 ∀ i
i
Ausgang
pi
ni
(ni − npi )
(ni − npi )2 /npi
1
2
3
4
5
n
3. Schwellenwert für D
D=
P
x1−α für Fχ2k−1 (x) = 1 − α aus χ2k−1 -Tabelle lesen.
Wenn α nicht vorgegeben, dann α z.B. 0.1 oder 0.05
wählen.
Anzahl Freiheitsgrade= Anzahl Ausgänge−1 = k − 1
p=1−α
α =Irrtumswahrscheinlichkeit
D ≥ x1−α Hypothese ist unwahrscheinlich!
D < x1−α Hypothese nicht wiederlegbar!
D ≤ xα Daten möglicherweise ”fabriziert”!
Nachteile:
-Grob verpixeltes Bild der Verteilung
-wenn wenig Messwerte =⇒ geringe Aussagekraft
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5.4
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Testen einer stetigen VerteilungSkript S.179
Mit χ2 -Test
5.4.1
Der χ2 -Test kann im Prinzip nur diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen testen.
→ Will man eine stetige Verteilung testen, muss man zunächst Klassen von Werten
bilden. → Anschliessend deren Wahrscheinlichkeiten berechnen und dann prüfen ob
die künstlich diskrete Verteilung im χ2 -Test Bestand hat.
⇒ Achtung: Durch die Klassenbildung wird eine künstliche Diskretisierung eingeführt.
5.4.2
Kolmogorov-Smirnov Test
Nullhypothese
Messwerte x1 , ..., xn haben Verteilungsfunktion FX
Idee:
Vergleiche Verteilungsfunktionen (statt der Dichtefunktionen)
Daten:
X Zufallsvariable, Verteilungsfunktion FX , n Messungen ergeben Stichprobe xi
FX theoretische Verteilungsfunktion von X
empirische Verteilungsfunktion
Anzahl{xi ≤x}
n
Testgrösse
max (Femp (x) - Fx (x))
min (Femp (x)- Fx (x))
Durchführen des Kolmogorov-Smirnov Test
1.
Werte x1 , ..., xn in aufsteigender Reihenfolge sortieren
2.
K±
n berechnen
Kn+ =
Kn− =
√
Mit Tabelle:
i
− FX (xi )
n
i−1
FX (xi ) −
n
n max
1<x<n
√
n max
1<x<n
i
xi
1
min(xi )
..
.
n
max(xi )
i/n
FX (xi )
(i − 1)/n
3.
Finde tn,1−α ,tn,α in der Tabelle 10.3 (S. 15)
4.
Falls Kn+ > tn,1−α oder Kn− < tn,α , verwerfe die Hypothese, dass X die Verteilungsfunktion FX hat.
5.5
Vergleichen von Mittelwerten (t-Test)Skript S.186
Nullhypothese
⇒ E(X) = E(Y )
Daten
2
n Messungen von xi ⇒ X̄ ; SX
Testgrösse
m Messungen von yi ⇒ Ȳ ; SY2
r
X̄ − Ȳ
nm(n + m − 2)
T =p
·
2
2
n+m
(n − 1) · SX + (m − 1) · SY
T ist t-verteilt
Schwellenwert
tkrit aus Tabelle 10.4 mit Freiheitsgrad n + m − 2 und p = 1 − α
Test
Falls T > tkrit wird die Hypothese E(X) = E(Y ) verworfen
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6
Prozessverbesserungen
6.1
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Seite 12 von 16
Skript S.191
Gewichteter Mittelwert
Besitzt man die Möglichkeit Messwerte aus zwei Messsystemen X1 und X2 mit unterschiedlicher Genauigkeit (var(X1 )/var(X2 ))
zu beziehen, so kann man die Messwerte so gewichten, dass eine optimale Genauigkeit besteht.
Xopt = t · X1 + (1 − t) · X2
→ t so wählen, dass var(Xopt ) minimal wird
var(Xopt ) = t2 · var(X1 ) + (1 − t)2 · var(X2 )
⇒ t=
6.2
σ12
σ22
σ2
; 1−t= 2 1 2
2
+ σ2
σ1 + σ2
→ nach t ableiten und Null setzen
var(Xopt ) =
σ12 · σ22
σ12 + σ22
Kalman-Filter
Prinzip: bestmögliche Schätzung für Systemzustand auf Grund von fehlerbehafteter Messung und Systementwicklung.
6.2.1
Datenfluss im Kalman-Filter Skript S.201
uk
xk
+
+
Hk
zk
−
Kk
+
x̂k
wk
ϕk−1
ϕk−1
Hk
DELAY
DELAY
x̂k|k−1
System
Messung
uk :
Systemungenauigkeiten
wk :
Messfehler
xk :
Unbeobachtete Zustandsvariable
zk :
Fehlerbehaftete Messung von xk
x̂k|k−1 :
Vorhersage: x̂k|k−1 = ϕk−1 x̂k−1
x̂k :
Schätzer für xk (aus x̂k|k−1


