Heute gibt es kein Rätsel.

BerufsBildungsZentrum
22.12.2010
Mathematische
Weihnachtsknobeleien
2010
Heute gibt es kein Rätsel. Die vollkommene Zahl
Die Griechen suchten Vollkommenheit in moralischen und ästhetischen Belangen,
aber auch in den Zahlen. Zählt man alle echten Teiler einer Zahl zusammen, ergibt
sich in ganz wenigen Fällen eine Summe, die genau der Zahl selber entspricht.
Solche Zahlen nannten die Griechen «vollkommen». Die erste vollkommene Zahl ist
6, denn deren Teiler 1, 2 und 3 ergeben als Summe wiederum 6. Als weitere
Beispiele fand man in der Antike noch 28, 496 und 8128.
Die Mathematiker fragten sich, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt und
ob darunter auch ungerade sind. Euklid fand eine Formel: Ist n eine Primzahl (also
nur durch eins und sich selber teilbar) und (2 hoch n) -1 ebenfalls, liefert die Formel
((2 hoch n)-1)·2 hoch (n-1) eine vollkommene Zahl. Für die Primzahl 5 beispielsweise
kommt man für (2 hoch 5)-1 auf 31, also eine Primzahl. Und 31·(2 hoch 4) ist just
496 - eine der vollkommenen Zahlen der alten Griechen.
Trotz der schönen Formel fand man mit 33 550 336 erst im 15. Jahrhundert eine
fünfte vollkommene Zahl. Im Computerzeitalter ging die Jagd dann richtig los. Immer
grössere Primzahlen der Form (2 hoch n)-1 (Mersennesche Primzahlen) zu finden,
wurde zum Qualitätstest für Supercomputer. 1996 verfiel George Woltman gar auf
die Idee, auf der Suche nach neuen Mersenneschen Primzahlen die Kräfte der PCs
vieler Surfer via Internet zusammenzulegen. 8000 Zahlenfreaks sind unterdessen am
GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search - www.mersenne.org/prime.htm)
beteiligt, wobei raffinierte Software dafür sorgt, dass automatisch Berechnungen
ausgeführt werden, sobald ein Computerbenutzer eine Pause einlegt.
So wurde 1999 die bisher grösste Primzahl gefunden: (2 hoch 6972593)-1, eine Zahl
mit über zwei Millionen Stellen. Daraus machten die hurtigen Maschinen mit Euklids
Formel umgehend auch die jüngste vollkommene Zahl, ein 4 197 919stelliger
Zahlenwurm, der ausgeschrieben ein Buch mit 2000 Seiten füllen würde. Dies ist
jetzt die 38. bekannte vollkommene Zahl. Niemand kann heute sagen, wie viele
vollkommene Zahlen es noch zu entdecken gibt. Und ob eines Tages doch eine
vollkommene Zahl auftaucht, die ungerade ist. Für ungebrochene Jagdlust sorgen
die 100 000 Dollar, die dem Entdecker der ersten Primzahl mit zehn Millionen Stellen
von der Electronic Frontier Foundation versprochen sind.