σ12 0 . . .




Qk = E(uk utk ) =  0 σ22 . . .


..
.. . .
.
.
.


ρ21 0 . . .




Rk = E(wk wkt ) =  0 ρ22 . . .


..
.. . .
.
.
.

x̃2
x̃k,1 x̃k,2
 k,1

t
x̃2k,2
Pk = E(x̃k x̃k ) = x̃k,2 x̃k,1

..
..
.
.
Kalman-Filter
ϕk−1 :
Systementwicklung: xk+1 = ϕk xk + uk
Hk :
Messung der Zustandsvariablen: zk = Hk xk + wk
Kk :
Kalman-Matrix: x̂k = (I − Kk Hk )x̂k|k−1 + Kk zk
und zk )
...



. . .

..
.
Braun & Co, Rast, Körner, Gwerder, Badertscher, Niedermann
Qk :
Systemfehler-Kovarianzmatrix
uk :
Systemungenauigkeiten
σi :
Varianz der Systemungenauigkeiten
Rk :
Messfehler-Kovarianzmatrix
wk :
Messfehler
ρi :
Varianz der Messungen
Pk :
Schätzfehler-Kovarianzmatrix
x̃k :
Schätzfehler: x̃k = x̂k − xk
9. September 2013
W’keitsrechnung und Statistik - Formelsammlung
6.2.2
(2013-04-12, Commit : 145d026 - gemäss Unterricht Andreas Müller/HS2012)
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Vorgehen
1. Bestimmung des Zustandsvektors xk und des Messvektors zk
2. Aufstellen der Messmatrix Hk aus: zk = Hk xk
3. Berechnen der Systementwicklung ϕk damit xk+1 = ϕk xk
4. Aufstellen der Fehler-Kovarianzmatrixen Qk und Rk
5. Vorhersage-Schritt:
x̂k+1|k = ϕk x̂k
Pk+1|k = ϕk Pk ϕtk + Qk
x̂k = (I − Kk Hk )x̂k|k−1 + Kk zk
6. Korrektur-Schritt:
Kk = Pk|k−1 Hkt (Hk Pk|k−1 Hkt + Rk )−1
7. Bestimmung des optimalen Kk :
8. Damit wird Pk vereinfacht zu: Pk = (I − Kk Hk )Pk|k−1
6.2.3
Pk = (I − Kk Hk )Pk|k−1 (I − Kk Hk )t + Kk Rk Kkt
→ Pk bleibt variabel
Vereinfachung
In der Praxis kann meist davon ausgegangen werden, dass ϕk , Rk , Qk und Hk konstant sind. Damit werden auch Pk und
Kk konstant und die Vorhersage wird vereinfacht zu: x̂k = x̂k|k−1 + K(zk − H x̂k|k−1 )
7
7.1
Wichtige Formeln
Reihenentwicklungen
Geometrische Reihe
∞
P
n=0
∞
P
Binominalreihe
k=0
∞
P
E-Funktion
n=0
∞
P
8
xn
1
1−x
∞
P
=x
k xk−1 =
k xk
k=1
α
n
|x| < 1
=
xn
x
(1 − x)2
= (1 + x)α
x 6= 1
x ∈ (−1, 1)
k
x
k=0 k!
= ex
Auswahl der Verteilung
Gleichverteilung
Alle möglichen Werte haben die gleiche Wahrscheinlichkeit
Exponentialverteilung
Dauer von zufälligen Zeitintervallen ohne Gedächtnis
Normalverteilung
Viele kleine, unabhängige Zufallsprozesse sammeln sich zu einer normalverteilten Zufallsvariable
Binomialverteilung
Experiment mit zwei Ausgängen
Hypergeometrische Verteilung
Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe, Elemente einer Teilmenge zu finden sind
Poissonverteilung
Häufigkeiten seltener Ereignisse
t-Verteilung
Varianz aus Stichproben geschätzt (für grosse n kann Normalverteilung verwendet werden)
χ2 -Verteilung
Test ob eine Zufallsvariable Normalverteilt ist. Anwendung bei Hypothesentests
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9. September 2013
W’keitsrechnung und Statistik - Formelsammlung
9
9.1
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Statistik / Wahrscheinlichkeit
Funktionen
mean({...})
Berechnet das arithmetische Mittel der Elemente der Liste.
mean({...}, {...})
Mit einer zweiten Liste lassen sich die Elemente einzeln gewichten.
mean(A)
Gibt einen Zeilenvektor mit den arith. Mitteln der Spalten zurück.
mean(A, B)
Mit einer Matrix B lassen sich die Elemente von A gewichten.
median({...})
Berechnet den Median der Elemente der Liste.
median(A)
Gibt einen Zeilenvektor mit den Medianwerten der Spalten zurück.
stdDev({...})
Berechnet die Standardabweichung σ der Liste
variance({...}
nCr(n, k)
Berechnet die Varianz σ 2 der Liste
Binominalkoeffizient nk - funktioniert auch für Listen und Matrizen
nP r(n, k)
Anzahl Möglichkeiten unter Berücksichtigung der Reihenfolge k Elemente aus n auszuwählen.
OneV arL1, [L2], [L3], [L4]
Berechnet die Statistiken der Liste L1. Die Statistik wird mit ShowStat eingeblendet.
P P 2
Folgende Werte werden berechnet: x̄,
x,
x , σx, ...
ShowStat
Optionale Listen: L2: Häufigkeit, L3: Klassencodes, L4: Klassenliste
T woV arL1, L2, [L3], [L4], [L5]
Gleich wie OneV ar, einfach für 2 Variablen.
ShowStat
L1, L2: Variablen X und Y , L3 − 5: wie bei OneV ar
9.2
Regression
Zur Berechnung einer Regression muss eine Liste ({...}) die x-Werte enthalten und eine zweite Liste die y-Werte. Der Befehl
LinReg L1, L2 berechnet die lineare Regression. Mit ShowStat werden die berechneten Werte angezeigt. Es ist auch möglich,
die Datenpunkte und die Regressionskurve zu plotten: Regeq(x) → y1(x) und N ewP lot 1, 1, L1, L2 Optional können weitere
Listen angegeben werden: L3: Häufigkeit, L4: Klassencodes, L5: Klassenliste, wobei alle Listen ausser L5 die gleiche Dimension besitzen müssen. ’Iterationen’ gibt die maximale Anzahl Lösungsversuche an. (standardmäsig: 64)
Lineare Regression
LinReg L1, L2, [L3], [L4, L5]
Logarithmische Regression
LnReg L1, L2, [L3], [L4, L5]
Logistische Regression
Logistic L1, L2, [Iterationen], [L3], [L4, L5]
Potenz-Regression
P owerReg L1, L2, [L3], [L4, L5]
Quadratische Polynomische Regression
QuadReg L1, L2, [L3], [L4, L5]
Kubische Regression
CubReg L1, L2, [L3], [L4, L5]
Polynomische Regression 4-ter Ordnung
QuartReg L1, L2, [L3], [L4, L5]
9.3
Zufallszahlen
RandSeed 1147
Setzt die Ausgangsbasis (Seed) für den Zufallszahl-Generator
rand()
Gibt eine Zufallszahl zwischen 0 und 1 zurück.
rand(n)
Gibt eine Zufallszahl zwischen 0 und n (für n pos.)
bzw. zwischen n und 0 (für n neg.) zurück.
randM at(n, m)
Erzeugt eine ganzzahlige Matrix mit n Zeilen und m Spalten mit Werten −9 < x < +9.
randN orm(a, sd)
Gibt eine reelle Zufallszahl um den Mittelwert a mit der Standardabweichung sd aus.
randP oly(x, n)
Erzeugt ein Polynom der Variable x der Ordnung n mit Koeffizienten −9 < x < +9
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Tabellen
c Prof. Dr. Andreas Müller
10.1
Quantilen der Normalverteilung
p
0.75
0.8
0.9
0.95
0.975
0.99
0.995
0.999
0.9995
10.2
Verteilungsfunktion der Normalverteilung
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
10.3
x
0.6745
0.8416
1.2816
1.6449
1.9600
2.3263
2.5758
3.0902
3.2905
+0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
+0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
+0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
+0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
+0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
+0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
+0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
+0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
+0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
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0.8997
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0.9306
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0.9986
0.9990
+0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
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0.7549
0.7852
0.8133
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0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
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0.9633
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0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
Quantilen für den Kolmogorov-Smirnov-Test
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
50
100
200
p = 0.01
0.01000
0.01400
0.01699
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0.02501
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0.03424
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0.05005
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p = 0.05
0.05000
0.06749
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0.12290
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0.14887
p = 0.1
0.10000
0.12955
0.14714
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0.19000
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p = 0.25
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0.32802
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0.34360
0.34454
0.34535
0.34607
0.35087
0.35713
0.36331
0.36784
Braun & Co, Rast, Körner, Gwerder, Badertscher, Niedermann
p = 0.5
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0.51104
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0.53635
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0.54527
0.54682
0.54856
0.55002
0.55123
0.55228
0.55319
0.55400
0.55475
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0.57269
0.57725
p = 0.75
0.75000
0.70711
0.75394
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0.76741
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p = 0.9
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1.02458
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1.02977
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1.03351
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p = 0.95
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1.10166
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1.14634
1.15373
1.15859
1.16239
1.16582
1.16885
1.17139
1.17357
1.17552
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1.17888
1.18032
1.18162
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1.18392
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1.19921
1.20666
1.21180
p = 0.99
0.99000
1.27279
1.35889
1.37774
1.40242
1.41435
1.42457
1.43272
1.43878
1.44397
1.44837
1.45207
1.45527
1.45810
1.46060
1.46283
1.46483
1.46664
1.46830
1.46981
1.48009
1.48969
1.49864
1.50458
9. September 2013
W’keitsrechnung und Statistik - Formelsammlung
10.4
Seite 16 von 16
Quantilen der t-Verteilung
k =n−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
50
100
500
103
104
105
106
10.5
(2013-04-12, Commit : 145d026 - gemäss Unterricht Andreas Müller/HS2012)
0.75
1.0000
0.8165
0.7649
0.7407
0.7267
0.7176
0.7111
0.7064
0.7027
0.6998
0.6974
0.6955
0.6938
0.6924
0.6912
0.6901
0.6892
0.6884
0.6876
0.6870
0.6864
0.6858
0.6853
0.6848
0.6844
0.6840
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0.6834
0.6830
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0.6794
0.6770
0.6750
0.6747
0.6745
0.6745
0.6745
0.8
1.3764
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0.9410
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0.9057
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0.8610
0.8600
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0.8562
0.8557
0.8551
0.8546
0.8542
0.8538
0.8489
0.8452
0.8423
0.8420
0.8417
0.8416
0.8416
0.9
3.0777
1.8856
1.6377
1.5332
1.4759
1.4398
1.4149
1.3968
1.3830
1.3722
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1.3562
1.3502
1.3450
1.3406
1.3368
1.3334
1.3304
1.3277
1.3253
1.3232
1.3212
1.3195
1.3178
1.3163
1.3150
1.3137
1.3125
1.3114
1.3104
1.2987
1.2901
1.2832
1.2824
1.2816
1.2816
1.2816
0.95
6.3138
2.9200
2.3534
2.1318
2.0150
1.9432
1.8946
1.8595
1.8331
1.8125
1.7959
1.7823
1.7709
1.7613
1.7531
1.7459
1.7396
1.7341
1.7291
1.7247
1.7207
1.7171
1.7139
1.7109
1.7081
1.7056
1.7033
1.7011
1.6991
1.6973
1.6759
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1.6479
1.6464
1.6450
1.6449
1.6449
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4.3027
3.1824
2.7764
2.5706
2.4469
2.3646
2.3060
2.2622
2.2281
2.2010
2.1788
2.1604
2.1448
2.1314
2.1199
2.1098
2.1009
2.0930
2.0860
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2.0687
2.0639
2.0595
2.0555
2.0518
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2.0452
2.0423
2.0086
1.9840
1.9647
1.9623
1.9602
1.9600
1.9600
0.99
31.8205
6.9646
4.5407
3.7469
3.3649
3.1427
2.9980
2.8965
2.8214
2.7638
2.7181
2.6810
2.6503
2.6245
2.6025
2.5835
2.5669
2.5524
2.5395
2.5280
2.5176
2.5083
2.4999
2.4922
2.4851
2.4786
2.4727
2.4671
2.4620
2.4573
2.4033
2.3642
2.3338
2.3301
2.3267
2.3264
2.3264
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3.3554
3.2498
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3.1058
3.0545
3.0123
2.9768
2.9467
2.9208
2.8982
2.8784
2.8609
2.8453
2.8314
2.8188
2.8073
2.7969
2.7874
2.7787
2.7707
2.7633
2.7564
2.7500
2.6778
2.6259
2.5857
2.5808
2.5763
2.5759
2.5758
Quantilen der χ2 -Verteilung
k =n−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
50
100
500
1000
p = 0.01
0.000
0.020
0.115
0.297
0.554
0.872
1.239
1.646
2.088
2.558
3.053
3.571
4.107
4.660
5.229
5.812
6.408
7.015
7.633
8.260
8.897
9.542
10.196
10.856
11.524
12.198
12.879
13.565
14.256
14.953
29.707
70.065
429.388
898.912
p = 0.05
0.004
0.103
0.352
0.711
1.145
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
7.962
8.672
9.390
10.117
10.851
11.591
12.338
13.091
13.848
14.611
15.379
16.151
16.928
17.708
18.493
34.764
77.929
449.147
927.594
p = 0.1
0.016
0.211
0.584
1.064
1.610
2.204
2.833
3.490
4.168
4.865
5.578
6.304
7.042
7.790
8.547
9.312
10.085
10.865
11.651
12.443
13.240
14.041
14.848
15.659
16.473
17.292
18.114
18.939
19.768
20.599
37.689
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459.926
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p = 0.25
0.102
0.575
1.213
1.923
2.675
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4.255
5.071
5.899
6.737
7.584
8.438
9.299
10.165
11.037
11.912
12.792
13.675
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15.452
16.344
17.240
18.137
19.037
19.939
20.843
21.749
22.657
23.567
24.478
42.942
90.133
478.323
969.484
Braun & Co, Rast, Körner, Gwerder, Badertscher, Niedermann
p = 0.5
0.455
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2.366
3.357
4.351
5.348
6.346
7.344
8.343
9.342
10.341
11.340
12.340
13.339
14.339
15.338
16.338
17.338
18.338
19.337
20.337
21.337
22.337
23.337
24.337
25.336
26.336
27.336
28.336
29.336
49.335
99.334
499.333
999.333
p = 0.75
1.323
2.773
4.108
5.385
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7.841
9.037
10.219
11.389
12.549
13.701
14.845
15.984
17.117
18.245
19.369
20.489
21.605
22.718
23.828
24.935
26.039
27.141
28.241
29.339
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31.528
32.620
33.711
34.800
56.334
109.141
520.950
1029.790
p = 0.9
2.706
4.605
6.251
7.779
9.236
10.645
12.017
13.362
14.684
15.987
17.275
18.549
19.812
21.064
22.307
23.542
24.769
25.989
27.204
28.412
29.615
30.813
32.007
33.196
34.382
35.563
36.741
37.916
39.087
40.256
63.167
118.498
540.930
1057.724
p = 0.95
3.841
5.991
7.815
9.488
11.070
12.592
14.067
15.507
16.919
18.307
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
26.296
27.587
28.869
30.144
31.410
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9. September 2013